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全等三角形练习题含答案
全等三角形练习题含答案(共17页)
七年级全等测试
一.选择题(共3小题)
1.如图,EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若BP=4,则PF的长( )
A.2B.3C.1D.2
3.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:
①△AOD≌△COB;②CD=AB;③∠CDA=∠ABC;其中正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.①③D.②③
二.解答题(共11小题)
4.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且AE=AD,∠EAD=∠BAC.
(1)求证:
∠ABD=∠ACD;
(2)若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.
5.
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试探究AB,AD,DC之间的等量关系,证明你的结论;
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,证明你的结论.
6.已知:
在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:
△ABC是等边三角形.
7.已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:
BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗请利用图②说明理由.
8.如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,分别过A、B作直线l的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求证:
△AMC≌△CNB;
(2)若AM=3,BN=5,求AB的长.
9.已知,如图,在等腰直角三角形中,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E、F在AC、BC上,求证:
DE=DF.
10.如图,OC是∠MON内的一条射线,P为OC上一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A,B,PA=PB,连接AB,AB与OP交于点E.
(1)求证:
△OPA≌△OPB;
(2)若AB=6,求AE的长.
11.如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:
BF2+CD2=FD2.
12.如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.F是OC上另一点,连接DF,EF.
求证:
DF=EF.
13.如图,OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,点M在OA上,点N在OB上,且PM=PN.求证:
EM=FN.
14.如图,△ABC中,D为BC边上一点,BE⊥AD的延长线于E,CF⊥AD于F,BE=CF.求证:
D为BC的中点.
答案
一.选择题(共3小题)
1.如图,EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解答】解:
∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C,AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM.
④CD=DN不能证明成立,3个结论对.
故选:
B.
2.如图,△ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若BP=4,则PF的长( )
A.2B.3C.1D.2
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
∴∠BAC=∠C.
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(SAS).
∴∠ABD=∠CAE.
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°.
∴∠BPF=∠APD=60°.
∵∠BFP=90°,∠BPF=60°,
∴∠PBF=30°.
∴PF=
.
故选:
A.
3.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:
①△AOD≌△COB;②CD=AB;③∠CDA=∠ABC;其中正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.①③D.②③
【解答】解:
∵OA⊥OB,OC⊥OD,
∴∠AOB=∠COD=90°.
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,
即∠COB=∠AOD.
在△AOB和△COD中,
,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD,∠ABO=∠CDO.
在△AOD和△COB中
,
∴△AOD≌△COB(SAS)
∴∠CBO=∠ADO,
∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO,
即∠ABC=∠CDA.
综上所述,①②③都是正确的.
故选:
B.
二.解答题(共11小题)
4.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且AE=AD,∠EAD=∠BAC.
(1)求证:
∠ABD=∠ACD;
(2)若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.
【解答】证明:
(1)∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC
即:
∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD=∠ACD
(2)∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC,∠BOC=∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=65°,AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°
∴∠BDC=∠BAC=50°.
5.
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试探究AB,AD,DC之间的等量关系,证明你的结论;
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,证明你的结论.
【解答】解:
(1)证明:
延长AE交DC的延长线于点F,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠F,
在△AEB和△FEC中,
,
∴△AEB≌△FEC,
∴AB=FC,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠EAD,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠F,
∴∠EAD=∠F,
∴AD=DF,
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB,
(2)如图②,延长AE交DF的延长线于点G,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠G,
在△AEB和△GEC中,
,
∴△AEB≌△GEC,
∴AB=GC,
∵AE是∠BAF的平分线,
∴∠BAG=∠FAG,
∵AB∥CD,
∴∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∴AB=CG=AF+CF,
6.已知:
在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:
△ABC是等边三角形.
【解答】证明:
∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,
∴∠AED=∠CFD=90°,
∵D为AC的中点,
∴AD=DC,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF,
∴∠A=∠C,
∴BA=BC,∵AB=AC,
∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
7.已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:
BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗请利用图②说明理由.
【解答】
(1)证明:
连接AD,如图①所示.
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.
∵点D为BC的中点,
∴AD=
BC=BD,∠FAD=45°.
∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF;
(2)BE=AF,证明如下:
连接AD,如图②所示.
∵∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,
,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF.
8.如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,分别过A、B作直线l的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求证:
△AMC≌△CNB;
(2)若AM=3,BN=5,求AB的长.
【解答】解:
(1)∵AM⊥l,BN⊥l,∠ACB=90°,
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°,
∴∠MAC+∠MCA=90°,∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△AMC和△CNB中,
,
∴△AMC≌△CNB(AAS);
(2)∵△AMC≌△CNB,
∴CM=BN=5,
∴Rt△ACM中,AC=
=
=
,
∵Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=
,
∴AB=
=
=2
.
9.已知,如图,在等腰直角三角形中,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E、F在AC、BC上,求证:
DE=DF.
【解答】证明:
连接CD.
∵在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中点.
∴CD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线.
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,CD=BD=AD.
又∵DE⊥DF
∴∠EDC=∠FDB
在△ECD和△FBD中
∴△ECD≌△FDB(ASA)
∴DE=DF
10.如图,OC是∠MON内的一条射线,P为OC上一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A,B,PA=PB,连接AB,AB与OP交于点E.
(1)求证:
△OPA≌△OPB;
(2)若AB=6,求AE的长.
【解答】解:
(1)∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
又∵PA=PB,PO=PO,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP;
(2)∵△OPA≌△OPB,
∴∠APE=∠BPE,
又∵PA=PB,
∴AE=BE,
∴AE=
AB=3.
11.如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.
(1)CD与BE相等若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)若∠BAC=90°,求证:
BF2+CD2=FD2.
【解答】解:
(1)CD=BE,理由如下:
∵△ABC和△ADE为等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,
∵∠EAD=∠BAC,
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,
即∠EAB=∠CAD,
在△EAB与△CAD中
,
∴△EAB≌△CAD,
∴BE=CD,
(2)∵∠BAC=90°,
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ABF=∠C=45°,
∵△EAB≌△CAD,
∴∠EBA=∠C,
∴∠EBA=45°,
∴∠EBF=90°,
在Rt△BFE中,BF2+BE2=EF2,
∵AF平分DE,
∴AF垂直平分DE,
∴EF=FD,
由
(1)可知,BE=CD,
∴BF2+CD2=FD2
12.如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.F是OC上另一点,连接DF,EF.
求证:
DF=EF.
【解答】证明:
∵OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠DOP=∠EOP,PD=PE.
在Rt△POD和Rt△POE中,
,
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL),
∴OD=OE.
在△ODF和△OEF中,
,
∴△ODF≌△OEF(SAS),
∴DF=EF.
13.如图,OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,点M在OA上,点N在OB上,且PM=PN.求证:
EM=FN.
【解答】证明:
∵点P在∠AOB的平分线上,PE丄0A于E,PF丄OB于F,
∴PF=PE,
在Rt△PEM和Rt△PEN中
,
∴Rt△PEM≌Rt△PEN(HL),
∴EM=FN.
14.如图,△ABC中,D为BC边上一点,BE⊥AD的延长线于E,CF⊥AD于F,BE=CF.求证:
D为BC的中点.
【解答】证明:
∵BE⊥AD的延长线于E,CF⊥AD于F,
∴∠CFD=∠BED=90°,
在△BED和△CFD中,
∴△CDF≌△BDE(AAS)
∴CD=BD.
∴D为BC的中点.
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