工程力学静力学和材料力学第2版课后习题答案 范钦珊主编.docx
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工程力学静力学和材料力学第2版课后习题答案范钦珊主编
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工程力学
(静力学与材料力学)习题详细解答
(教师用书)
(第7章)
范钦珊唐静静
2006-12-18
第7章弯曲强度
7-1直径为d的圆截面梁,两端在对称面内承受力偶矩为M的力偶作用,如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ;材料的弹性模量为E。
根据d、ρ、E可以求得梁所承受的力偶矩M。
现在有4种答案,请判断哪一种是正确的。
习题7-1
图
(A)M=Eπd64ρ
64ρ(B)M=Eπd4
Eπd3
(C)M=32ρ
32ρ(D)M=Eπd34正确答案是。
7-2关于平面弯曲正应力公式的应用条件,有以下4种答案,请判断哪一种是正确的。
(A)细长梁、弹性范围内加载;
(B)弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内;
(C)细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内;
(D)细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是C_。
7-3长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁,有图中所示的4种支承方式,如果从梁的强度考虑,请判断哪一种支承方式最合理。
l5
习题7-3图
正确答案是
7-4悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为mm。
求:
梁的1-1截面上A
、2
B两点的正应力。
习题7-4图
解:
1.计算梁的1-1截面上的弯矩:
M=−⎜1×10N×1m+600N/m×1m×
2.确定梁的1-1截面上A、B两点的正应力:
A点:
⎛⎝31m⎞=−1300N⋅m2⎟⎠
⎛150×10−3m⎞−20×10−3m⎟1300N⋅m×⎜2My⎝⎠×106Pa=2.54MPa(拉应力)σA=z=3Iz100×10-3m×150×10-3m()
12
B点:
⎛0.150m⎞1300N⋅m×⎜−0.04m⎟My⎝2⎠=1.62×106Pa=1.62MPa(压应力)σB=z=3Iz0.1m×0.15m12
7-5简支梁如图所示。
试求I-I截面上A、B两点处的正应力,并画出该截面上的正应力分布图。
习题7-5图
(a)AFR(b)RB
习题7-5解图
解:
(1)求支座约束力
FRA=3.64kN,FRB=4.36kN
(2)求I-I截面的弯矩值(见习题7-5解图b)
MI−I=3.64kN⋅m
(3)求所求点正应力σA=MI-IyA
Iz
bh375×1503
Iz===21.1×106mm4
1212
yA=(75−40)=35mm
3.64×106×35=−6.04MPa∴σA=−21.1×106
3.64×106×75σB==12.94MPa21.1×106
7-6加热炉炉前机械操作装置如图所示,图中的尺寸单位为mm。
其操作臂由两根无缝钢管所组成。
外伸端装有夹具,夹具与所夹持钢料的总重FP=2200N,平均分配到两根钢管上。
求:
梁内最大正应力(不考虑钢管自重)。
习题7-6图
解:
1.计算最大弯矩:
Mmax=−2200N×2395×10−3m=−5.269×103N⋅m
2.确定最大正应力:
σmax=
σmax
Mmax66mmα==0.611,3πD108mm2×1−α432Mmax5.268N⋅m===24.71×106Pa=24.71MPa32Wπ108×10−3m2×1−0.611432Mmax=2W()()()
7-7图示矩形截面简支梁,承受均布载荷q作用。
若已知q=2kN/m,l=3m,h=2b=240mm。
试求:
截面竖放(图c)和横放(图b)时梁内的最大正应力,并加以比较。
习题7-7图
解:
1.计算最大弯矩:
Mmax3ql22×10N/m×(3m)===2.25×103N⋅m882
