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SARS传播模型建立与仿真
SARS传染病模型建立与预测
张亚新刘洪光田香玉
摘要
通过对问题的分析,本文建立了SARS传播的微分方程模型,即:
,其中N(t)表示t时刻的SARS病人数,s(t)表示t时刻的传播率,r(t)表示表示t时刻的治愈率,d(t)表示表示t时刻的死亡率。
本文用s(t)、r(t)、d(t)三个参数较好地描述了SARS的传播过程。
通过采集6月20号以前的数据,结合各个参数代表的实际意义,对他们分别进行指数回归分析,得到了s(t)、r(t)、d(t)的表达式,较好地刻划了SARS的传播规律,并对疫情作出了预测。
本模型的优点表现在:
1、通过回归分析的方法使离散的点连续化;2、用微分方程描述SARS的传播问题更加准确。
本文利用Matlab软件,对复杂的微分方程进行了求解。
利用附件1提供的散点数据,得到了SARS病人数目随时间变化的曲线预测图。
预测了在6月12日左右疫情将得到缓解,在7月中旬将基本消除。
经检验,我们的预测与实际情况是相吻合的。
文中调整s(t)、r(t)、d(t)来对模型的结果进行控制,画出提前5天和推后5天进行隔离时病人数和时间的曲线,其结果与实际情况是相符的。
本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预测,并为政府部门提供决策依据,具有一定的普遍适用性。
关键词:
SARS微分方程模型控制参数检验预测
SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome,严重急性呼吸道综合症,俗称:
SARS型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
因此建立一个适合可靠的传染病模型为SARS病毒的预防和控制提供可靠、足够的信息源意义重大。
一、模型的假设
1.1模型假设:
1.将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。
2.在模型的建立中所采用的数据都是根据卫生部所公布的数据,假设这些数据真实可靠。
3.我们把整个人群看作由两个系统组成,传染系统和非传染系统。
传染系统完全由活着的SARS病人组成,且只有活着的SARS病人才具有传染能力,该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。
所有的非SARS病人组成非传染系统,其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。
4.非传染系统的成员一旦受传染就立即进入传染系统(不考虑潜伏期),并被确诊通报。
5.在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。
1.2符号规定
1、N(t):
在t时刻,具有传染能力的SARS病人;
2、Nn:
第n天,具有传染能力的SARS病人;
3、s(t):
在t时刻的传染率,即在单位时间内平均每个病人传染的人数;
4、sn:
第n天的传染率,即在这一天平均每个病人传染的人数;
5、R(t):
在t时刻,被治愈出院的病人数;
6、Rn:
第n天,被治愈出院的病人数;
7、r(t):
在t时刻的治愈率,即
;
8、D(t):
t时刻的死亡人数;
9、Dn:
第n天的死亡人数;
10、d(t):
在t时刻的死亡率,即
;
11、Q(t):
t时刻退出传染系统的人数(包括t时刻死亡人数和治愈人数),即:
;
12、q(t):
在t时刻的退出率,即
;
二、模型的建立与求解
在SARS爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对SARS病毒的传播速度和危害程度认识不够,所以政府和公众并不以为然;当人们发现被感染者不断增加、死亡人数不断增多时,政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播可以分为三个阶段:
(1)控制前的自然传播模式阶段。
(2)过渡期阶段,即公众开始意识到SARS的严重性到政府采取隔离措施前的一段时间内。
(3)控制阶段,即政府采取隔离治疗措施阶段。
但是,不管SARS传播处于哪个阶段,影响传播最本质的因素是:
自由传染者的数量N(t),传播的概率s(t)及病毒本身的传播能力(用R(t)和D(t)来衡量)等。
所以我们不分阶段进行考虑。
第n天的病人是在第n-1天的基础上加上新增的病人,减去退出传染系统的病人,即:
移项得
(1)
经过转换,得
取微分得到下面连续的方程
即:
由此得到SARS的传播模型为:
其中s(t)、d(t)、r(t)等参数可以为我们提供所需要的信息。
我们只要能够知道s(t)、d(t)、r(t)的表达式,便可以求解微分方程得到N(t)。
我们根据附件1中6月20号以前的数据进行拟合,得到s(t)、d(t)、r(t)的走势曲线,从而实现对N(t)的预测。
2.1对于s(t)-传染率
我们根据附件1市疫情的数据,根据
(1)式对s进行描点,得到一些s的散点图。
随着时间的推移,隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强,s值应该急剧减小,并趋近于0。
因此对散点进行指数回归分析(利用Matlab软件),便可得到s关于时间t的连续函数s(t),如图1所示.
