高数第二章导数与微分知识点与习题.docx
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高数第二章导数与微分知识点与习题
高数第二章导数与微分知识点总结
第一节导数
1.基本概念
(1)定义
dX"
limf(x)f^)
Xo
XXo
注:
可导必连续,连续不一定可导注:
分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求
(2)左、
右导数
f(X0)
lim
Xo
f(XoX)f(Xo)
lim
XX
f(x)f(X0)
XXo
f'(X0)
f(XoX)f(Xo)
lim
XX
f(x)f(X0)
Xo
f'(x0)存在
f(Xo)f(Xo).
(3)导数的几何应用
曲线yf(X)在点(Xo,f(Xo))处的切线方程:
f(Xo)
f'(Xo)(x
Xo).
法线方程:
f(Xo)
—一(XXo).f'(Xo)
(1)
C'0
(2)
(xa)
(3)
(ax)'
X1,X、・X
alna(特例(e)'e)
(4)
(logaX)'
(5)
(sinX)'
cosx
(6)
(cosx)'
(7)
(tanx)'
2secX
(8)
(cotx)'
2.基本公式
sinX
2cscX
a
ax
(ao,a1)xina
(9)(secx)'secxtanx
(10)
(cscx)'cscxcotx
(11)(arcsinx)'丁
V1x*2
(12)
(arccosx)'
(13)(arctanx)'
1x
(14)
(arccotx)'
1
1x2
(15[In(X7xa2)]'
3.函数的求导法则
(1)四则运算的求导法则
复合函数求导法则--链式法则
sin2!
求函数yeX的导数.
反函数的求导法则
f(x)的反函数为xg(y),两者均可导,且f'(x)0,
(5)对数求导法:
适用于若干因子连乘及幕指函数4.高阶导数二阶以上的导数为高阶导数常用的高阶求导公式:
(1)(ax)(n)axlnna(a0)特别地,(ex)⑺ex
(sinkx)(n)knsin(kxn^)
(coskx)(n)kncos(kxn—)
2
(4)
[ln(1X)]⑴
(忙
(6)
(xk)(n)k(k
莱布尼茨公式:
1)(k2)L(kn
八kn
1)x
(uv)(n)
k)v(k),其中u®u,v®v
第二节微分
1.定义
背景:
函数的增量
yf(xx)
f(x).
定义:
如果函数的增量y可表示为
yAxo(x),其中A是与x无关的常数,则称函数
yf(x)在点xo可微,并且称Ax为x的微分,记作dy,则dyAx.
注:
ydy,xdx
2.可导与可微的关系
元函数f(x)在点xo可微,微分为dy
Ax函数f(x)在x0可导,且Af'(X0).
3•微分的几何意义4•微分的计算
(1)基本微分公式dyf'(x)dx.
(2)微分运算法则
②四则运算法则
②一阶微分形式不变
若u为中间变量,yf(u),u(x),dy
f'(u)
'(x)dxf'(u)du.
1、求下列函数的导数。
练习题
322
(1)yx(x1);
(2)y
sinx
(3)
ax・.
esinbx;
k2
(4)yIn(X\x
2
a);(5)y
x1arctan
x1
xX
;(6)y(——)x。
1x
2、求下列隐函数的导数。
(1)ysinxcos(x
y)0;
(2)
y
已知exy
e,求y(0)。
xa(t
3、求参数方程
ya(1
sint)(acost)
dy
0)所确定函数的一阶导数;[与二阶导数
4、求下列函数的高阶导数。
(n)
(1)yx,求y
(2)y
x2sin2x,求y(50)
5、求下列函数的微分。
(1)y
xx,(x0);
(2)y
arcsinx
aA__x2
6、求双曲线
2x
~2a
2
爲1,在点
b2
(2a,J3b)处的切线方程与法线方程。
7、用定义求
(0),其中f(x)
2.1X
xsin—,X
x
0,
0,并讨论导函数的连续性。
x0.
答案:
解:
r3/2八2,
[x(x1)]
/3、/2
(x)(x
1)2
x3[(x21)]
(2)
解:
(3)
解:
(4)
解:
3x2(x21)2x3[2(x21)(
x2)]
22232
3x2(x21)22x3(x21)2x
222
x(x1)(7x3)。
(沁)
x
xcosxsinx
2
(eaxsinbx)
eax(asinbx
aeaxsinbxbeax
bcosbx)。
[ln(xJx2a2)]—是
xVx
cosbx
=[xJx2a2]
2
a
(5)
(6)
(2)
3、解:
1
x
Jx2
1
2a
x
Jx2
2a
1
x
Jx2
2a
x
(arctan—
x
1
1
)
解:
y
xx解:
y[(r^)]
解:
两边直接关于x求导得
解:
将
sin
2jx2
2a
1
cf2
2
a
x
a
Jx2
1
,x
12
1(——
-)
x
1
(x1)
(x
)(x
1)2
xin
1x)
x(1x)
(1
x
(1
1,
x
ln
1x
1
[1
2x]
[1
(e
x
1)
2(x2
1)
(x1)[
1)
(J
)x[
x)。
(i
1x
(△1x
x)
x)2
xycosxsin(x
ycosxsin(xy)
sinXsin(xy)
y)(1
0代入原方程解得y1,
原方程两边直接关于x求导得eyy
上方程两边关于
dxdt
x再次求导得ey(y)2
a(1
(x2
a2)]
In
x]
xy
eyy
2y
xy
0,
1,代入上边第一个方程得y(0)
1,y(0)e1代入上边第二个方程得y
dy
cost),——aSint;
dt
dydy』dtasintdxdx#dta(1cost)
(0)
2
dyd/dy、dt
—夕一(亠)一(cscdx2dtdxdx
2-丄)
22a(1cost)
4csc4a
打1
4、
(1)解:
yx;y
1)x
依此类推y(n)
1)
n1)xn,(n1)。
(2)解:
设
usin2x,v
则u*)
k
2ksin(2x
k2)(k
1,2,
50),
(2)
6、解:
2x,v2,v(k)0(k
代入萊布尼茨公式,得
y(50)(x2sin2x)(50)
250sin(2x50
y)x2
3,4,
50),
49
50249sin(2x
49?