2.确定最大正应力:
平放:
σmaxMmax2.25×103N⋅m×
6==hb2240×10−3m×120×
10−3m6()2=3.91×106Pa=3.91MPa
竖放:
σmaxMmax2.25×103N⋅m×6==bh2120×10−3m×240×10−3m6()2=1.95×106Pa=1.95MPa
3.比较平放与竖放时的最大正应力:
σmax(平放)3.91≈2.0σmax竖放1.95
7-8圆截面外伸梁,其外伸部分是空心的,梁的受力与尺寸如图所示。
图中尺寸单位为mm。
已知FP=10kN,q=5kN/m,许用应力σ=140MPa,试校核梁的强度。
[]
M(kN.m)
习题7-8图
解:
画弯矩图如图所示:
Mmax132×30.65×103N⋅m6σmax(实)===113.8×10Pa=113.8MPa<[σ]3-3W1π140×10m()
Mσmax(空)=max2=W232×20×103N⋅m=100.3×106Pa=100.3MPa<[σ]43⎡⎛100⎞⎤-3π140×10m⎢1−⎜⎟⎥140⎠⎥⎢⎣⎝⎦()
所以,梁的强度是安全的。
7-9悬臂梁AB受力如图所示,其中FP=10kN,M=70kN·m,a=3m。
梁横截面的形状及尺寸均示于图中(单位为mm),C为截面形心,截面对中性轴的惯性矩Iz=1.02×108mm4,拉伸许用应力σ=40MPa,压缩许用应力
解:
画弯矩图如图所示:
[]+[σ]-=120MPa。
试校核梁的强度是否安全。
M(kN.m)
C截面
D截面习题7-9图σ+max-σmax30×103N⋅m×96.4×10−3m==28.35×106Pa=28.35MPa−12841.02×10×10m30×103N⋅m×153.6×10−3m==45.17×106Pa=45.17MPa−12841.02×10×10m
40×103N⋅m×153.6×10−3m==60.24×106Pa=60.24MPa>[σ]8−1241.02×10×10m
40×103N⋅m×96.4×10−3m==37.8×106Pa=37.8MPa8−1241.02×10×10mσ+max-σmax
所以,梁的强度不安全。
7-10由No.10号工字钢制成的ABD梁,左端A处为固定铰链支座,B点处用铰链与钢制圆截面杆BC连接,BC杆在C处用铰链悬挂。
已知圆截面杆直径d=20mm,梁和杆的许用应力均为σ=160MPa,试求:
结构的许用均布载荷集度q。
[][]
M(kN.m)
习题7-10图
解:
画弯矩图如图所示:
对于梁:
Mmax=0.5q
σmax=Mmax0.5q≤[σ],≤[σ]WW6−6[σ]W=160×10×49×10=15.68×103N/m=15.68kN/mq≤0.50.5
对于杆:
σmax=
FN4FB4×2.25q≤[σ],=≤[σ]Aπd2πd2
2
q≤πd×[σ]
4×2.25=π×20×10-3×160×106
4×2.25()2=22.34×103N/m=22.34kN/m
所以结构的许可载荷为
[q]=15.68kN/m
7-11图示外伸梁承受集中载荷FP作用,尺寸如图所示。
已知FP=20kN,许用应力
160MPa,试选择工字钢的号码。
[σ]=
习题7-11图
解:
Mmax=FP×1m=20×10N×1m=20×10N⋅m33
Mmax≤[σ],WFP×1m20×103×1m-333W≥==0.125×10m=125cm6σ160×10Paσmax=
所以,选择No.16工字钢。
7-12图示之AB为简支梁,当载荷FP直接作用在梁的跨度中点时,梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。
为减小AB梁内的最大正应力,在AB梁配置一辅助梁CD,CD
也可以8
习题7-12图
看作是简支梁。
试求辅助梁的长度a。
解:
1.没有辅助梁时σmax=
Mmax≤[σ],WFPl
=1.30[σ]W
Mσmax=max≤[σ],W
FPl(3−2a)=[σ]W
FPlFPl(3−2a)==[σ]W1.30×W
1.30×(3−2a)=3
a=1.384m
7-13一跳板左端铰接,中间为可移动支承。
为使体重不同的跳水者站在跳板前端在跳板中所产生的最大弯矩Mzmax均相同,问距离a应怎样变化?
