完整版正弦定理和余弦定理知识点总结学案附答案docx.docx
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完整版正弦定理和余弦定理知识点总结学案附答案docx
高频考点一
利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1、
(1)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=45°,则满足条件的三角形有()
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
(2)在△ABC中,已知sinA∶sinB=2∶1,c2=b2+
2bc,则三内角
A,B,C的度数依
次是________.
(3)(2015广·东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c.若a=
1,C=
3,sinB=2
π
6,则b=________.
答案
(1)B
(2)45°,30°,105°(3)1
2
解析
(1)∵bsinA=6×2=3,∴bsinA ∴满足条件的三角形有2个. (2)由题意知a=2b,a2=b2+c2-2bccosA, 即2b2=b2+c2-2bccosA,又c2=b2+2bc, ∴cosA= 2,A=45°,sinB=1,B=30°,∴C=105°. 22 【感悟提升】 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法: 根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.②几何图形法: 根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个 数. 【变式探究】 范围是() A.x>2 (1)已知在△ ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则 B.x<2 x的取值 C.2<x<22D.2<x<2 (2)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= 3 3,则 AB=________. 答案 解析 (1)C (2)1 (1)若三角形有两解,则必有 a>b,∴x>2, ax2 又由sinA=bsinB=2×2<1, 可得x<22, ∴x的取值范围是2<x<22. (2)∵A=60°,AC=2,BC=3, 设AB=x,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA, 化简得x2-2x+1=0, ∴x=1,即AB=1. 高频考点二和三角形面积有关的问题 例2、(2015·浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是 π a,b,c,已知A=,b2 4 1 -a2=c2. 2 (1)求tanC的值; (2)若△ABC的面积为 3,求b的值. 1 解 (1)由b2-a2=2c2及正弦定理得 11 sin2B-2=2sin2C. 所以-cos2B=sin2C.① π 3 又由A=,即B+C=π,得 4 4 3 -cos2B=-cos24π-C 3 =-cos2π-2C =sin2C=2sinCcosC,②由①②解得tanC=2. 【感悟提升】 111 (1)对于面积公式S=2absinC=2acsinB=2bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公 式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)由题设A与C互补及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.② 1 由①②得cosC=,BD=7, 因为C为三角形内角,故C=60°. (2)四边形ABCD的面积 11 S=2AB·DAsinA+2BC·CDsinC 11 =×1×2+×3×2sin60° 22 =23. 高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用 例3、 (1)在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 c a,b,c,若b ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 B = a+c (2)在△ABC中,cos2 2c (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为() 2 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B 【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. sinB (1)求sinC; 2,求BD和AC的长. (2)若AD=1,DC=2 解 1 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, 2 1 S△ADC=2AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. sinBAC1 由正弦定理可得sinC=AB=2. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,由 (1)知AB=2AC,所以AC=1. 【感悟提升】 (1)判断三角形形状的方法 ①化边: 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角: 通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应 用A+B+C=π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. 【变式探究】 (1)在△ABC中,内角 A,B,C所对的边长分别是 a,b,c,若 c-acosB= (2a-b)cosA,则△ ABC的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 22 (2)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=3,AB=32,AD =3,则BD的长为______. 答案 (1)D (2)3 π (2)sin∠BAC=sin(2+∠BAD)=cos∠BAD, 22 ∴cos∠BAD=3. BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD 22 =(32)2+32-2×32×3×,3 即BD2=3,BD=3. π 1.