计算机二进制八进制十六进制及反码原码补码逻辑运算.docx
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计算机二进制八进制十六进制及反码原码补码逻辑运算
二进制数据的表示法
二进制数据也是采用位置计数法,其位权是以2为底的幂。
例如二进制数据110.11,逢2进1,其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。
对于有n位整数,m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示,可写为:
(a(n-1)a(n-2)...a0...a(-m))2
=a(n-1)*2(n-1)+a(n-2)*2(n-2)+...a*2(0)...+a(-m)*2(-m)
二进制数据一般可写为:
(a(n-1)a(n-2)…a
(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m))2。
注意:
1.式中aj表示第j位的系数,它为0和1中的某一个数。
2.a(n-1)中的(n-1)为下标,输入法无法打出所以用括号括住,避免混淆。
3.2^2表示2的平方,以此类推。
【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。
解:
(111.01)2=(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)
二进制和十六进制,八进制一样,都以二的幂来进位的。
二进制运算
二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。
最常用的是加法运算和乘法运算。
1.二进制加法运算
有四种情况:
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ps:
0进位为1
【例1103】求(1101)2+(1011)2的和
解:
1101
+1011
-------------------
11000
2.二进制乘法运算
有四种情况:
0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1
【例1104】求(1110)2乘(101)2之积
解:
1110
×101
-----------------------
1110
0000
1110
-------------------------
1000110
(这些计算就跟十进制的加或者乘法相同,只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了)
3.二进制减法 0-0=0,1-0=1,1-1=0,10-1=1。
4.二进制除法 0÷0=0,0÷1=0,1÷1=1,1÷0=0(无意义)
5.二进制拈加法
拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。
拈加法运算与进行加法类似,但不需要做进位。
此算法在博弈论(GameTheory)中被广泛利用
计算机中的十进制小数转换二进制
计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。
比如0.65换算成二进制就是:
0.65*2=1.3取1,留下0.3继续乘二取整
0.3*2=0.6取0,留下0.6继续乘二取整
0.6*2=1.2取1,留下0.2继续乘二取整
0.2*2=0.4取0,留下0.4继续乘二取整
0.4*2=0.8取0,留下0.8继续乘二取整
0.8*2=1.6取1,留下0.6继续乘二取整
0.6*2=1.2取1,留下0.2继续乘二取整
.......
一直循环,直到达到精度限制才停止(所以,计算机保存的小数一般会有误差,所以在编程中,要想比较两个小数是否相等,只能比较某个精度范围内是否相等)。
这时,十进制的0.65,用二进制就可以表示为:
1010011。
还值得一提的是,在目前的计算机中,除了十进制是有符号的外,其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。
在现实生活和记数器中,如果表示数的“器件”只有两种状态,如电灯的“亮”与“灭”,开关的“开”与“关”。
一种状态表示数码0,另一种状态表示数码1,1加1应该等于2,因为没有数码2,只能向上一个数位进一,就是采用“满二进一”的原则,这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。
1+1=10,10+1=11,11+1=100,
100+1=101,101+1=110,110+1=111,111+1+=1000,……
可见二进制的10表示二,100表示四,1000表示八,10000表示十六,……。
二进制同样是“位值制”。
同一个数码1,在不同数位上表示的数值是不同的。
如11111,从右往左数,第一位的1就是一,第二位的1表示二,第三位的1表示四,第四位的1表示八,第五位的1表示十六。
所谓二进制,也就是计算机运算时用的一种算法。
二进制只由一和零组成。
二进制是世界上第一台计算机上用的算法,最古老的计算机里有一个个灯泡,当运算的时候,比如要表达“一”,第一个灯泡会亮起来。
要表达“二”,则第一个灯泡熄灭,第二个灯泡就会亮起来。
