七线性变换习题课.docx
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七线性变换习题课.docx
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七线性变换习题课
七、线性变换习题课
1.复习线性变换的概念
例1将C看成R上的线性空间,变换
是线性的,看成C上的线性空间则不是。
证明:
R上:
有
=
=
又
故A是R上线性空间C的线性变换。
C上:
取
及
,有
,而
,故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例,变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2.利用运算的意义,运算律推证线性变换的等式,利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换,如果
证明:
,(k>0)
证明:
由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.
对k用归纳法.当k=1时结论成立.K=2时,由已知
=AB
=(BA+E)A+A-BA2
=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.
设当k时结论成立,即
也即
.
当k+1时,
=ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1
=BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak
所以结论对k+1也成立,从而对一切k
1成立.
例3设V是数域P上n维线性空间,证明:
V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.
证明:
需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.
设
令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.
因为
所以由
的任意性,
也是任意的,从而存在某个k
使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是
为数量变换.
有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.
3.系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.
A可逆
10存在
使
=E.
A是双射.
A在基下的矩阵A可逆—有限维
例4设
是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:
可逆当且仅当
线性无关.
证明:
证法一:
“
”
若
=0,有B(
)=0,即
=0,
=0,即
线性无关.
“
”
线性无关,
因dimV=n,故
使得
=A(
)
令
使
=
(
)
易见
且
即
又任给
设
=
有
(
)=
=
故
从A可逆.
证法二:
利用双射
“
”A是双射,则0=
=A(
)
得0=
(0对应0)
故
线性无关.
“
”由dimV=n,V的任一向量可由
唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.
证法三:
利用矩阵
A可逆
A在
下的矩阵A可逆
(
)A也是一组基=n
线性无关
例5设
W1,W2是V的子空间,且
则
可逆
.
证明:
由
有
V,可设W1的一组基为
W2的一组基为
则
为V的一组基.
“
”A可逆,故
线性无关,
1,
2的秩为r,n-r,
和
分别为
1和
2的基,故
.
“
”
有dimV=dim
=
(
),故
为AV的一组基,即
线性无关,A可逆.
4.小结:
线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.
为V的一组基,
(
)=(
)A,(
)=(
)X为另一组基,有
(
)=(
)
例6在空间P[x]n中,
是线性变换,求
在基
下的矩阵.
证明:
首先由ex.1.5)知,
是线性变换,
是线性变换,故
是线性变换.
其次,只要求出
用
表示,就可得A.
=
(1)=1-1=0,
=
-
=
=
所以,
(
)=(
)
所求矩阵为
.
例7设三维线性空间V上的线性变换A在基
下的矩阵为
1).求
在基(
)下的矩阵;
2).求
在基(
)下的矩阵,其中k
;
3).求
在基(
)下的矩阵.
证明:
1).
=
=
=
=
(
)=(
)
所求矩阵为
。
又可(
)=(
)
=(
)
故所求矩阵为
A
2)
=(
)
又(
)=(
)
故所求矩阵为
A
=
A
3).
=
=
=
=
所求矩阵为
又(
)=(
)
故所求矩阵为
A
=
A
例8
在任一组基下矩阵都相同,则
是数乘变换.
证明:
要证
在任一组基下矩阵是数量阵.
设
在基下
下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,(
)=(
)X为V的另一组基,在此基下
的矩阵为
即
由
的任意性,A为数量阵.
事实上,此时A与任意
可换:
设可逆矩阵
使
则
可逆,与A交换,得
于是,由P.204ex.73),A为数量阵,从而
为数量变换.
例9证明:
下面两个矩阵相似,其中
是1,…,n的一个排列:
.
证明:
曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.
设
在基(
)下的矩阵为A,则显然(
)是V的另一组基,此基下
的矩阵为B.
将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.
线性变换
矩阵A
特征多项式
特征值
特征向量
有限维
例11设
是线性变换
的两个不同特征值,
是分别属于
的特征向量,证明:
不是
的特征向量.
证明:
只要证
若有这样的
存在,则
=
=
=
而
属于不同的特征值,线性无关,故
矛盾.
将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(
0)作比较,
是
的属于
的两个特征向量,则当
0时,
是
的一个特征向量(属于
).
例12证明:
如果
以V中每个非零向量为特征向量,那麽
是数乘变换.