已知△ABC中,内角A,B,C所对边分别为 a,b,c,若A=3,b=2acosB,c=1, 则△ABC的面积等于() 3 B.3 A.2 4 3 3 C.6 D.8 c 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若C=2B,则b为( ) A.2sinCB.2cosB C.2sinBD.2cosC 解析: 由于C=2B,故sinC=sin2B=2sinBcosB,所以sinC=2cosB,由正弦定理可得 c =sinC sinB b sinB =2cosB,故选B。 答案: B 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 c-b= sinA ,则B=() a,b,c,且c-a sinC+sinB π π A.6 B.4 π 3π C.3 D.4 解析: 由sinA=a,sinB=b,sinC=c,代入整理得: c-b= a ? c2-b2=ac-a2, 2R 2R 2R c-a c+b 1 π 所以a2+c2-b2=ac,即cosB=2,所以B=3。 答案: C 1,则A=( ) 4.在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lgb+c A.90°B.60° C.120°D.150° 2sin2B-sin2A 的 5.在△ABC中,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c.若3a=2b,则 sin2A 值为( ) 1 1 A.-9 B.3 7 C.1 D.2 2sin2B-sin2AsinB b b 3 解析: 由正弦定理可得 sin2A =2sinA 2-1=2a2-1,因为3a=2b ,所以a= 2 , 2sin2B-sin2A 3 7 所以 sin2A =2×22-1= 2。 答案: D 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,且满足csinA=3acosC,则 sinA+sinB的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.3 解析: 由csinA= 3acosC,所以sinCsinA= 3sinAcosC,即sinC= 3cosC,所以tanC= 3, π 2π 2π π C=3,A= 3-B,所以sinA+sinB=sin 3-B+sinB= 3sinB+6 , 2π π π5π ∵0<B<3,∴ 6<B+ 6<6, ππ ∴当B+6=2, π 即B= 3时,sinA+sinB的最大值为 3.故选C。 答案: C π π 7.在△ABC中,若A= B= BC=3√2,则AC=( ) 3 4 √3 B.√3 C.2√3 D.4√5 A. 2 【答案】C。 BC AC 【解析】由正弦定理可得 : = sinA sinB BC·sinB3 √2×sinπ4 即有AC= sin π=2√3 . sinA= 3 8.在△ABC中,若a2+b2 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】C 【解析】由余弦定理: a2+b2-2abcosC=c2, 因为a2+b2 所以C为钝角,△ABC是钝角三角形. 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 c-b sinA 则B=() a,b,c,且 = c-a sinC+sinB π π π 3π A. B. C. 3 D. 4 6 4 【答案】C. 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=√2a,则() A.a>b B.a C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】由余弦定理得 2a 2 2 2 2 2 =a+b-2abcos120 ° +ab,b-a=0, b 2 b b -1+ 5 即( ) + -1=0, = √ a <1,故b a a 2 11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60 则°,cosB= . 15 10 3 【解析】由正弦定理可得 = √ √3 所以sinB= sinB 3 2 再由b √1- sin 2 √6 B= . 所以cosB= 3 √6 答案: 3 12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=√3sinAsinC,则 B= . 【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=√3sinAsinC, 所以利用正弦定理得: a2+c2-b2=√3ac, a2+c2-b 2√3 π 所以cosB= = 所以B=. 2ac 2 6 π 答案: 6 13.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. sinB (1)求. sinC (2)若∠BAC=60°,求B. 【解析】 (1)如图,由正弦定理得: AD BD AD DC = sinBsin = ∠BADsinCsin ∠CAD 因为AD平分∠BAC,BD=2DC, sinBDC1 所以==. sinCBD2 (2)因为C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°, 所以sinC=sin(∠BAC+B) √3 1 = cosB+sinB, 2 2 由 (1)知2sinB=sinC,所以tanB= √3 即B=30°. 3 14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB的值. →→ (2)若BA·BC=2,且b=2√2,求a和c的值. 【解析】 (1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB, 故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即sin(B+C)=3sinAcosB, 可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0, 1 因此cosB=. 3 →→ (2)由BA·BC=2,可得accosB=2, 1 又cosB=,故ac=6,3 由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=√6. 15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上. (1)求角C的值. A B 3 c (2)若2cos2 -2sin2 √ 且A = 2 2 2 a (2)因为2cos2A-2sin2B=1+cosA-1+ 2 2 2π A) 1 √3 π √3 cosB=cosA+cos( - = cosA+sinA=sin(A+ )= 3 2 2 6 2 2π 因为A+B= 且A 3 π 所以0 3 π ππ 即A+ ππ 所以
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