哈工大图论习题.docx
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哈工大图论习题
第一章习题
1.画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2.画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4.某次宴会上,许多人互相握手。
证明:
握过奇数次手的人数为偶数(注意,0是偶数)。
5.证明:
哥尼斯堡七桥问题无解。
6.设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹),则G中是否有回路?
7.证明:
一个连通的(p,q)图中q》-1。
8.设G是一个(p,q)图,S(G)>[p/2试证G是连通的。
9.证明:
在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点。
10.在一个有n个人的宴会上,每个人至少有m个朋友(2 有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁,每人的左、右 均是他的朋友。 11.一个图G是连通的,当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时,G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。 12.设G是图。 证明: 若S(G)青测G包含长至少是S(G)+的回路。 13.设G是一个(p,q)图,证明: (a)qNp则G中有回路; (b)若q》p+4则G包含两个边不重的回路。 14.证明: 若图G不是连通图,则Gc是连通图。 15.设G是个(p,q)图,试证: (a)S(G)(旳痢[防1)/2]+1),若p三01,2(mod4)(b)S(G) 3)/2][(p+1)/2],若3(mod4) 16.证明: 每一个自补图有4n或4n+1个顶点。 17.构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图,其中nN3 18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和 v,均有degu+degv>9 19.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。 20.试证: 图XX的图不是XX图。 21.完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么? 22.菱形12面体的表面上有无哈密顿回路? 23.设G是一个p(p>个顶点的图。 u和v是G的两个不邻接的顶点,并 且degu+degv>p证明: G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。 24.设G是一个有p个顶点的图。 证明: 若p>25(G,则有长至少为2S(G的路。 25.证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。 26.证明: 若p为奇数,则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。 28.xx邮路问题: 一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。 若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路程。 这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的,国外称之为中国邮路问题。 (1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。 (2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。 第二章习题 1.画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 2.画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。 4.某次宴会上,许多人互相握手。 证明: 握过奇数次手的人数为偶数(注意,0是偶数)。 5.证明: 哥尼斯堡七桥问题无解。 6.设u与v是图G的两个不同顶点。 若u与v间有两条不同的通道(迹),则G中是否有回路? 7.证明: 一个连通的(p,q)图中q》-1。 8.设G是一个(p,q)图,S(G)>[p/2试证G是连通的。 9.证明: 在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点。 10.在一个有n个人的宴会上,每个人至少有m个朋友(2 有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁,每人的左、右 均是他的朋友。 11.一个图G是连通的,当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时, G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。 12.设G是图。 证明: 若S(G)青测G包含长至少是S(G)+的回路。 13.设G是一个(p,q)图,证明: (a)qNp则G中有回路; (b)若q》p+4则G包含两个边不重的回路。 14.证明: 若图G不是连通图,则Gc是连通图。 15.设G是个(p,q)图,试证: (a)S(G)•S(GC/2K[防1)/2]+1),若p三01,2(mod4)(b)S(G)•S 3)/2][(p+1)/2],若3(mod4) 16.证明: 每一个自补图有4n或4n+1个顶点。 17.构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图,其中nN3 18.在图 145中,一只车从位置A出发,在半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B。 证明: 至少有一个格点,没有车走过,或被走过不至一次。 19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和 v,均有degu+degv>9 20.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。 21.完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么? 22.菱形12面体的表面上有无哈密顿回路? 23.设G是一个p(p>个顶点的图。 u和v是G的两个不邻接的顶点,并 且degu+degv>p 证明: G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。 24.设G是一个有p个顶点的图。 证明: 若p>25(G)则有长至少为2S(G的路。 25.证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。 26.证明: 若p为奇数,则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。 27.xx邮路问题: 一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。 若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路程。 这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的,国外称之为中国邮路问题。 (1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。 (2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。 第三章习题 1.分别画出具有 4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。 2.证明: 每个非平凡树是偶图。 