分析:
每个非零向量都是特征值k的特征向量
每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个
证明:
若
有
都是
的特征向量.
若
是分别属于两个不同的特征值
那麽由上题,
即
不可能是
的特征向量,矛盾.
故
有
是属于
的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是
又
=k0=0,
故
.
例13.
可逆,则1).
有特征值,则不为0;
2).
是
的特征值,则
-1是
的特征值.
证法一:
1).设
是
的特征值,
是属于
的特征向量,则
.
因
可逆,
-1存在,且
-1L(V),有
即
而
有
.
2).由1),
-1是
的特征值.
3).
的特征向量是
的特征向量.
证法二:
当V是有限维时,设
在基
下的矩阵为A,则由
可逆,A可逆.
1).若
是
的特征值,则0=
=
与A可逆矛盾.
2).若
是
的特征值,则
且
即
-1是
的特征值,而
故
-1是
的特征值.
(注:
一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.)
特殊变换的特征值
例14设
若
称为对合变换,求
的特征值.
证明:
设
是
的特征值,
是相应的特征向量,有
而
故
P,即
若有特征值只能是1或-1.
则
则
确有特征值1或-1.
证法二:
又
若
是
的特征值,则
-1是
是
的属于
的特征向量,则
是
的特征向量,必有
=
-1,
=
.
则
的特征值只能是1,0;
若
则
即
有特征值1;
时,有特征值1;当
的秩 的特征值. 例15设dimV=n, ,证明: 是对合变换时必可对角化。 分析: 的特征值至多有两个1和-1,从而不好利用第一个充分条件。 设法用充要条件,证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n; 即(E-A)X=0的基础解系个数+(-E-A)X=0的基础解系个数=n; 即 r(E-A)+r(-E-A)=n. 证明: 设 为V的一组基,且 在此基下的矩阵为A,由 ,有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n,最后一个等式由Chap.4.补3.P.208. 设r(E-A)=r 的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故 有n个线性无关特征向量,从而可对角化. 1. 由(E-A)(-E+A)=0,有 若 则 =0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是. 2. 幂等变换 可对角化,也可仿此证. 例16设 是4维空间V的一组基, 在此基下的矩阵为 . 1).求 在基 下的矩阵; 2).求 的特征值与特征向量; 3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵. 证明: 1). = = S 易知 从而 在 下的矩阵为B=S-1AS= . 2). 的特征多项式为 = 故 P. 解方程组( E-B)X=0 =0: BX=0, =0 因为 得基础解系 . 的属于0的特征向量为 = 其中 不全为0. =1: (E-B)X=0, =0解得 得基础解系 的属于1的特征=向量为 = 其中 不为0. =0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得 得基础解系 . = 其中 不为0. 3).由2).所得4个特征向量 线性无关,可作为V的一组基,在此基下 的矩阵为 而由 到这组基的过渡阵为 且 . 例17 设 是4维线性空间V的一组基,已知线性变换 在此基下的矩阵为 1).求 在以下基下的矩阵: 2).求 的核与值域. 3).在 的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求 在此基下的矩阵. 4).在 中选一组基扩充为V的基,并求 在此基下的矩阵. 证明: 1).由基 到 的过渡矩阵为 在 下的矩阵为 2). 设 ( ) 0= = ( ) =( )A A= =0, =0 解此齐次线性方程组得 所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而 是 的一组基,即 = . 因dim =4-dim =4-2=2,而 = 的坐标列为A的列,且A的前2列线性无关,从而 线性无关, 即 = . 