数学问题之行程问题推理原理.docx

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数学问题之行程问题推理原理

行程问题

两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。

这样的问题一般称为追及问题。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足

　　速度差×时间=追及（或领先的）路程

　　对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

　（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的

【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。

A、B两地相距多少千米？

　　【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。

这段路的长度是多少呢？

就是两人4小时一共比原来少行的路。

由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。

这样，就能求出他们现在的速度和了。

　　【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）

　　这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：

速度和×时间=（相隔的）路程。

但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。

不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。

　　【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。

小李骑车的速度为每小时10.8千米。

小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。

小李骑车从乙地到甲地需多长时间？

　　【分析】为便于分析，画出线段图36-1：

　　图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。

　　根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。

因此，DC的长为

　　这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。

这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。

这段时间为

　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）

　　这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。

　　【解】（留给读者完成，答案是195分钟。

）

　【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。

然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。

问这时是几点几分？

　　【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。

从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。

可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。

从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。

　　由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。

这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

　　8÷（3-1）×3=12（分）

　　【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分）

　　【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。

甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。

相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。

已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。

A、B两地相距多远？

　　【分析】我们同样还是画出示意图37-2（图37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：

　　设AB两地的距离为“1”。

由甲、乙两车的速度可以推知：

在相同时

　　通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。

　　下面，我们只要找出与“40千米”相对应的分率（也就是MN占全程的几分之几）。

　　【解】

　　注意：

为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。

我们来讨论封闭线路的行程问题。

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

　　封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。

在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。

　　【例5】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：

他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

　　【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。

我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。

不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。

因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400

　　知道甲还需行100（=300-200）米。

　　1400÷300=4（圈）……200（米）

　　300-200=100（米）

　　【例6】如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。

已知C点离A点80米，D点离B点60米。

求这个圆的周长。

　　【分析】这是一个圆周上的追及问题。

从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。

从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。

也就是，前者所花的时间是后者的2倍。

对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了240米。

这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。

　　【解】（80+80×2-60）×2=360（米）

　　【例3】2点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？

　　【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷4）格。

也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。

而分针每小时走12格，时针每小时走1格。

后，时针才能与分针第一次垂直。

　　每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

　　时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17格。

所以要经

推理原理

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。

通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。

　　【例1】有一座四层楼（图25-1），每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791，275，362，612。

那么，第二层楼代表哪个三位数？

　　【分析】仔细观察图25-1和组成四个三位数的12个数字，“2”出现3次，两次在个位，一次在百位。

容易看出图2（a）代表“2”，再从“6”、“7”都出现两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知：

图25-2中（b）、（c）分别代表“6”和“7”。

　　【解】第二层楼代表612。

　　【例2】有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。

为了找出这两个轻球，用天平称了3次。

结果如下：

　　第一次①+②比③+④重

　　第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻

　　第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么，两个轻球的编号是__和__。

　　【分析】从第一次称的结果看，③、④两球中有一个轻；从第二次称的结果看，⑤、⑥两球中有一个轻；从第三次称的结果看，①、③、⑤三球中有一个轻，②、④、⑧三个球中也有一个轻。

综合上面推出的结果，可找出两个轻球。

　　【解】两个轻球的编号是④和⑤。

　　说明：

在上面的推理中，我们省去了一步，也就是：

排除了①、③、⑤与②、④、⑧中都没有轻球的那种可能。

因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是轻球”这一结论与第二次称的结果相矛盾。

　　【例3】如图25-3，每个正方体的六个面上分别写着1～6这六个数字，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。

