人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第17讲正多边形和圆弧长和扇形面积有答案.docx
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人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第17讲正多边形和圆弧长和扇形面积有答案
第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积
第一部分知识梳理
知识点一:
圆与内正多边形的计算
1、正三角形在⊙
中△
是正三角形,有关计算在
中进行:
;
2、正四边形同理,四边形的有关计算在
中进行,
3、正六边形同理,六边形的有关计算在
中进行,
知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:
(1)弧长公式:
;
(2)扇形面积公式:
:
圆心角
:
扇形多对应的圆的半径
:
扇形弧长
:
扇形面积
2、圆柱侧面展开图:
3、圆锥侧面展开图
第二部分考点精讲精练
考点1、正多边形和圆的求解
例1、六边形的边长为10cm,那么它的边心距等于()
A.10cmB.5cmC.
cmD.
cm
例2、已知正多边形的边心距与边长的比为
,则此正多边形为()
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形
例3、如图,在⊙O内,AB是内接正六边形的一边,AC是内接正十边形的一边,BC是内接正n边形的一边,那么n= .
例4、圆的内接正六边形边长为a,这个圆的周长为 .
例5、如图,已知边长为2cm的正六边形ABCDEF,点A1,B1,C1,D1,E1,F1分别为所在各边的中点,求图中阴影部分的总面积S.
举一反三:
1、下列命题中的真命题是()
A.三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:
1
B.正六边形的边长等于其外接圆的半径
C.圆外切正方形的边长等于其边A心距的
倍
D.各边相等的圆外切多边形是正方形
2、已知正方形的边长为a,其内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则r:
R:
a=()
A.1:
1:
B.1:
:
2C.1:
:
1D.
:
2:
4
3、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片,则此正六边形的边长为 cm.
4、如图,正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中,已知外接圆的半径为2,则阴影部分面积为 .
5、如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).
(1)求证:
四边形PEQB为平行四边形;
(2)填空:
①当t=s时,四边形PBQE为菱形;
②当t=s时,四边形PBQE为矩形.
考点2、弧长的计算
例1、一条弧所对的圆心角是90°,半径是R,则这条弧长是()
A.
B.
C.
D.
例2、一个滑轮起重装置如图所示,滑轮半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O,绕逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14,结果精确到1°)()
A.115°B.160°C.57°D.29°
例3、已知:
如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=120°,OB=1,则∠BAD= 度,∠BCD= 度,弧BCD的长= .
例4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=
cm,将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置,且使点A、B、C′三点在一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是 .
例5、如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC为对角线.将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′,连接DC′.
(1)求证:
△ADC≌△ADC′;
(2)求在旋转过程中点C扫过路径的长.(结果保留π)
举一反三:
1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°,则弧所在的圆的半径为()
A.6B.6
C.12
D.18
2、如图,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为()
A.20cmB.20
cmC.10πcmD.5
πcm
3、一段铁路弯道成圆弧形,圆弧的半径是2km.一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道.那么弯道所对的圆心角的度数为 度.(π取3.14,结果精确到0.1度).
4、已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一周时(A→A′),顶点A所经过的路线长等于 .
5、如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠CAB=30°,BC=1米.工人师傅把此物体搬到墙边,先将AB边放在地面(直线l)上,再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边).
(1)请直接写出AB、AC的长;
(2)画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度(精确到0.1米).
考点3、扇形面积的计算
例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示,各圆心的连线构成一个五边形,那么阴影部分的面积是()
A.
B.2πC.
D.3π
例2、一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=4cm,以点A为圆心,AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积是()
A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2
C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm2
例3、如图,E是正方形ABCD内一点,连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC,若BA=4,BE=3,在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积 .
例4、如图,有一直径为1米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形,则剩下部分的(阴影部分)的面积是 .
例5、如图,已知P为正方形ABCD内一点,△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置.
(1)请说出旋转中心及旋转角度;
(2)若连接PQ,试判断△PBQ的形状;
(3)若∠BPA=135°,试说明点A,P,Q三点在同一直线上;
(4)若∠BPA=135°,AP=3,PB=
,求正方形的对角线长;
(5)在(4)的条件下,求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.
举一反三:
1、若一个扇形的面积是相应圆的
,则它的圆心角为()
A.150°B.120°C.90°D.60°
2、如图所示的4个的半径均为1,那么图中的阴影部分的面积为()
A.π+1B.2πC.4D.6
3、如图,O为圆心,半径OA=OB=r,∠AOB=90°,点M在OB上,OM=2MB,用r的式子表示阴影部分的面积是 .
4、如图,直角△ABC的直角顶点为C,且AC=5,BC=12,AB=13,将此三角形绕点A顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置,在旋转过程中,直角△ABC扫过的面积是 .(结果中可保留π)
5、如图,四边形ABCD是长方形,AB=a,BC=b(a>b),以A为圆心AD长为半径的圆与CD交于D,与AB交于E,若∠CAB=30°,请你用a、b表示图中阴影部分的面积.
考点4、圆锥侧面积计算
例1、如果圆锥的高为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是()
A.16πcm2B.20πcm2C.28πcm2D.36πcm2
例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族,喜爱居住毡房,毡房的顶部是圆锥形,如图所示,为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布.已知圆锥的底面直径是5.7m,母线长是3.2m,铺满毡房顶部至少需要防雨布(精确到1m2)()
A.58 m2B.29 m2C.26 m2D.28 m2
例3、扇形的圆心角为150°,半径为4cm,用它做一个圆锥,那么这个圆锥的表面积为 cm2.
例4、在十年文革期间的“高帽子”.这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板,做成如图②所示的无底圆锥体.已知接缝的重叠部分的圆心角为30°.
