不定式方程六年级.docx
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不定式方程六年级.docx
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不定式方程六年级
不定式方程
一:
不定方程
知识精讲
一.不定方程的定义
1.一次不定方程:
含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程.
2.多元不定方程:
含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一.
二.不定方程的解法及步骤
1.常规方法:
观察法、试验法、枚举法.
2.多元不定方程解法:
根据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可.
3.涉及知识点:
列方程、数的整除、大小比较.
三.解不定方程的步骤
1.列方程.
2.消元.
3.写出表达式.
4.确定X围.
5.确定特征.
6.确定答案.
四.技巧总结
1.写出表达式的技巧:
用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数,同时考虑用X围小的未知数表示X围大的未知数.
2.消元技巧:
消掉X围大的未知数.
三点剖析
重难点:
不定方程的解法以及应用.
题模精讲
题模一 不定方程的计算
例1.1.1、
判断下列不定方程是否有正整数解,若有,求出所有正整数解.
(1);
(2);(3);(4).
答案:
(1)
(2)(3)(4)无整数解
解析:
(1),,所以,即得,
(2),,所以,.
(3),,所以,.
(4),,所以.无整数解.
例1.1.2、
已知△和☆分别表示两个自然数,并且,则△+☆=__________.
答案:
5
解析:
依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.
例1.1.3、
有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为__________,__________,__________.
答案:
7,3,2
解析:
由题意有.解这个不定方程,得.
例1.1.4、
已知代表两位整数,求方程的解.
题模二 不定方程的应用
例1.2.1、
有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里,大盒每盒装12个,小盒每盒装7个.问:
需要大盒子__________个、小盒子__________个,才能恰好把这些球装完.
答案:
大盒9个,小盒6个或者大盒2个,小盒18个
解析:
设需要x个大盒子,y个小盒子,依题意得:
,解得,.所以需要大盒9个,小盒6个或者大盒2个,小盒18个.
例1.2.2、
某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树.请问:
其中有__________名男职工.
答案:
12名
解析:
设有x名男职工,y名女职工,则孩子有名,依题意得:
,整理得:
,化简得,解得,,,其中只有时才是整数,所以有12名男职工.
例1.2.3、
有甲、乙、丙、丁四种货物,若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元;若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元;若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元.现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?
答案:
81元
解析:
设购买甲一件要x元,乙一件要y元,丙一件要z元,丁一件要w元,依题意得:
注意到题目要求的是,所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少,想办法整体求出.
观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易,一个比较明显的是可以求出
,
可以用来调整x和z的系数.接着可以让y和w的系数变的一样,得
,
得,所以.故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元.(当然本题可以直接看出得到)
例1.2.4、
将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不计.问:
剩余部分的管子最少是多少厘米?
答案:
8厘米
解析:
设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子,那么被截出的管子一共长厘米.由,得:
一定是12的倍数.而380不是12的倍数,所以是没有自然数解的!
管子不可能刚好被用尽,那么最少会剩下多少厘米呢?
由于一定是12的倍数,小于380且能被12整除的最大自然数是372,而的自然数解是存在的,如,也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子,能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米.所以剩余部分最少是厘米.
例1.2.5、
有纸币60X,其中1分、1角、1元和10元各有若干X.请你判断:
这些纸币的总面值能否恰好是100元?
答案:
不能
解析:
设1分的有xX,1角的有yX,1元的有zX,10元的有wX,依题意得
,得,很明显等号左边是9的倍数,而等号右边不是9的倍数,所以无自然数解,故这些纸币的总面值不能恰好是100元.
例1.2.6、
现有一架天平和很多个13克和17克的砝码,用这些砝码,不能称出的最大整数克重量是多少?
(砝码只能放在天平的一边)
答案:
191
解析:
设用了x个13克的砝码,y个17克的砝码,要称的重量为c克,依题意,就是求使无自然数解的c的最大值.利用拓展14解法二中提到的结论,c最大取时,无自然数解,所以不能称出的最大整数克重量是191克.
例1.2.7、
现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油,用这两个空桶要倒出1升汽油,至少需要倒多少次?
答案:
26次
解析:
依题意,模拟的倒几次后会发现,本题和不定方程:
和的解有关系.先解出这两个不定方程:
的解为:
的解为:
其中,这个解明显要小,下面解释一下它的含义.
先看它对应的过程:
1、倒满1.7升;2、1.7升倒入4升;3、倒满1.7升;4、1.7升倒入4升;5、倒满1.7升;
6、1.7升倒入4升中,还剩1.1升;7、4升的倒入大桶里;8、1.1升倒入4升;
9、倒满1.7升;10、1.7升倒入4升;11、倒满1.7升;12、1.7升倒入4升,还剩0.5升;
13、4升的倒入大桶里;14、0.5升倒入4升;
15、倒满1.7升;16、1.7升倒入4升;17、倒满1.7升;18、1.7升倒入4升;
19、倒满1.7升;20、倒入4升,还剩1.6升.21、4升的倒入大桶里;22、1.6升倒入4升;
23、倒满1.7升;24、倒入4升;25、倒满1.7升;26、倒入4升,还剩1升.