二进制就是等于2时就要进位。
0=00000000 1=00000001 2=00000010 3=00000011 4=00000100 5=00000101 6=00000110 7=00000111 8=00001000 9=00001001 10=00001010 ……
即是逢二进一,二进制广泛用于最基础的运算方式,计算机的运行计算基础就是基于二进制来运行。
只是用二进制执行运算,用其他进制表现出来。
其实把二进制三位一组分开就是八进制,四位一组就是十六进制。
进制转换
十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法:
二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法:
按权展开求和法
1.二进制与十进制间的相互转换:
(1)二进制转十进制
方法:
“按权展开求和”
例:
(1011.01)2
=(1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^(-1)+1×2^(-2))10
=(8+0+2+1+0+0.25)10
=(11.25)10
规律:
个位上的数字的次数是0,十位上的数字的次数是1,......,依次递增,而十 分位的数字的次数是-1,百分位上数字的次数是-2,......,依次递减。
注意:
不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。
(2)十进制转二进制
十进制整数转二进制数:
“除以2取余,逆序排列”(除二取余法)
例:
(89)10=(1011001)2
89÷2……1
44÷2……0
22÷2……0
11÷2……1
5÷2……1
2÷2……0
1
十进制小数转二进制数:
“乘以2取整,顺序排列”(乘2取整法)
例:
(0.625)10=(0.101)2
0.625X2=1.25……1
0.25X2=0.50……0
0.50X2=1.00……1
2.八进制与二进制的转换:
二进制数转换成八进制数:
从小数点开始,整数部分向左、小数部分向右,每3位为一组用一位八进制数的数字表示,不足3位的要用“0”补足3位,就得到一个八进制数。
八进制数转换成二进制数:
把每一个八进制数转换成3位的二进制数,就得到一个二进制数。
八进制数字与二进制数字对应关系如下:
000->0100->4
001->1101->5
010->2110->6
011->3111->7
例:
将八进制的37.416转换成二进制数:
37.416
011111.100001110
即:
(37.416)8=(11111.10000111)2
例:
将二进制的10110.0011转换成八进制:
010110.001100
26.14
即:
(10110.011)2=(26.14)8
3.十六进制与二进制的转换:
二进制数转换成十六进制数:
从小数点开始,整数部分向左、小数部分向右,每4位为一组用一位十六进制数的数字表示,不足4位的要用“0”补足4位,就得到一个十六进制数。
十六进制数转换成二进制数:
把每一个十六进制数转换成4位的二进制数,就得到一个二进制数。
十六进制数字与二进制数字的对应关系如下:
0000->00100->41000->81100->C
0001->10101->51001->91101->D
0010->20110->61010->A1110->E
0011->30111->71011->B1111->F
例:
将十六进制数5DF.9转换成二进制:
5DF.9
010111011111.1001
即:
(5DF.9)16=(10111011111.1001)2
例:
将二进制数1100001.111转换成十六进制:
01100001.1110
61.E
即:
(1100001.111)2=(61.E)16
二进制、十六进制、十进制的快速转换
8421法
记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。
下面列出四位二进制数xxxx所有可能的值(中间略过部分)
仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进值
1111=8+4+2+1=15F
1110=8+4+2+0=14E
1101=8+4+0+1=13D
1100=8+4+0+0=12C
1011=8+0+2+1=11B
1010=8+0+2+0=10A
1001=8+0+0+1=99
....
0001=0+0+0+1=1
0000=0+0+0+0=00
二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。
如(上行为二制数,下面为对应的十六进制):
11111101,10100101,10011011
FD,A5,9B
反过来,当我们看到FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?
先转换F:
看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这五个数),然后15如何用8421凑呢?
应该是8+4+2+1,所以四位全为1:
1111。
接着转换D:
看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?
