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届高考数学艺术生短期集训专题知识突破考点42椭圆
考点四十二椭圆
知识梳理
1.椭圆的概念
把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆定义用集合语言表示如下:
P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
在椭圆定义中,特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|.当到两定点的距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当到两定点的距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1
(a>b>0)
+=1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:
坐标轴 对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
说明:
当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设成Ax2+By2=1的形式,其中A,B是不相等的正常数,或设成+=1(m2≠n2)的形式.
3.点P(x0,y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
3.椭圆的焦点三角形有关结论
椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形,与之有关的常用结论有:
(1)|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ;(其中,θ=∠F1PF2)
(3)当P为短轴端点时,θ最大.
(4)S△PF1F2=|PF1||PF2|sinθ=·b2=b2tan=c·|y0|.
当y0=±b,即P为短轴端点时,S△PF1F2有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a+c).
4.椭圆中的弦长公式
(1)若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦):
最短的焦点弦为通径长,最长为2a.
5.椭圆中点弦有关的结论
AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).
(1)斜率:
k=-.
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值-.
典例剖析
题型一椭圆的定义和标准方程
例1
(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是________.
(2)设P是椭圆+=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则△PF1F2的周长为________.
答案
(1)+=1
(2)16
解析
(1)由题意知c=1,e==,所以a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.
(2)△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=10+6=16.
变式训练已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),
P2(-,-),则椭圆的方程为________.
答案 +=1
解析设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).∵椭圆经过P1,P2两点,∴P1,P2点坐标适合椭圆方程,
则①②两式联立,解得∴所求椭圆方程为+=1.
题型二二次方程表示椭圆的条件
例2 “2 答案 必要不充分条件 解析 若+=1表示椭圆.则有 ∴2 故“2 变式训练若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________. 答案(3,4)∪(4,5) 解析由已知得,解得3 解题要点关于x,y的二次方程表示Ax2+By2=1表示椭圆,则需系数满足. 题型三椭圆的几何性质 例3 已知椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 答案 -1 解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A,则|AF1|=c,|AF2|=c,有2a=(1+)c, ∴e===-1. 变式训练椭圆+=1的离心率为,则k的值为________. 答案 -或21 解析 若a2=9,b2=4+k,则c=, 由=,即=,得k=-; 若a2=4+k,b2=9,则c=, 由=,即=,解得k=21. 题型四直线与椭圆的位置关系 例4 过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________. 答案 解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2. 联立,解得交点A(0,-2),B(,), ∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×|-2-|=. 变式训练已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为________. 答案- 解析设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减, 得+=0, ∴=-,∴k==-. 说明: 本题也可以直接利用结论: k=-=-=-. 解题要点直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方程组转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解.同时,还应记住一些常用结论: (1)中点弦斜率: k=-.; (2)最短的焦点弦为通径长,最长为2a. (3)弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|. 当堂练习 1.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为________. 答案+=1 解析由e=,得=①.又△AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a=4,得a=,代入①得c=1, ∴b2=a2-c2=2,故C的方程为+=1. 2.(2015新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C: y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于________. 答案 6 解析 因为e==,y2=8x的焦点为(2,0),所以c=2,a=4,故椭圆方程为+=1,将x=-2代入椭圆方程,解得y=±3,所以|AB|=6. 3.椭圆Γ: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________. 答案-1 解析∵直线y=(x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为60°, ∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°, ∴∠F1MF2=90°,即F1M⊥F2M. ∵|MF1|=c,|MF1|+|MF2|=2a,∴|MF2|=2a-c. ∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2.∴c2+(2a-c)2=4c2,即c2+2ac-2a2=0. ∴e2+2e-2=0,解得e=-1. 4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为________. 答案 解析将原方程变形为x2+=1,由题意知a2=,b2=1, ∴a=,b=1.∴=2,∴m=. 5.已知△ABC中,A、B的坐标分别为(2,0)和(-2,0),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是________. 答案+=1(y≠0) 解析点C到两个定点A、B的距离之和为6,6>4,故所求点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,其中2a=6,2c=4,则b2=5.所以顶点C的轨迹方程为+=1, 又A、B、C三点不共线,即y≠0. 课后作业 一、填空题 1.(2015广东文)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于________. 答案 3 解析 由题意知25-m2=16,解得m2=9,又m>0,所以m=3. 2.过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为________. 答案+=1 解析由题意得c2=9-4=5,又已知椭圆的焦点在x轴上, 故所求椭圆方程可设为+=1(λ>0),代入点A的坐标得+=1, 解得λ=10或λ=-2(舍去).故所求椭圆的方程为+=1. 3.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈(,1),则实数k的取值范围是________. 答案(0,3)∪(,+∞) 解析当k>4时,c=,由条件知<<1,解得k>; 当0 4.椭圆+=1的焦距等于2,则m的值为________. 答案5或3 解析当m>4时,m-4=1,m=5;当m<4时,4-m=1,m=3. 5.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为________. 答案 4 解析 ∵椭圆过(-2,),则有+=1,b2=4,c2=16-4=12,c=2,2c=4. 6.已知斜率为-的直线l交椭圆C: +=1(a>b>0)于A,B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于________. 答案 解析 kAB=-,kOP=,由kAB·kOP=-,得×(-)=-.∴=. ∴e===. 7.设F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________. 答案 解析 设PF1的中点为M,连接PF2,由于O为F1F2的中点,则OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2. 所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 由于∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理,得 |F1F2|==|PF2|. 由椭圆定义,得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=. 所以椭圆的离心率为e==·=. 8.(2015福建文)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l: 3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是________. 答案 解析 左焦点F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2. 设M(0,b),则≥,∴1≤b<2. 离心率e====∈. 9.椭圆+y2=1的弦被点(,)平分,则这条弦所在的直线方程是________. 答案2x+4y-3=0 解析设该弦与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由点(,)平分弦AB可得x1+x2=1,y1+y2=1,再将点A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程后作差可得kAB=-,然后根据点斜式方程可求得直线AB的方程为2x+4y-3=0. 10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是________. 答案4 解析如图, 设椭圆的另外一个焦点为F, 则△ABC的周长为|AB|+|AC
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