张晓峒VAR模型与协整讲义.docx

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张晓峒VAR模型与协整讲义

例N=3的VAR模型的3个特点根别离是λ1=,λ2=,λ3=。

样本容量T=100，临界值相应给出。

见表。

练习协整向量个数的查验进程。

第一查验r=0。

LR=-T[

（1-λi）]=-100

=-100[log+log+log]

=-100=>（临界值）

接着查验r=1。

LR=-100

=-100[log+log]

=-100=>（临界值）

接着查验r=2。

LR=-100log（1-λ3）=-100log=-100=<（临界值）

因为r≤1已被拒绝，但r≤2未被拒绝，因此结论是该VAR模型存在2个协整向量。

如下表。

协整查验进程

零假设

N-r

特征值

迹统计量

5%水平临界值

r=rk（∏）=0

3

>

r=rk（∏）≤1

2

>

r=rk（∏）≤2

1

<

注：

临界值取自附表1的b部份。

VEC模型中确信项的处置

1．常数项的处置

VEC模型中常数项的位置可分3种情形讨论。

位置不同，相应的协整查验用表也不同。

（1）常数项μ完全属于协整空间。

那么能够把μ写成如下形式：

μ=αμ1

其中μ是N⨯1阶的，α是N⨯r阶的，μ1是r⨯1阶的。

以VAR模型Yt=μ+∏1Yt-1+ut为例，相应VEC模型形式是

∆Yt=αβ'Yt-1+αμ1+ut=α（β',μ1）

+ut

（2）常数项μ的一部份进入协整空间，一部份属于数据空间（VAR的常数项）。

下面介绍如何把μ分离成两部份。

因为α是N⨯r阶的，构造一个N⨯（N–r）阶矩阵α⊥，使α'α⊥=0。

α与α⊥正交。

概念α⊥的目的是要把μ分离成彼此无关的两部份。

μ=αμ1+α⊥μ2

显然αμ1能进入协整空间（见式）。

μ1属于协整空间的常数项。

因为α与α⊥是正交，α⊥μ2不能进入协整空间。

μ2属于数据空间的常数项。

∆Yt=μ+αβ'Yt-1+ut=αμ1+α⊥μ2+αβ'Yt-1+ut

=α⊥μ2+α（β',μ1）

+ut

下面介绍μ1，μ2的求法。

用（α'α）-1α'左乘式，得

（α'α）-1α'μ=（α'α）-1α'αμ1+（α'α）-1α'α⊥μ2=μ1

上式是μ1的计算公式。

用（α⊥'α⊥）-1α⊥'左乘式，得

（α⊥'α⊥）-1α⊥'μ=（α⊥'α⊥）–1α⊥'αμ1+（α⊥'α⊥）-1α⊥'α⊥μ2=μ2

上式是μ2的计算公式。

例举例说明μ的位置。

设N=2的VAR模型如下，

=

+

+

其中μ=

。

先求α。

转变上式，

=

+

+

因为α=

，因此α⊥=

，那么α'α⊥=

=0。

按（）式，（α'α）-1α'μ=μ1计算μ1，

μ1=（α'α）-1α'μ=

=1/10

按（）式，（α⊥'α⊥）-1α⊥'μ=μ2计算μ2，

μ2=（α⊥'α⊥）-1α⊥'μ=

=1/20

验证，μ=αμ1+α⊥μ2。

μ=αμ1+α⊥μ2=

（1/10）+

（1/20）=

+

=

按（）式，VEC模型表示为

∆Yt=μ+αβ'Yt-1+ut=αμ1+α⊥μ2+αβ'Yt-1+ut

=α⊥μ2+α（β'μ1）

+ut

=

+

+

μ的一部份进入协整空间，一部份进入数据空间。

（3）常数项只进入数据空间（VAR的常数项），不进入协整空间。

关于式，当αμ1=0时，μ=α⊥μ2。

常数项只进入数据空间

∆Yt=μ+αβ'Yt-1+ut=α⊥μ2+αβ'Yt-1+ut

2．趋势项的处置

同理，对时刻趋势项t的系数δ也能够做上述分解。

δ=αδ1+α⊥δ2

αδ1进入协整空间，表示变量协整关系中也存在线性趋势。

α⊥δ2进入数据空间（VAR的常数项）。

表示原变量中存在二次方的时刻趋势项，或差分变量中存在一次方的时刻趋势项，例如VAR模型为，