可以看出,每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升,每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升,所以两个小桶中量出的1升可以看做是,倒进的1.7x减去倒出的4y的差.那么就得到了上面的不定方程.另一个不定方程同理也很容易想明白.
例1.2.8、
某校开学时,七年级新生人数在500~1000X围内,男、女生的比例为.到八年级时,由于收40名转学生,男、女生的比例变为.请问,该年级入学时,男、女生各有多少人?
答案:
男生320人,女生280人
解析:
设开始时共人,后来变为人,则,.易知a为8的倍数,b为5的倍数,故可设,,方程化简为,且.解得,,入学时总人数为人,男生320人,女生280人.
例1.2.9、
在新年联欢会上,某班组织了一场飞镖比赛.如图,飞镖的靶子分为三块区域,分别对应17分、11分和4分.每人可以扔若干次飞镖,脱靶不得分,投中靶子就可以得到相应的分数.试问:
如果比赛规定恰好投中100分才能获奖,要想获奖至少需要投中几个飞镖?
如果规定恰好投中120分才能获奖,要想获奖至少需要投中几个飞镖?
随堂练习
随练1.1、
下列方程的自然数解:
(1),则;
(2),则;(3),则;(4),则.
答案:
(1)
(2)(3)无解(4)
解析:
枚举法.
随练1.2、
小高有若干X8分的邮票,墨莫有若干X15分的邮票,两人的邮票总面值是99分,那么小高的8分邮票有__________.
答案:
3X
解析:
设小高有8分邮票xX,15分邮票yX,依题意得:
,解得,所以小高有3X8分邮票.
随练1.3、
将426个乒乓球装在三种盒子里,大盒每盒装25个,中盒每盒装20个,小盒每盒装16个.现共装了24盒,则用了__________个大盒.
随练1.4、
新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值:
20分、40分和50分,其中面值20分的邮票售价5元,面值40分的邮票售价8元,面值50分的邮票售价9元.小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票,那么三种面值的邮票分别买了____________________.
答案:
20分的邮票3X,40分的邮票3X,50分的邮票13X
解析:
设买了xX20分的邮票,yX40分的邮票,zX50分的邮票,依题意得:
,消y得,解得,,……,同时还要满足y为整数,经验证当时,符合题意,所以买了20分的邮票3X,40分的邮票3X,50分的邮票13X.
课后作业
作业1、
方程有________组自然数解.
答案:
11
解析:
易知y可为0至的所有自然数,即方程有11组自然数解.
作业2、
求的所有整数解.
答案:
为任意整数)
解析:
先找出一组基本的解,然后写出所有解即可.
作业3、
求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解.
答案:
解析:
先确定z的值,把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程,再进行计算.正整数解如下:
.
作业4、
设A和B都是自然数,并且满足.那么__________.
答案:
3
解析:
,又因为A、B为自然数得,.
作业5、
有两种不同规格的油桶若干个,大油桶能装8千克油,小油桶能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶.问:
大油桶__________个,小油桶__________个.
答案:
大油桶3个,小油桶4个
解析:
设有x个大油桶,y个小邮桶,依题意得,解得,所以有3个大油桶,4个小邮桶.
作业6、
新学期开始了,几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书.已知老师和学生共14人,每名老师能搬12本,每名男生能搬8本,每名女生能搬5本,恰好一次搬完.问:
搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名.
答案:
老师3名,男生2名,女生8名
解析:
设搬书的老师有x名,男生有y名,女生有z名,依题意得:
,消去z得,解得,所以,所以搬书的老师有3名,男生2名,女生8名.
作业7、
小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔,每种笔都只能整盒买,不能单买.钢笔4支一盒,每盒5元;圆珠笔6支一盒,每盒6元;铅笔10支一盒,每盒7元.小李总共花了97元,买了90支笔.请问:
三种笔分别买了多少盒?
答案:
圆珠笔3盒,铅笔2盒,钢笔13盒
解析:
设圆珠笔买了x盒,铅笔买了y盒,钢笔买了z盒,依题意得:
,消去x得,解得,,……
将y、z代入原方程组,发现只有时,x有自然数解.所以买了圆珠笔3盒,铅笔2盒,钢笔13盒.
作业8、
卡莉娅到商店买糖,巧克力糖13元一包,奶糖17元一包,水果糖7.8元一包,酥糖10.4元一包,最后他共花了360元,且每种糖都买了.请问:
卡莉娅共买了多少包奶糖?
答案:
12包
解析:
不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包,则.把系数都化成整数,得:
.由于我们只关心奶糖的数量,我们将未知数分为一组,其余未知数分为另一组:
.也就是.令,则.它的自然数解只有,所以卡莉娅共买了12包奶糖.
作业9、
雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多X,其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍.这天除了某X桌子坐满外,其它两人桌每桌都只坐1人,三人桌每桌都只坐2人,四人桌每桌都只坐3人,且恰好平均每11人占用17个座位.请问:
图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少X?
答案:
二人桌24X;三人桌19X;四人桌12X
解析:
设图书馆有三人桌xX,四人桌yX,则两人桌有2yX,依题意得:
,化简得,解得,,……
为符合三种桌子共五十多X,发现只有这组解符合,图书馆两人桌有24X,三人桌19X,四人桌12X.
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