应该是:
8+4+1,即:
1101。
所以,FD转换为二进制数,为:
11111101
由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。
比如,十进制数1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。
所以我们可以先除以16,得到16进制数:
被除数计算过程商余数
12341234/16772
7777/16413(D)
44/1604
结果16进制为:
0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式:
010011010010。
其中对映关系为:
0100--4
1101--D
0010--2
同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数:
01101101111001011010111100011011
我们按四位一组转换为16进制:
6DE5AF1B
原码、反码、补码
在计算机内,定点数有3种表示法:
原码、反码和补码。
原码就是二进制定点表示法,即最高位为符号位,“0”表示正,“1”表示负,其余位表示数值的大小。
反码表示法规定:
正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。
原码10010=反码11101(10010,1为符号码,故为负) (11101)二进制=-13十进制
补码表示法规定:
正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加1。
1、原码、反码和补码的表示方法
(1)原码:
在数值前直接加一符号位的表示法。
例如:
符号位数值位
[+7]原=00000111B
[-7]原=10000111B
注意:
a.数0的原码有两种形式:
[+0]原=00000000B[-0]原=10000000B
b.8位二进制原码的表示范围:
-127~+127
反码
(2)反码:
正数:
正数的反码与原码相同。
负数:
负数的反码,符号位为“1”,数值部分按位取反。
例如:
符号位数值位
[+7]反=00000111B [-7]反=11111000B
注意:
a.数0的反码也有两种形式,即
[+0]反=00000000B [-0]反=11111111B
b.8位二进制反码的表示范围:
-127~+127
补码
(3)补码的表示方法
1)模的概念:
把一个计量单位称之为模或模数。
例如,
时钟是以12进制进行计数循环的,即以12为模。
在时钟上,时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位,时针的位置不变。
14点钟在舍去模12后,成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。
从0点出发逆时针拨10格即减去10小时,也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时),即2点(0-10=-10=-10+12=2)。
因此,在模12的前提下,-10可映射为+2。
由此可见,对于一个模数为12的循环系统来说,加2和减10的效果是一样的;
因此,在以12为模的系统中,凡是减10的运算都可以用加2来代替,这就把减法问题转化成加法问题了(注:
计算机的硬件结构中只有加法器,所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。
10和2对模12而言互为补数。
同理,计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8),因此它的运算也是一种模运算。
当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出,又从头开始计数。
产生溢出的量就是计数器的模,显然,8位二进制数,它的模数为8=256。
在计算中,两个互补的数称为“补码”。
2)补码的表示:
正数:
正数的补码和原码相同。
负数:
负数的补码则是符号位为“1”。
并且,这个“1”既是符号位,也是数值位。
数
值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。
也就是“反码+1”。
例如:
符号位数值位
[+7]补=00000111B [-7]补=11111001B
补码在微型机中是一种重要的编码形式,
请注意:
a.采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。
正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。
采用补码进行运算,所得结果仍为补码。
b.与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即[0]补=00000000B。
c.若字长为8位,则补码所表示的范围为-128~+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2.原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同,不需转换。
在此,仅以负数情况分析。
(1)已知原码,求补码
例:
已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。
解:
由[X]原=10110100B知,X为负数。
求其反码时,符号位不变,数值部分按位求反;
求其补码时,再在其反码的末位加1。
10110100原码
11001011反码,符号位不变,数值位取反
1+1
11001100补码
故:
[X]补=11001100B,[X]反=11001011B。
(2)已知补码,求原码
分析:
按照求负数补码的逆过程,数值部分应是最低位减1,然后取反。
但是对二进制数来说,先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的,故仍可采用取反加1有方法。
例:
已知某数X的补码11101110B,试求其原码。
解:
由[X]补=11101110B知,X为负数。
采用逆推法
11101110补码
11101101反码(末位减1)
10010010原码(符号位不变,数值位取反)
1.3.2有符号数运算时的溢出问题
请大家来做两个题目:
两正数相加怎么变成了负数?
?
?
1)
(+72)+(+98)=?
01001000B+72
+01100010B+98
10101010B-86
两负数相加怎么会得出正数?
?
?
2)
(-83)+(-80)=?
10101101B-83
+10110000B-80
01011101B+93
思考:
这两个题目,按照正常的法则来运算,但结果显然不正确,这是怎么回事呢?
