江苏省高考数学二轮复习讲义专题三 第四讲 专题提能解析几何专题提能课.docx
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江苏省高考数学二轮复习讲义专题三第四讲专题提能解析几何专题提能课
2019年4月
第四讲专题提能——“解+析几何”专题提能课
失误1
因忽视方程的标准形式而失误
[例1] 已知抛物线的方程为y=2ax2(a<0),则它的焦点坐标为________.
[详细分析] y=2ax2(a<0)可化为x2=y,则焦点坐标为.
[答案]
[点评] 本题易错如下:
由抛物线方程为y=2ax2,知抛物线的对称轴为y轴,2p=-2a,所以p=-a,=-,所以它的焦点坐标为.求解此类问题的关键是:
首先要准确理解概念,正确识记抛物线的标准方程:
y2=2px、y2=-2px、x2=2py、x2=-2py,对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式,然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数时要注意p>0,标准方程中一次项系数的绝对值为2p,求出p后再研究抛物线的几何性质,结合图形去考虑.
失误2
因忽视圆方程本身的限制条件而失误
[例2] 过定点(1,2)作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围是________________.
[详细分析] 把圆的方程化为标准方程得,2+(y+1)2=16-k2,所以16-k2>0,解得- +4+k+4+k2-15>0,即(k-2)(k+3)>0,解得k<-3或k>2.综上,k的取值范围是∪. [答案] ∪ [点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑D2+E2-4F>0.本例应把圆的方程化为标准方程后,根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集,然后由过已知点总可以作圆的两条切线,得到点在圆外,故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式,求出不等式的解集,综上,求出两解集的交集即为实数k的取值范围. 失误3 因忽视斜率不存在的情况而失分 [例3] 已知过点(1,2)的直线l与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦长AB=2,求直线l的方程. [解] 当过点(1,2)的直线l斜率不存在时,满足要求,所以方程x=1满足题意;当过点(1,2)的直线l存在斜率时,记l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由弦长为2可得圆心到直线的距离为1,则d==1,解得k=,所以直线l的方程为y-2=(x-1),即3x-4y+5=0.所以所求直线l的方程为x=1和3x-4y+5=0. [点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况,在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况.给定弦长,一般都有两解,除非弦长值就是直径的值,此时只有一解. 策略1 利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题 [例1] 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率为________. [详细分析] 法一: 由可得B, C.由F(c,0),得=,=.又∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=. 法二: 由可得B,C,所以BC=a,由椭圆的焦半径公式得BF=a-exB=a+e·a,CF=a-exC=a-e·a, 又∠BFC=90°,所以BF2+CF2=BC2, 即2+2=(a)2, 式子两边同除以a2可得e2=,即e=. [答案] [点评] 本题中B,C两点是关于y轴对称,对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助. 策略2 利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题 [例2] 若双曲线-=1(a>0,b>0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为______________. [详细分析] 记双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离为PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=,又因为d≥a-,所以 解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6). [答案] (1,2]∪[3,6) [点评] 一般地,根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题,主要是先利用几何条件建立关于a,b,c的方程,再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解. 函数方程思想——解决平面几何中的最值问题 [典例] 在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1: +=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2. (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线.若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值. [解] (1)由题意得 解得a2=8,b2=1. 所以所求椭圆C2的标准方程为+y2=1. (2)法一: 设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R,λ≠0). 因为点A在椭圆C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,即y2+8x2=.① 又x2+8y2=8.② ①+②得x2+y2=. 所以S△AMB=OM·OA=|λ|(x2+y2) =≥. 当且仅当λ=±1,即kAB=±1时,(S△AMB)min=. 法二: 假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0). 解方程组得x=,y=, 所以OA2=x+y=+=,AB2=4OA2=. 又由解得x=,y=,所以OM2=. 由于S=AB2·OM2=··=≥==, 当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB面积的最小值是S△AMB=. 当k=0时,S△AMB=×4×1=2>; 当k不存在时,S△AMB=×2×2=2>. 综上所述,△AMB面积的最小值为. [点评] 第 (2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式: (1)以弦长为底,点到弦所在直线距离为高; (2)正弦定理;(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点,可以将面积进行分割.一般地,如果建立关于k的函数,可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法;如果建立的关于(x,y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数. 1.多角度几何条件求解离心率 [例1] 如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为e,设A,B是椭圆上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上,设直线AB的斜率为k,若0 [解] 法一: 设MN交x轴与点C, ∵AF的中点为M,BF中点为N, ∴MN∥AB,FC=CO=, ∵A,B为椭圆上关于原点对称的两点, ∴CM=CN, ∵原点O在以线段MN为直径的圆上, ∴CO=CM=CN=. ∴OA=OB=c=1. ∵OA>b,∴a2=b2+c2<2c2, ∴e=>. 设A(x,y),由⇒ ∵0 ∴e∈,∴椭圆离心率e的取值范围为. 法二: 由⇒⇒1+k2=+. ∵e=,∴a=,b2=a2-1=-1, ∴1+k2=e2+,∴k2=. ∵0 解得≤e<,又e<1,∴≤e<1, ∴椭圆离心率e的取值范围是. 法三: 设∠BAF=α, 则2csinα+2ccosα=2a, ∴e=,∠BOF=2α∈, ∴α∈,∴α+∈, sin∈,sin∈, ∴e∈. ∴椭圆离心率e的取值范围为. [点评] 动直线可以通过联立方程建立k与坐标的关系,再得出与e的关系;也可以构建几何意义,利用几何图形得出关系;也可以转化为角,利用三角函数求解. 2.