将附件1中的数据以excel表格的形式导入到matlab中并命名为sheet
主程序为:
N=sheet(:
1)-sheet(:
2)-sheet(:
3);
fori=2:
65
D(i-1)=sheet(i,2)-sheet(i-1,2);
O(i-1)=sheet(i,3)-sheet(i-1,3);
end
D=D’;
O=O’;
fori=1:
64
s(i)=(N(i+1)+D(i)+O(i))./N(i)-1;
end
s=s’;
cftool
在CurveFittingTool窗口中选择Xdata、Ydata,进行Exponential指数拟合绘图如下:
图1
从图中可以看出,拟合出的指数函数与散点数据基本吻合。
根据新增死亡病例和新增治愈病例的数据,也可以得到
和r的散点图。
2.2对于d(t)-死亡率
随着医疗水平的提高以及对SARS病毒研究的深入,死亡率将逐渐减少,我们对的散点图进行指数回归分析,即得d(t)(如图2)。
图2
2.3对于r(t)-治愈率
在SARS疫情蔓延的初期,传染系统的人数较少,由于人们对SARS病毒的了解不多,防危意识不强,导致疫情的爆发,传染系统的人数急剧增加,治愈率呈现降低的趋势;随着政府的干预,人们防危意识的增强,治愈率开始增加。
同样我们对它进行指数回归分析得到如下结果(图3):
图3
将得到的s(t)、d(t)、r(t)代入微分方程,得
我们利用matlab的微分方程数值求解命令ode45(),求得N(t)的数值解,并画出随着时间变化的曲线(图4):
Matlab求解命令为:
建立M文件eq1.m
functiondN=eq1(t,N)
dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)))*N
主程序:
[t,N]=ode45(eq1,[180],[288]);
plot(t,N,'r')
图4
三模型结果的分析与检验
3.1模型与实际情况作对比图进行分析
图5
说明:
Y轴表示SARS病人数,红色曲线表示我们得到的预测曲线;离散点表示实际统计数据
由预测曲线可以看出:
Ø
病情在5月12号左右达到“高潮期”,即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期;
Ø疫情大约在6月12号之后开始缓解。
;
Ø感染系统大概在x=70时将降到0,因此,我们预计SARS疫情将在7月中旬得到基本的消除,即疫情的“最终控制期”;
实际情况是:
Ø
病情在5月15号达到最高峰,比模型中的结果晚到三天,误差较小。
值得注意的是,我们所要预测的是6月以后的发展趋势,因此这里产生的误差对预测不会造成太大影响。
Ø疫情大约在6月12号之后开始缓解;
Ø由图上可以看出,在6月之后,预测曲线和实际离散点开始接近;
Ø通过在网上查阅资料
,可以知道在7月15日全国仅有15人SARS病人接受治疗,可以认为疫情已经基本消除,和预测模型的结果相吻合。
由以上对比我们知道,建立的微分方程模型较完整地刻划了SARS病人数随时间变化的趋势,较好地解决了非典疫情的预测问题。
3.2灵敏度分析
通过查阅文献知,治愈率
的倒数为平均传染周期,我们假设一旦进行严格隔离,则传染周期将减小。
设提前
天进行严格隔离,则原模型修改为:
当
时,分别代入相应的参数求解得到两条曲线,与
时进行比较.
建立M文件
eq1.m
functiondN=eq1(t,N)
dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)))*N;
eq2.m
functiondN=eq2(t,N)
dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t))+5)))*N;
eq3.m
functiondN=eq3(t,N)
dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t))-5)))*N;
主程序:
x=1:
1:
65
[t,N1]=ode45(eq1,[180],288);
[t,N2]=ode45(eq2,[180],288);
[t,N3]=ode45(eq3,[156],288);%提前5天控制在matlab中积分区间只能取到56
plot(t,N1,’r’,t,N2,’g’,t,N3,’k’,x,N,’b.’)
图6
说明:
黑色曲线表示提前5天进行隔离;绿色曲线表示延后5天进行隔离
由图上可以看出按照我们提出的模型,提前采取严格的隔离措施
●能够大大缩短传染病的持续时间(大约能提前25天);
●能提前进入疫情控制期;
●能对疫情进行有效地控制,这和实际情况也是完全吻合的。
除了及时采取隔离措施以外,其他能够缩短平均传染周期
的措施都能够有效地提高治愈率。
如:
对抗病毒药物的研究,建立紧急防疫机制,提高医疗软、硬件水平等。
通过以上两个方面的分析,我们认为我们的模型在刻划SARS病毒的传播方面具有较强的针对性,可为预防和控制SARS疫情提供可靠、足够信息。
3.3模型的评价
3.3.1.模型的优点
a.我们在模型建立的过程中,充分考虑到治愈和死亡这两因素对SARS病人数的的影响,引进了治愈率r(t)和死亡率d(t),使模型更加贴近实际。
b.在数据有限的情况下,我们根据分析参数应有的变化规律,对数据进行指数回归分析,使离散的点连续化,建立了s、r、d关于时间t的函数关系式。
c.利用s(t)、r(t)、d(t),我们利用求解微分方程的方法找到了N关于时间t的连续函数,使得SARS的传播问题描述的更加准确。
在这里我们对模型中的
做一些讨论,作
的实际散点图如下图7所示:
图7
由于
所以,
,画出其曲线得如下图8所示:
图8
比较图7和图8,可以看出,尽管我们没有对
进行回归分析,但根据已求得的
关系式,仍然可以如实地反映实际数据的变化情况。
这说明模型是合理的。
比较图3和图8,还可以看出退出率的曲线和治愈率的曲线极其接近,这说明,在影响退出率的程度上,治愈率较之死亡率是占主导方面的,这说明在这场与SARS的斗争中,我们必将取得最终的胜利!
!
3.3.2模型的缺点
●模型的假设没有考虑潜伏期的因素,而SARS的潜伏期一般为两周,这是影响模型准确性的一个方面;
●没有考虑人员流通程度对疫情发展趋势的影响。
参考文献
[1] 遥感所课题攻关组,SARS传播时空模型研究简报,,2003.9.22。
[2]
[3]国务院新闻办公室,每日“非典”疫情,
,2003-9-23
[4] 张双得等,一类含有潜伏期的传染病动力学模型,数理医药学杂志,2002,15-5。
[5] 蒋义文,一个流行病模型研究,湖北大学学报,17-2:
133-139页,2002年。
[6]李正全,SARS影响国民经济的短期与长期分析,经济科学,第3期:
25-32页,2003年。
[7]姜启源,《数学建模》,高等教育出版社,2003
[8]张志涌等,精通MATLAB5.3版,航空航天大学出版社,2000.8。
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