)
2x
50空248sin(2x48-)2
2!
2
250(
解:
y
解:
y
dy
首先把点
x2sin2x
Xhx
(e)
1225
50xcos2xsin2x)
2
xx
x(lnx1),dyx(lnx
1)dx.
12
V1xarcsinx
2
x
v1x2xarcsinx
3;
(1x2)2
V1x2xarcsinx
ydx
3
(1x2)2
(2a,J3b)代入方程左边得
2x
~2
a
2V1
4a2
~r
a
3b2
V
31,即点(2a,丁3b)是切点。
2x
对双曲线用隐函数求导得—
a
2yy
b20,
b2x
a2y
过点(2a,応b)的切线的斜率为
y(2a,73b)
2ab2
73a2b
2b
73a
故过点(2a,J3b)的切线方程为
2b
爲a
(x2a)
过点(2a,J3b)的法线方程为y
J3b
鱼(X2a)
2b
7、解:
f(0)limf(x)
x0
f(0)
x0
x2siJ
Pm;
1limxsin;
同理f(0)0;故f(0)0。
显然f(X)2xsin1
x
x2cos——2xsin-cos-在x0点连续,因此只需考查f(x)在
xxxx
x0点的连续性即可。
但已知
1
cos-在x0点不连续,由连续函数的四则运算性质知f(X)在x0点不连续。
x
讨论习题:
设f(X)xx(x3),求f(X)。
3
设函数f(x)在[1,1]上有定义,且满足Xf(x)XX,1X1,
讨论习题参考答案:
1、解:
因为f(X)
x2(xx2(32(x
3),
x),
3),
易知f(x)在开区间
0)
(0,3)
(3,
对于分段点x
f(0)
f(0)
lim
x3
X
0
f(x)
f(0)
X
0
X2(X
3)0
X
3
x2(3
X)0
3,有
0,
f(x)
f(0)
lim
x0
lim
x0
x3
"m
所以除x
3之外
f(x)在区间(
3)
f(x)
3x2
6x,
0,
2
6x3x,
3,
3,
0.
)内都是可导的;又
x2(3X)0
X
x2(x3)0
(3,
0)(3,
x0,(0,3).
0,即f(0)0;
即f(3)不存在;
)內均可导,且有
),
2、解:
因为
x2
(1x
x2
n1nx
(1x)2—
(n1)xn
Sn
x(1
x(x
x
22x
2x2
x[x(12x
x[x」
22x23
32x31
3x3
3x2
1)xn
(1x)2
nxn11(nnxn1
2x3
nx
(1
x)2
2n
nx
2n1\
nx)
nx)
n1\i
nx)]
n1
—}
八n1n2
『x(n1)xnx
x[2
(x1)2
xr2n2
[nx(x1)
(2n2
2n
八n1
1)x
(n
八2n
1)x
x1]
3、证:
由x
f(x)
3
xx,
x1,可知当
x0时,
0f(0)0,
即f(0)0
f(x)
f(0)
—,(1x
x
1,x0);
x3x
lijm丁
由两边夹定理可得
f(0)lim
x0
f(x)f(0)
x0
思考题:
若f(u)在u0不可导,
g(x)在X0可导,且u。
g(X0),
f[g(x)]在X0处()
(1)必可导,
(2)必不可导,
(3)不一定可导。
设g(x)连续,且f(x)
(xa)2g(x),求f(a)。
思考题参考答案:
解:
正确选择是(3)
例如:
f(u)
0处不可导;若取ug(x)sinx在
x0处可导,则f[g(x)]
sinx在
x0处不可导;即
(1)
不正确。
又若取
4
ug(x)x在x0处可导,则有f[g(x)]
即
(2)也不正确。
解:
因为g(x)可导,所以f(X)2(xa)g(x)
(x
x4在
x0处可导。
2
a)g(x)
f(X)f(a)
——(f(a)0)Xa
(Xa)g(X)]
f(a)limn
Xa
f(X)
limn代)
lim[2g(X)
Xa
2g(a)
第三组:
潘柏华王涛
罗宇生陈珂晔黄强
g(y)nx)f'(g(y))
1xn1
1x
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- 第二 导数 微分 知识点 习题