Yt=μ+δt+∏1Yt-1+ut

相应的VEC模型形式是

∆Yt=μ+δt+∏Yt-1+ut=αμ1+α⊥μ2+αδ1t+α⊥δ2t+αβ'Yt-1+ut

=α⊥μ2+α⊥δ2t+（αβ'Yt-1+αμ1+αδ1t）+ut

=α⊥（μ2+δ2t）+α（β'Yt-1+μ1+δ1t）+ut

=α⊥（μ2,δ2）

+α（β',μ1,δ1）

+ut

8.3.4协整查验用表

依照μ和δt所在位置不同，查验协整关系的LR统计量的散布也不同。

查验时应选择相应的临界值表。

附表1给出了5种模型条件下所对应的临界值。

附表1VAR模型协整查验临界值表（迹统计量）

单位根个数

α

模型类型

N-r

1

模型

（1）

2

μ=0,δ=0

3

协整空间中无常数项、无趋势项。

4

数据空间中无均值、无趋势项。

5

6

7

8

9

10

11

1

模型

（2）

2

μ1≠0,μ2=0,δ=0

3

协整空间中有常数项、无趋势项。

4

数据空间中无均值、无趋势项。

5

6

7

8

9

10

11

1

模型（3）

2

μ1≠0,μ2≠0,δ=0

3

协整空间中有常数项、无趋势项。

4

数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。

5

6

7

8

9

10

11

1

模型（4）

2

μ1≠0,μ2≠0,δ1≠0,δ2=0

3

协整空间中有常数项、有线性趋势项。

4

数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。

5

6

7

8

9

10

11

1

模型（5）

2

μ1≠0,μ2≠0,δ1≠0,δ2≠0

3

协整空间中有常数项、有线性趋势项。

4

数据空间中有二次趋势项。

5

6

7

8

9

10

11

注：

1．模型

（1）-（5）别离摘自Osterwald-Lenum（1992）表0，表1*，表1，表2*，表2。

2．α表示查验水平，N表示VAR模型中变量个数，r表示协整向量个数。

案例分析1：

关于中国GDP、宏观消费与大体建设投资的VEC模型分析。

（293-302）

用EViews估量VAR、VEC模型。

1．成立VAR模型

对任何一组有关系的经济变量都能够直接成立VAR模型。

最大滞后期k的选择能够依据LR查验、赤池准那么、Schwartz准那么。

成立VAR模型的EViews步骤是

（1）点击Quick键，选EstimateVAR功能，得如下对话框：

EViewsView的子菜单

图8图9

问题：

（1）非平稳经济变量之间能够成立VAR模型吗？

假设不存在协整关系不能够；假设存在协整关系，在滞后项充分多的前提下能够成立VAR模型。

这相当于每一个方程都是AEG协整回归式。

2．查验变量间是不是存在协整关系。

从工作文件当选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选CointegrationTest功能，得如下对话框：

其中有5种选择。

①协整空间无常数项、无时刻趋势项；②协整空间有常数项、无时刻趋势项，数据空间无常数项；③协整空间有常数项、无时刻趋势项；④协整空间有常数项、有时刻趋势项，数据空间无时刻趋势项；⑤协整空间有常数项、有时刻趋势项，数据空间有时刻趋势项。

⑥上述5种情形总览。

依照变量的实际情形作出选择。

表由第2种选择（k=3）取得的输出结果

说明3个变量之间存在一个协整关系。

实际中应注意以下几点：

（1）协整查验只适用于非平稳变量，因此协整查验之前第一要对序列做单位根查验。

（2）因为查验统计量不服从通常的χ2散布，其散布与序列中是不是有趋势和协整方程中是不是有常数项和趋势项有关系，因此协整查验之前要先决定序列中是不是含有确信性或随机性趋势项和协整方程中是不是含有常数项和趋势项。