3.设G是xx且△(G)戸证明: Gxx至少有k个度为1的顶点。 4.令G是一个有p个顶点,k个支的森林,证明: G有p-k条边。 5.设T是一个k+1个顶点的树。 证明: 若图G的最小度8(G)孑则G有一个同构于T的子图。 6.xxT有n 2个度为2的顶点,n 3个度为3的顶点,…,n k个度为k的顶点,则T有多少个度为1的顶点? 7•设G是一个连通图。 试证: G的子图G 1是G的某个生成树的子图,当且仅当G1没有回路。 8.证明: 连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。 9.设G是一个边带权连通图,G的每条边均在G的某个回路上。 试证: 若G的边e的权大于G的任一其他边的权,则e不在G的任一最小生成树中。 10.设G=(V,E,w)是一个边带权连通图,对任意x€E,w(x)》。 试证: G的一个生成树T是G的最小生成树,当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T〃满足条件: 在T中而不在「中的边e的权w(e)不大于在「中而不在T中的边e‘的权w(e)。 11.某镇有1000人,每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。 已知任何消息,只要镇上有人知道,都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。 试证: 可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息,经10天就会为全镇居民知道。 12.P个顶点的图中,最多有多少个割点? 13.证明: 恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。 14.证明: 有一座桥的三次图中至少有10个顶点。 15.设v是图G的一个割点,证明v不是G的补图Gc的割点。 16.设v是图G的一个顶点。 证明: v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w,使得v在u与w间的每一条路上。 17.割点的连通图是否一定不是欧拉图? 是否一定不是哈密顿图? 有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。 18丄是连通图G的一个回路,x和y是L上的两条边。 证明: G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边。 第四章习题 1.设G是一个有p个顶点的图,S(G)>((p+k2,试证: G是k-连通的。 2.若(p,q)图G是k-边连通的,试证: q>kp/2 3.设G是k-边连通的,k>0,E是G的k条边的集合。 证明: G-E的支数小于或等于2。 4.构造一个(p,q)图G使得S(G)=[p/21],入(G) 5.设k>0。 构造一个k-连通图G,以及G的k个顶点之集V,使得G-V的支数大于2。 6.G是一个三次正则图,试证: x(G)=入。 (G) 7.设rG是r正则图。 证明: 入(G)>[r/2] 8.构造一个图G,使得x(G)=3入(G)=,4S(G)=5 9.证明: 图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。 10.设G=(V,E)是2-边连通图,X和Y是V的子集,|X|科|Y|>且 XAY二①在G中加入两个新的顶点s和t,s与X的每个顶点之间联成一条边,t与丫的每个顶点间加一条边,这样得到的图记为G。 试证: G'是2-连通的。 11.若G是顶点数p>11的平面图,试证Gc不是平面图。 12设S={x 1,x 2,x 3,…,x n}是平面上n个顶点的集合,n》3其中任两顶点的距离至少是1。 证明: Sxx至多有3n-6对顶点,其距离为1。 13.证明: 不存在7条棱的凸多面体。 14.图G的最短回路的长度称为G的围长;若G中无回路,则定义G的围长为无穷大。 (i)证明: 围长为r的平面连通图G中有 q (ii)利用(i)证明Petersen图(见图 3.6.4)不是平面图。 15.设G是一个没有三角形的平面图。 应用欧拉公式证明G中有一个顶点v 使得degv<3 ** 16.设G是一个平面图。 证明: G同构于G当且仅当G是连通的。 17.证明: 若G是自对偶的,则q=2p- 2. 18.设G是一个没有三角形的图。 应用教学归纲法证明G是4—可着色的(事 实上,可以证明G是3-可着色的)。 19.设G是一个有p个顶点的d-正则图,证明: k(G)>p/-p)。 20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理,在哪一点证明会失败呢? 22 21.设G是一个(p,q)图,证明: k(G)>p/伽)。 22.证明: 若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点,则k(G) 23.证明: 每个xx平面图都是4-可着色的。 24.设G是一个xxxx图,证明: k'(G)=3o 25.若r是奇数且G是r-正则图,证明: k'(G)二叶1。 26.若G是彼德森图,证明: k'(G)=4 第五章习题 1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。 2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。 3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧? 4•设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。 若D是连通的,证明 p-1 5•设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图,则q至少是多大? 6.在有向图中,含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。 一个有向图若含有有向欧闰闭迹,则称此有向图为有向欧拉图。 证明: 有向图D=(V,A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v€V,总有 id(v)=od(v)。 7.证明: 有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。 8.设A是一个nXnxX巨阵,试证: (2) (2) (IVA)=(IVA)(IVA)=IVAVA 其中I是nxr单位矩阵。 其次,证明: 对任意的正整数r,有 (IVA)(r)=IVAVA ⑵V…VA(r) 9•设B是有向图D=(V,A)的邻接矩阵,|V|=p。 试证D的可达矩阵R为R=(IVB)(p) 10.xxD的图解如图一所示 (1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。 (2)写出Dxx。 v4v 1v 4v 1D: v5V3v 2v 3v 2图一图二 11.设D为图二中的xx,试求v 2到其余每个顶点的长=4勺所有通道的条数。 12.已知有向图D的邻接矩阵B,如何从B求D的可达矩阵R? 13.设T是一个正则m元有序树,它有n 0个xx,T有多少条弧? 14.令T是一个正则m元树,它有i个内顶点(出度为m)。 若E为所有内顶点深度之和,i为所有叶顶点深度之和,证明: I=(m-1)I+mi。 15.设T是一个有n 0个叶子的二元树,出度为2的顶点为n2,试证: n0二n 2+1 16.具有三个顶点的有序树共有多少个? 具有三个顶点的有根树有多个? 注意,同构的只算一个。 17.一个有序树称为一个2-3树,若每个内顶点有2个或3个儿子,并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。 试证: 若T是一个高为h的2-3树,则 (1)T的顶点数p满足2h+1-iwp<3h+1 hh (2)T的xx数在2与3之间。 18.T是一个正则二元树,它有i个内顶点(出度为2)。 若E为所有内顶点深度之和,I为所叶顶点的深度之和,证明: I=E+2i。
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