答案:
这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位,n位二进制数的最高位为符号位,其余n-1位为数值位,采用补码表示法时,可表示的数X的范围是-2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1
当n=8时,可表示的有符号数的范围为-128~+127。
两个有符号数进行加法运算时,如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时,就会发生溢出,使计算结果出错。
很显然,溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算,如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位,而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时,或者反过来,次高位没有进位加入最高位,但最高位却有进位输出时,都将发生溢出。
因为这两种情况是:
两个正数相加,结果超出了范围,形式上变成了负数;两负数相加,结果超出了范围,形式上变成了正数。
而对于减法运算,当次高位不需从最高位借位,但最高位却需借位(正数减负数,差超出范围),或者反过来,次高位需从最高位借位,但最高位不需借位(负数减正数,差超出范围),也会出现溢出。
在计算机中,数据是以补码的形式存储的,所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位,而讲解补码必须涉及到原码、反码。
本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。
过程与结果显示在列表框中,结果比较少,不必自动清除,而过程是相同的,没有必要清除。
故需设清除各部分及清除全部的按钮。
测试时注意最大、最小正负数。
用户使用时注意讲解不会溢出:
当有一个数的反码的全部位是1才会溢出,那么它的原码是10000...,它不是负数,故不会溢出。
在n位的机器数中,最高位为符号位,该位为零表示为正,为一表示为负;其余n-1位为数值位,各位的值可为零或一。
当真值为正时,原码、反码、补码数值位完全相同;当真值为负时,原码的数值位保持原样,反码的数值位是原码数值位的各位取反,补码则是反码的最低位加一。
注意符号位不变。
总结
提示信息不要太少,可“某某数的反码是某某”,而不是只显示数值。
1.原码的求法:
(1)对于正数,转化为二进制数,在最前面添加一符号位(这是规定的),用1表示负数,0表示正数.如:
00000000是一个字节,其中左边第一个0为符号位,表示是正数,其它七位表示二进制的值.其实,机器不管这些,什么符号位还是值,机器统统看作是值来计算.正数的原码、反码、补码是同一个数!
(2)对于负数,转化为二进制数,前面符号位为1.表示是负数.计算原码只要在转化的二进制数前面加上相应的符号位就行了.
2.反码的求法:
对于负数,将原码各位取反,符号位不变.
3.补码的求法:
对于负数,将反码加上二进制的1即可,也就是反码在最后一位上加上1就是补码了.
二进制的逻辑运算
基本概念
逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。
二进制数1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。
这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。
计算机的逻辑运算的算术运算的主要区别是:
逻辑运算是按位进行的,位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。
逻辑运算主要包括三种基本运算:
逻辑加法(又称“或”运算)、逻辑乘法(又称“与”运算)和逻辑否定(又称“非”运算)。
此外,“异或”运算也很有用。
算法
逻辑加法(“或”运算)
逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。
逻辑加法运算规则如下:
0+0=0,0∨0=0
0+1=1,0∨1=1
1+0=1,1∨0=1
1+1=1,1∨1=1
从上式可见,逻辑加法有“或”的意义。
也就是说,在给定的逻辑变量中,A或B只要有一个为1,其逻辑加的结果为1;两者都为1则逻辑加为1。
逻辑乘法(“与”运算)
逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。
逻辑乘法运算规则如下:
0×0=0,0∧0=0,0·0=0
0×1=0,0∧1=0,0·1=0
1×0=0,1∧0=0,1·0=0
1×1=1,1∧1=1,1·1=1
不难看出,逻辑乘法有“与”的意义。
它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时,其逻辑乘积才等于1。
逻辑否定(非运算)
逻辑非运算又称逻辑否运算。
其运算规则为:
0=1非0等于1 1=0非1等于0
异或逻辑运算(半加运算)
异或运算通常用符号"⊕"表示,其运算规则为:
0⊕0=00同0异或,结果为0
0⊕1=10同1异或,结果为1
1⊕0=11同0异或,结果为1
1⊕1=01同1异或,结果为0
即两个逻辑变量相异,输出才为1
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- 计算机 二进制 八进制 十六进制 反码 补码 逻辑运算