3).由 ( ) 及 故向量组( )=( ) =( )Q 线性无关,即 是V的一组基,此基由 的一组基扩充而成,其中Q为由 到 的过渡阵. 在 下的矩阵为 (其中后两列是0因为 中元被 作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)’) 4).( )=( ) 而 故向量组( )=( ) =( )P 线性无关,是V的一组基,由 的基扩充而成,由 到 的过渡阵为P, 在此基下的矩阵为 (后两行为0因为任一向量被 作用后都在 中,由 线性表出). 例18设 证明: 1). 与 有相同的值域当且仅当 ; 2). 与 有相同的核当且仅当 . 证明: 1).“ ”: 故存在 ,于是 “ ”: ,即 ,同理 , 故 。 2).“ ”: 即 故 同理 “ ”: 有 同理 故 例19设 是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间, 表示由W中向量的像组成的子空间,证明: dim( )+dim( )=dimW 分析: 定理11dim( )+dim( )=dimV的证明中,取 的基,扩充为V的基. 证明: 取 的一组基 将它扩充为W的一组基 即W=L( ) 由于 故 W=L( )=L( ) 若有 即 存在 使得 = 故有 即 线性无关,dim W=m-r=dimW-dim( ) 附注: dim( )+dim( )=dimV是对V而言的,对子空间的值域和核也一样。 例20设 为n维线性空间V的线性变换,证明: 的秩 的秩+ 的秩-n. 分析: chap4补10.(p209)r(AB) r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应. 证法一: 设 在基 下的矩阵分别为A,B,则 的秩=r(AB), 的秩=r(A), 的秩=r(B).由chap4.补10.r(AB) r(A)+r(B)-n,得证. 证法二: 注意到 的秩=dim 可用定理11. 由定理11和补9,秩(AB)=dim =dim -dim( ) 而 dim( ) dim 故秩( ) dim -dim =秩 -(n-秩 )=r(A)+r(B)-n. 例21设 W是 子空间,若 可逆,证明: W也是 -子空间. 注在证 时,有人认为 可逆,从而是一一对应,故既单( ={0}, ={0})又满( ),从而 不必考虑有限维,这是错误的: 在 间一一对应,不是在 间一一对应. 反例: V=P[x]=L(1,x,x2,x3,…),W={f(x2)x2|f(x) }=L(x2,x4,x3,…) 显然 可逆(因是一一对应), 但 如 . 另 在 间单,dimW有限,因而 在 间满. 例22.设V是复数域上n维线性空间, 证明: 1).如果 是 的一个特征值,那麽 是 的不变子空间; 2). 至少有一个公共特征向量. 证明: 1). 是 子空间, 故 使得 所以, 2).因为V是C上的线性空间, 至少有一个特征值,设 为 的特征值,由1), 为 则 有特征值,设为 则存在0 使得 故 为 的公共特征向量. 注7.8.2此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量. 例23设 证明: 1).W是 子空间, 则W=V; 2).{0} 是 子空间,则 ; 3). 是 子空间, 则 或 . 证明: 1).由题意, ( )=( ) 若 W为 子空间,有 2). 令 则 故 又由 得 = 如此继续, 设 中第一个非零的为 则 得 . 3).若 但 矛盾. 例24 可逆的 为上三角阵. 分析: A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置. 证明: 存在可逆 为若当形矩阵,故( )’= 是上三角阵,即A相似于一个上三角阵 第一次月考检测语文试题 总分120分时间90分钟 第一部分 积累运用(30分) 一、(12分,每小题2分) 1.下列句子,字形全都正确的一项是( ) A.后来发生了分岐: 母亲要走大路,儿子要走小路。 B.我绝没有想到那竟是永远的决别。 C.这样贵重的东西不像一块点心一盒糖,怎么能自作主张呢? D.那朵红莲,被那繁密的雨点,打得左右歧斜。 2.依次填入下列句子横线处的词语,最恰当的一项是() ①这是我这辈子笑得最 、最舒畅、最厉害的一次。 ②她爱诗, 爱用歌唱的音调教我们读书。 ③我的母亲虽然高大,然而很瘦, 不算重。 A.忘乎其形 而且 可是 B.