（3）在五种情形中（见图），情形1（序列中无趋势，协整方程中无常数项和趋势项）和情形5（序列中有2次趋势）实际中很少用到。

情形

（1）只有在确认序列有零均值情形下才可利用。

情形（5）只有在序列含有2次趋势的条件下才能够利用。

（4）五种情形的选择大体原那么是，假设序列中无趋势，选情形2。

假设以为全数序列含随机趋势，那么选情形3。

假设以为某些序列是趋势平稳的，那么选情形4。

（5）若是不容易判定属于哪一种情形，可选用总览（Summary）功能，能够给出5种情形的全数查验结果。

（6）假设序列都含有单位根，但协整查验结果却是协整个数r等于序列个数N（理论上应该小于序列个数），缘故可能有两条，一。

协整查验统计量功效太低。

二。

序列的样本容量过小。

（7）假设迹统计量和最大特点值统计量的查验结果不一致，应选择其中更富有说明意义的一种。

（8）EViews做协整查验所用序列的最多个数是10个。

3．成立VEC模型。

EViews命令是点击Quick键，选EstimateVAR功能，得如下对话框：

在VAR设定（VARSpecification）对话框中点击VEC估量（VectorErrorCorrection），如以下图，

点击OK，得如下对话框：

其中协整式（Cointegrationequation）中的选择应该与前述协整查验中的选择维持一致。

点击OK，

问题：

（1）假设对协整式（Cointegrationequation）中的选择前后不一致能够否？

要慎重。

（2）写VEC表达式。

（3）说明经济意义。

注意：

（1）协整查验的临界值是对极限散布而言。

当样本容量比较小时，查验成效相当不靠得住。

在小样本条件下，ReinselandAhn（1992）和Reimers（1992）建议把统计量从

LR=-T[

（1-λi）],r=0,1,…,N-1.

修改成

LR=-（T-kN）[

（1-λi）],r=0,1,…,N-1

从而改变小样本条件下过度频繁地拒绝原假设现象。

（2）一般是先确信VAR的最大滞后期k和是不是包括漂移项、趋势项，然后估量协整向量个数r。

可是在实际中，r的选值对k和是不是包括漂移项、趋势项的选择十分灵敏。

为了使VEC模型具有实际可操作性，必需对模型的滞后期k，协整矩阵中包括几个协整向量r，协整向量中是不是包括趋势项、漂移项l，即VECM模型的结构参数做出联合选择。

设向量误差修正模型用VECM（k,l,r）表示，其中k表示最大滞后阶数；l表示是不是包括漂移项，趋势项。

设定漂移项，趋势项都包括时，l为1；只包括漂移项时，l为0；漂移项，趋势项都不包括时，l为-1。

）；r表示协整向量个数。

能够利用Schwartz准那么BIC（统计量取极小值）确信k,l,r。

别离以滞后期k和协整向量个数r对BIC值画图，那么对应l=1,0,-1，每张图中都能够取得3个曲线。

哪一种组合的BIC值最小，该种组合最好。

如图的最正确选择是VECM（2,1,2）。

详见《金融时刻序列的经济计量模型》（EconometricModelingofFinancialTimeSeries），经济科学出版社，2002，第304-307页。

上图说明向量误差修正模型选用VECM（2,1,2）模式最好。

案例分析2：

中国进出口贸易总额的协整性分析（1951-1991，file:

b7c1）。

用中国进出口贸易总额序列查验出协整关系。

用滞后2期的VAR模型最终成立起误差修正模型。

（EViews

按第3种选择（第2种选择也有一样结论）：

（EViews

（EViews

案例分析3：

英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius（1992）

Johansen-Juselius（1992）发表在计量经济学杂志（JournalofEconometrics）第53卷，211-244页。

1．购买力平价和利率平价

同种商品在不同国家应该维持相同价钱。

不然就会存在套利问题。

可是当汇率能够自由浮动时，套利问题就会排除。

用Pt表示国内商品价钱，Pt*表示国外同类商品价钱，Et表示购买力平价，那么有

Et=Pt/Pt*

即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。

对数形式是

LnEt=LnPt-LnPt*

3个变量的长期均衡关系是

LnPt-LnPt*-LnEt=u1t

其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机进程。

在均衡点处有ut=0。

下面考虑与商品有关的资本市场条件。

生产商品必然与金融资产相联系。

而金融资产能够用金融债券气宇。

国内外对这些债券的利息率是不一样的。

别离用Rt，Rt*表示。

资本市场的套利行为对汇率形成压力。

制定汇率必需使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证

Rt-Rt*=E（t）（Et+1）-Et=u2t

其中Et表示名义汇率（货币的购买力平价）。

E（t）（Et+1）表示t期对t+1期汇率的期望。

u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机进程。

维持Rt，Rt*相等称为利率平价。

2．协整关系的预分析

若是用

Yt=（LnPt,LnPt*,LnEt,Rt,Rt*）'