习题7-13图
解:
最大弯矩发生在可移动简支点B处。
(见图a、b)
设不同体重分别为W,W+ΔW,则有,
W(l−a)=(W+ΔW)(l−a−Δa)
ABWA
a图b图
整理后得Δa=ΔW(l−a)(W+ΔW)此即为相邻跳水者跳水时,可动点B的调节距离Δa与他们体重间的关系。
7-14利用弯曲内力的知识,说明为何将标准双杠的尺寸设计成a=l/4。
习题7-14图
解:
双杠使用时,可视为外伸梁。
其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。
如图a、b所示。
ACB
a图
ACB
b图
若将a的长度设计能达到下述情况为最经济、省工:
+−Mmax=Mmax,即正负弯矩的绝对值相等,杠为等值杆。
当a=l/4时,
+Mmax=FPl/4(如图a,在中间面C);。
Mmax=FPl/4(发生在图b所示受力情况下的A面或B面)
7-15图示二悬臂梁的截面均为矩形(b×h),但(a)梁为钢质,(b)梁为木质。
试写出危险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式,并注明其位置。
二梁的弹性模量分别为E钢、E木。
−
FP
习题7-15图
解:
(1)两悬臂梁均为静定梁,故应力与材料弹性常数无关。
(2)两悬臂梁均发生平面弯曲,危险面均在固定端处。
(3)钢梁:
+σmax=
−σmax6FPl(在固定端处顶边诸点)bh26Fl=P(在固定端处底边诸点)2bh
(4)木梁:
+σmax=
−σmax6FPl(在固定端处后侧边诸点)hb26Fl=P
2(在固定端处前侧边诸点)hb
−647-16T形截面铸铁梁受力如图所示,其截面的Iz=2.59×10m。
试作该梁的内力
图,求出梁内的最大拉应力和最大压应力,并指出它们的位置。
画出危险截面上的正应力分布图。
习题7-16图
解:
(1)求支座约束力
FRA=37.5kN,FRB=112.5kN
(2)作内力图,剪力图、弯矩图分别见习题7-16解图b、c。
(3)求所最大正应力和最小正应力
E、B两截面分别发生最大正弯矩与最大负弯矩。
所以,两个截面均有可能是危险截面。
σmax
σmax−+MEy214×106×142===76.8MPa(在E截面下缘)Iz2.59×107MBy225×106×142===−137MPa(在B截面下缘)7Iz2.59×10
正应力分布图见图d。
q
(a)
(b)
(c)
习题7-16解图
7-17发生平面弯曲的槽形截面(No.25a)简支梁如图所示。
在横放和竖放两种情况下,(a)比较许用弯曲力偶矩mO的大小,已知[σ]=160MPa;(b)绘出危险截面上的正应力分布图。
习题7-17图
解:
(a)
FRRB
(b)
mO5+
+σ(c)
max
习题7-17解图
max
(1)求支座约束力FRA=FRB=mOkN5
(2)作弯矩图见习题7-17解图b所示。
(3)竖放下的许用弯曲力偶矩mO
由型钢表查得
W=269.6×103mm3
从b图中得:
Mmax=
由强度条件σmax=3mO5Mmax≤[σ]W
55×269.6×103×160mO≤[σ]==71.89kN⋅m33
(4)横放下的许用弯曲力偶矩mO:
由型钢表查得
W=30.61×103mm3
由强度条件55×30.61×103×160mO≤[σ]==8.16kN⋅m33
危险截面上的正应力分布图见图c。
7-18制动装置的杠杆用直径d=30mm的销钉支承在B处。
若杠杆的许用应力
[σ]=140MPa,销钉的剪切许用应力[τ]=100MPa,求许可载荷[FP1],[FP2]。
P2
习题7-18图
解:
(1)求FP1与FP2的关系
杠杠平衡时有:
FP1×1000=FP2×250,FP2=4FP1
(2)作弯矩图,如图a所示
(a
P1
5F(b)
FP12FP12
习题7-18解图
(3)梁的弯曲正应力强度条件σmax=Mmax≤[σ]W
20×60320×303
(−W==1.05×104mm330
1000Fp1
W≤[σ]W[σ]1.05×104×140FP1≤==1.47kN10001000
∴FP2≤5.88kN
(4)校核销钉的剪切强度
剪切强度条件:
τmax=
其中,FQ=FQA≤[τ]5FP1=3.675mm22
∴τmax
则,销钉安全。
3.675×103==5.2MPa<[τ]706.86
(5)杠杆系统的许可载荷为[FP1]=1.47kN,[FP2]=5.88kN。
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