多角度的求解直线过定点 [例2] 过椭圆+y2=1的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证: 直线MN过定点,并求出该定点坐标. [解] 法一: 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN: y=kx+m. 联立消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 则Δ>0,且x1+x2=,x1x2=. 由AM⊥AN,得·=-1, 即(k2+1)x1x2+(km+2)(x1+x2)+m2+4=0, (k2+1)+(km+2)+m2+4=0, 化简得5m2-16km+12k2=0, ∵k≠0,∴52-16+12=0, 解得=或=2(舍去), 直线MN: y=k,过定点. 法二: 设直线AM: y=k(x+2)(k≠0),则直线AN: y=-(x+2). 联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0, 则-2xM=,∴xM=,yM=. 所以点M, 同理点N, 所以kMN==,所以直线MN的方程为y-=, 令y=0,得x=-==-, 所以直线MN过定点. 法三: (考查极端位置、特殊位置确定出定点,从而转化为一般性证明题) 同法二知,xM=,xN=, 令=⇒k2=1,此时=-, ∴直线MN过定点C. 当k2≠1,kCM==, kCN==. ∴kCM=kCN,∴M,N,C三点共线,即直线MN过定点. [点评] 直线过定点问题,可以设出直线方程y=kx+m,得出k与m的关系,从而得到过定点;也可以直接用k表示出新直线的方程,再求过定点;也可以先特殊得出定点,再用三点共线来论证一般情形. [课时达标训练] A组——易错清零练 1.过点P(2,-1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________. 详细分析: 设所求直线的倾斜角为α,则由题设知sinα=,因为0≤α<π, 所以cosα=±=±,所以tanα==±,则所求直线方程为y+1=±(x-2),即5x-12y-22=0或5x+12y+2=0. 答案: 5x-12y-22=0或5x+12y+2=0 2.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是________. 详细分析: 因为短轴长为2,即b=1,所以a=2,则椭圆的中心到其准线的距离是. 答案: 3.设双曲线的渐近线为y=±x,则其离心率为________. 详细分析: 由题意可得=或=,从而e===或. 答案: 或 4.若关于x的方程=a(x-1)+1有两个不相等的实数根,那么实数a的取值范围是________. 详细分析: 作出函数y=的图象,它是单位圆的上半部分,作出直线y=a(x-1)+1,它是过点A(1,1)的直线,由图象可知,实数a的取值范围是. 答案: B组——方法技巧练 1.已知直线l: mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________. 详细分析: 由直线l: mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=. 由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直线l的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=. 画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4. 答案: 4 2. 如图,设F1,F2分别是椭圆E: x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________. 详细分析: 设F1(-c,0),F2(c,0),其中c=, 则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|, 可得=3,故 即代入椭圆方程可得+b2=1,解得b2=,故椭圆方程为x2+=1. 答案: x2+y2=1 3.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________. 详细分析: 法一: 设椭圆的另一个焦点F1(-c,0),如图,连结QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M,又题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ,O为线段F1F的中点, ∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,F1Q=2OM. 在Rt△MOF中,tan∠MOF==,OF=c. 解得OM=,MF=,故QF=2MF=,QF1=2OM=. 由椭圆的定义QF+QF1=+=2a,整理得b=c,∴a==c, 故e=. 法二: 设Q(x0,y0),则FQ的中点坐标为,kFQ=. 依题意得 解得 又因为(x0,y0)在椭圆上,所以+=1. 令e=,则4e6+e2=1,故离心率e=. 答案: 4.若椭圆+=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为________. 详细分析: 由题意,设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得,a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各边同除以a,得-1≤≤1,则-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,又0 答案: 5.已知点(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大值和最小值. 解: 圆x2+y2=1的参数方程为: 则x2+2xy+3y2=cos2θ+2sinθcosθ+3sin2θ=+sin2θ+3×=2+sin2θ-cos2θ=2+sin, 则当2θ-=2kπ+, 即θ=kπ+(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取得最大值,为2+; 当2θ-=2kπ-, 即θ=kπ-(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取得最小值,为2-. 6.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为,求该椭圆的标准方程. 解: 设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2. 由=2,得|DF1|==c. 从而S△DF1F2=|DF1|·|F1F2|=c2=,故c=1. 从而|DF1|=.由DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=, 所以2a=|DF1|+|DF2|=2, 故a=,b2=a2-c2=1. 所以所求椭圆的标准方程为+y2=1. C组——创新应用练 1.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 详细分析: 易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案: 5 2.已知O为坐标原点,F是椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________. 详细分析: 如图所示,由题意得 A(-a,0),B(a,0),F(-c,0). 设E(0,m), 由PF∥OE,得=, 则|MF|=.① 又由OE∥MF,得=, 则|MF|=.② 由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==. 答案: 3.设点M(x0,1),若在圆O: x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________. 详细分析: 依题意,直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,过O作OA⊥MN,垂足为A,在Rt△OMA中,因为∠OMA=45°,故|OA|=|OM|sin45°=|OM|≤1,所以|OM|≤,则≤,解得-1≤x1≤1. 答案: [-1,1] 4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得=,则该椭圆离心率的取值范围为________. 详细分析: 在△MF1F2中,=, 而=, ∴==.① 又M是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点, ∴|MF1|+|MF2|=2a.② 由①②得,|MF1|=,|MF2|=. 显然|MF2|>|MF1|,
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