表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。

β1=（1-1-100）'

β2=（0001-1）'

β1表示购买力平价协整向量，β2表示购利息率平价协整向量。

3．估量协整向量个数r。

用Pt表示英国商品综合批发价钱指数。

Pt*表示入口商品综合批发价钱指数。

Et表示英国实际汇率。

Rt表示三个月的金融债券利率。

Rt*表示三个月的欧元利率。

样本数据范围是1972:

1-1987:

2。

通过对数据走势的分析，以为批发价钱指数序列中存在线性趋势。

因此在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。

2阶VAR模型估量结果显示残差序列的峰度值很高（顶峰厚尾特点），为非正态散布。

残差序列的方差专门大主若是由于世界石油价钱的转变造成的。

用石油价钱调整批发价钱指数，再次估量2阶VAR模型。

VAR模型残差序列的诊断查验结果见表1。

表1VAR模型残差的诊断查验

方程

内生变量

标准差

偏度

峰度-3

JB统计量

序列相关检验，LM（20）

1

LnPt

（<

（<

2

LnPt*

（>

（<

3

LnEt

（<

（<

4

Rt

（<

（<

5

Rt*

（>

（<

注：

χ

（2）=,χ（20）=

序列相关查验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。

但Rt和Rt*仍表现为非正态性。

这是由于它们的弱外生性造成的。

在上述2阶VAR模型基础上进行协整查验（见表2）。

结果显示协整向量个数r=2。

表2协整向量个数r的查验

H0

H1

特征根

迹统计量

协整检验临界值，α=

r=0

r≥1

>

r≤1

r≥2

>

r≤2

r≥3

≈

r≤3

r≥4

<

r≤4

r≥5

>

4．协整向量估量结果的分析与说明

非约束的5个协整向量和5个调整向量见表3。

βi和αi的顺序（从左至右）与特点根的大小顺序相对应。

依照上面的协整向量个数查验结果（r=2），说明β1和β2是协整向量，α1和α2是调整向量。

表3协整参数与调整参数的估量

内生变量

协整参数向量β的估计

β1

β2

β3

β4

β5

LnPt

LnPt*

LnEt

Rt

Rt*

方程

调整参数向量α的估计

α1

α2

α3

α4

α5

LnPt

LnPt*

LnEt

Rt

Rt*

关于购买力平价的协整向量希望LnPt*与LnEt系数的符号相同，且都与LnPt的符号相反。

观看β1和β2，显然β1是购买力平价的协整向量。

关于利率平价，希望Rt与Rt*系数的符号相反，显然β2是利率平价的协整向量。

β1和β2是标准化后的协整向量。

关于β1，取变量LnPt相应的系数为1；关于β2，取变量Rt的相应系数为1。

∏Yt-1=αβ'Yt-1=

=

=

结构VAR模型：

AYt=D+BYt-1+FZt+vt

简化型（无约束）VAR模型：

Yt=A-1D+A-1BYt-1+A-1FZt+A-1vt

令ut=A-1vt，是无约束VAR模型的误差项，是Y的预测误差。

若是只对预测误差感爱好，那么没必要关切预测误差的组成A-1vt。

在结构VAR模型中vt表示的是新息vt对内生变量的阻碍。

若是要取得脉冲响应和方差分解，有必要分析结构VAR模型的新息vt对内生变量Yt的阻碍，而不是约束VAR模型的误差项ut。

成立结构VAR模型的目的是利用经济理论从无约束VAR模型的误差项ut中取得结构VAR模型的新息。

u1=resid01/

u2=（resid02+.0022*resid01）/

u3=（resid03+.2763**resid02）/