把这样的五个正方体一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。

图3中打“？

”的这个面上所写的数字是__。

　　【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是“2”，也可能是“5”。

但用反证法可把第1种情况排除。

怎样排除？

（留给读者完成）

　　【解】打“？

”的这面上写着“3”。

　　【例4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。

已知：

（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；

（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。

按规则：

胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。

问德国队得了__分。

　　【分析】由条件

（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1，说明这场比赛它以1∶0取胜。

又因为它总失球数2，所以另一场比赛以0∶2输了。

再由条件

（1）知：

以2∶0赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。

既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为1∶0。

德、意两队以0∶0踢平（各记1分）。

　　【解】德国队得了3分。

　【例5】某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。

最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。

最大的男孩多少岁？

　　【分析】最大的孩子（10岁的）不是男孩，就是女孩。

如果10岁的孩子是男孩，那么，根据题意，最小的女孩是6岁（6=10-4），从而，最小的男孩是4岁，再根据题意，最大的女孩是8岁（8=4＋4）。

这就是说，4个女孩最小的6岁，最大的8岁，其中必有两个女孩同岁，但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。

所以10岁的孩子不是男孩，而是女孩。

最小（4岁）的孩子也是女孩。

　　【解】最大的男孩是4＋4=8（岁）。

　　在上面的分析中，我们用了这样的性质：

如果4个自然数只能取三种不同的值，那么其中必定有两个数相等。

　　【例6】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。

结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。

那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

　　【分析】这次比赛共需比9＋8＋7＋……＋2＋1=45（盘）。

因为每盘比赛双方得分的和都是1分（1＋0=1或0.5×2=1），所以10名选手的总得分为1×45=45（分）。

每个队的得分不是整数，就是“a.5”这样的小数。

由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。

所以，乙队的总得分是18或36。

但36÷3.6=10，而三个队一共才10名选手（矛盾）。

所以，乙队的总分是18分，有选手18÷3.6=5（名）。

甲、丙两队共有5名选手。

　　由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分、18分（不可能是27分。

因为27＋18=45，甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名、3名，经试验，甲队4名选手，丙队1名选手。

　　【例7】将1～8这8个自然数分成两组，每组四个数，并使两组数之和相等。

从A组拿一个数到B组后，B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之

　　【分析】1～8这8个数之和为36，分成的两组每组4个数之和为36÷2=18。

第一次拿数后，A组剩下三数的和为36÷（1＋2）=12，拿出

接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成两组，其中A组另三个数之和为18-6=12。

　　【解】A组：

1，4，6，7；B组：

2，3，5，8。

　　教练员提示语

　　在运用试验法（排除法）时，应想办法使试验的次数尽可能少些，这就需要用足题目所给的已知条件，并有意识地寻找别的限制条件。

如例2中“0.5的整数倍不是整数，就是小数部分为0.5的带小数”，“3.6的整数倍不可能是a.5这种形式”等。

另外，像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手”、“A组剩下三数之和为12”等，都是推理的重要根据。

逻辑推理问题。

解这类题通常要借助于表格。

　　【例8】五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片。

现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色。

　　A猜：

第2封内是紫色，第3封是黄色；

　　B猜：

第2封内是蓝色，第4封是红色；

　　C猜：

第1封内是红色，第5封是白色；

　　D猜：

第3封内是蓝色，第4封是白色；

　　E猜：

第2封内是黄色，第5封是紫色。

　　然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中。

请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？

　　【分析】把已知条件简明地记录在表格中（如图27-1）。

选择其中一只信封作为“突破口”。

比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色。

由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色。

假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：

白色卡片没人猜对，见图27-1，“白”这栏下面5（×）、4（×）。

这说明假设不正确，第3封内应是黄色。

由此推出其它各封内的颜色（见图27-2中的“√”）。

　　【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。

试根据以下条件，判断这四人的职业。

（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班；

（2）钱比孙年龄大；

　　（3）赵在教李打太极拳；

　　（4）教师每天步行去上班；

　　（5）售货员的邻居不是机关干部；

　　（6）机关干部和工人互不相识；

　　（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。

　　【分析】由条件（4）和条件

（1）可知赵、钱都不是教师。

由条件

（2）和条件（7），可推知孙不是干部。

如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。

于是，钱也是干部，矛盾。

这样我们得到下表。

下面几步推理也用表格说明。