忘乎其形 并且 自然 C.得意忘形 并且 可是 D.得意忘形 而且 自然 3.下列各句,标点符号使用正确是一项是( ) A.我们在田野散步: 我,我的母亲,我的妻子和儿子。 B.“放在哪儿了,拿来我看看? ”妈妈说。 C.妈妈着急的角度: “你到哪里去了,你这坏孩子”? D.蔡老师写了一封信劝慰我,说我是“心清如水的学生。 ” 4.下列各组词语,感情色彩不同的一项是( ) A.聪明 纯真 见利忘义 舍生取义 B.愚蠢 池塘 鄙视 自知之明 C.发动 保护 结果 害怕 D.请示 温柔 怂恿 不见天日 5.下列关于修辞手法的分析不正确的一项是( ) A.那一朵白莲已经谢了,白瓣儿小船般散飘在水面。 (冰心《荷叶母亲》)运用比喻修辞。 B.据说有好些古怪性格的池塘在这个高岸之后。 (泰戈尔《对岸》)运用拟人修辞。 C.花朵一串挨着一串,一朵接着一朵,彼此推着挤着,好不活泼热闹! (宗璞《紫藤萝瀑布》)运用比喻手法赋予花以人的特征。 D.“春色恼人眠不得”,燕语呢喃落花飞絮,徘徊庭前篱下。 (丁颖《三分春色一分愁》)是引用修辞。 6.从文学常识的角度分析,不正确的一项是( ) A.《论语》儒家经典著作,是记录孔子及其弟子言行的一部书。 共20篇。 B.《世说新语》中的谢太傅即谢安,晋朝陈郡人。 成语“东山再起”就是与他有关的典故。 C.《西游记》中的“齐天大圣”师从菩提老祖。 推倒人参果树时,孙悟空曾去找师傅求救。 D.《龟虽寿》的作者是曹操,西汉末年政治家、军事家、诗人。 《龟虽寿》是曹操的乐府诗《步出夏门行》四章中的最后一章。 二、7.填写下面名篇名句中的空缺成分。 (11分) (1)承认寿命有限这一客观事实的前提下,强调发挥人的主观作用的句子: ,。 (《龟虽寿》) (2)《题破山寺后禅院》诗的最后两句隐含的一个成语是,由这两句,我们很容易 想起与此有异曲同工之妙的王维的诗句: ,。 (3)《论语述而》中论述君子对富贵的正确态度是,。 (4)《夜雨寄北》中描写思归而不得的诗句: ,。 (5)《过故人庄》一诗中,描绘优美田园风光的句子: ,。 三、8.综合性学习(5分) 近年来,智能手机等触控式智能设备迅速进入人们的生活,并获得每个年龄段人的青莱————中国已迎来“触屏时代”。 据报载,2014年全国约1.2亿未成年人使用手机上网。 学校拟开展“触屏时代,我们如何应对”的综合性实践活动。 请你阅读下面材料,完成相关任务。 材料一: 中小学生网络使用情况调查表 上网时间、年龄 上网目的 调查项目 每天都上网的学生 平均每天上网2小时 10岁以前“触网” 聊天交友 看动漫、电影下载音乐 玩网络游戏 学习、写日记博客 所占比例 82.9% 70.4% 61% 29.1% 49.8% 40% 58.3% 另据报道,去年10月,我国某地未成年人劳动教养管理所公开一条数据,该所里的未成年劳教人员中,有80%曾沉迷于网络游戏。 材料二: 国庆佳节,中学生乐乐和家人一起吃饭看电视,期间她一直低头玩着手机,兴奋时还笑出声来,旁若无人。 母亲责怪她没和家人聊聊自己在学校的近况,埋怨道: “现在的孩子,一个个都是手机不离手,到哪里一坐下来就开始玩手机,也不知道在玩什么。 ”父亲也感叹道: “唉,怪不得网上流行这样一句话——‘世界上最遥远的距离莫过于我们坐在一起,你却在玩手机。 ’” (以上材料引自互联网) (1)用简洁的语言概括材料一表格所包含的三条信息。 (3分) (2)结合上述二则材料,请你在正确理解材料二画线句子的基础上,以乐乐好友的身份,写一段劝说乐乐的话。 (2分) 四、9.下面文字有二处语病,请找出两处并修改(2分) ①雷锋以其平凡的人生实践,矗立起了人生价值的最高坐标。 ②但市场经济大潮下滋生的个人主义、享乐之风不仅使助人为乐、奉献他人的价值观念遭受了极大冲击,③而且加重了当下伦理失范、道德滑坡,④以至于看见跌倒老人不扶,成为当下中国道德选择的难题! (1)修改: 。 ⑵修改: 。 第二部分阅读(40分) 五、(13分) (一)阅读下面的诗歌,完成10——12题(5分) 辋川六言(其五) 王维 山下孤烟远村,天边独树高原。 一瓢颜回陋巷,五柳先生对门。 【注释】①辋川: 地名。 10.《论语》中孔子是怎样赞美颜回的? (1分) 11.任选一、二两句诗中的一句,发挥想象描绘你读到的画面。 (2分) 12.细读全诗,说说诗人向往怎样的生活。 (2分) (二)阅读下面的文言文,完成13——17题(8分) 《咏雪》
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- 线性变换 习题