(1)求重叠部分的面积.(结果保留π)
(2)计算这顶“高帽子”有多高?
(结果保留根号)
例5、已知:
一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm,圆心角为120°的扇形,求这圆锥的底面圆的半径和高.
举一反三:
1、若圆锥的侧面积为12
cm2,它的底面半径为3cm,则此圆锥的母线长为()
A.4
cmB.4 cmC.2
cmD.2 cm
2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形,它的面积是10cm2,底边上的高线是5cm,则圆锥的侧面展开图的弧长等于()
A.87
cmB.47
cmC.8 cmD.4 cm
3、如图,扇形的半径为6,圆心角θ为120°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的高为。
4、如图,有一边长为4的等边三角形纸片,要从中剪出三个面积相等的扇形,那么剪下的其中一个扇形
ADE(阴影部分)的面积为 ;若用剪下的一个扇形围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径r是 .
5、如图,已知在⊙O中,AB=8
,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
第三部分课堂小测
1、如图,八边形ABCDEFGH中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°,AB=CD=EF=GH=1cm,BC=DE=FG=HA=
cm,则这个八边形的面积等于()
A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.14cm2
2、起重机的滑轮装置如图所示,已知滑轮半径是10cm,当物体向上提升3πcm时,滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为()
A.108°B.60°C.54°D.27°
3、如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么圆锥的全面积是()
A.8
cm2B.10
cm2C.12
cm2D.9
cm2
4、如图,OAB是以6cm为半径的扇形,AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C,如果弧AB的长等于3cm,AC=4cm,则图中阴影部分的面积为()
A.15cm2B.6cm2C.4cm2D.3cm2
5、如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3,⊙O4,⊙O的半径均为2cm,⊙O与⊙O1,⊙O3相外切,⊙O与⊙O2,⊙O4相外切,并且圆心分别位于两条互相垂直的直线L1,L2上,连接O1,O2,O3,O4得四边形O1O2O3O4,则图中阴影部分的面积为()平方厘米.
A.32B.32-8πC.16-4πD.8π
6、如图,已知在⊙O中,直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上,并且∠POM=45°,则AB的长为 .
7、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm,重叠阴影部分的量角器弧
所对的扇形圆心角∠AOB=120°,若用该扇形AOB 围成一个圆锥的侧面(接缝处不重叠),则该圆锥的底面半径为 cm.
8、如图,已知正n边形边长为a,边心距为r,求正n边形的半径R、周长P和面积S.
9、如图,在正方形ABCD中有一点P,连接AP、BP,旋转△APB到△CEB的位置.
(1)若正方形的边长是8,PB=4.求阴影部分面积;
(2)若PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的长.
10、如图,有一直径为1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC
(1)找到圆形铁皮的圆心O(要求尺规作图,保留作图痕迹);
(2)求剪掉部分即阴影部分的面积(结果保留π);
(3)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?
11、如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,点B的坐标为(-1,2),将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O.
(1)在旋转过程中,点B所经过的路径长是多少?
(2)分别求出点A1,B1的坐标;
(3)连接BB1交A1O于点M,求M的坐标.
第四部分提高训练
1、阅读下列材料,然后解答问题.
经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆,圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形.
如图,已知正四边形ABCD的外接圆⊙O,⊙O的面积为S1,正四边形ABCD的面积为S2,以圆心O为顶点作∠MON,使∠MON=90°,将∠MON绕点O旋转,OM、ON分别与⊙O相交于点E、F,分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H.设由OE、OF、
及正四边形ABCD的边围成的图形(图中的阴影部分)的面积为S.①
(1)当OM经过点A时(如图①),则S、S1、S2之间的关系为:
S=______(用含S1、S2的代数式表示);
(2)当OM⊥AB时(如图②),点G为垂足,则
(1)中的结论仍然成立吗?
请说明理由;
(3)当∠MON旋转到任意位置时(如图③),则
(1)中的结论仍然成立吗?
请说明理由.
2、如图中有四个面积相同的圆,每个圆的面积都记为S,∠ABC的两边分别经过圆心O1、O2、O3和O4,四个圆盖的面积为5(S-1),∠ABC内部被圆盖住的面积为8,阴影部分的面积为S1、S2、S3满足关系式:
.求S的值.
3、铁匠王老五要制作一个圆锥体模型,操作规则是:
在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图所示的方案一,发现这种方案不可行,于是他们调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案二.(两个方案的图中,圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算可以吗?
(1)请说明方案一不可行的理由;
(2)判断方案二是否可行?
若可行,请确定圆锥的母线长及其底面圆半径;若不可行,请说明理由.
第五部分课后作业
1、如图,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,则正五边形的中心角∠AOB的度数是()
A.72°B.60°C.54°D.36°
2、如图中,正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的有()
A.
(1)
(2)(3)B.
(2)(3)(4)
C.
(1)(3)(4)D.
(1)
(2)(3)(4)
3、如图,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置.若BC=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()
A.10πcmB.30πcmC.15πcmD.20πcm
4、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是()
A.180°B.200°C.225°D.216°
5、如图,在半径为
,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF,使点C在OA上,点D、E在OB上,点F在
上,则阴影部分的面积为(结果保留π)()
A.
B.
C.
D.
6、将一个半径为8cm,面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器(不计接缝),那么这个圆锥形容器的高为()
A.4cmB.4
cmC.4
cmD.2
cm
7、一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm(保留根号).
8、如图,小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形,然后利用剩下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为 cm.
9、如图1,在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形,使之恰好围成图2所示的一个圆锥,则圆锥的高.
10、如图,以AD为直径的半圆O经过点E,B,点E、B是半圆弧的三等分点,弧BE长为
,则图中阴影部分的面积为 .
11、如图,正方形ABCD的外接圆为⊙O,点P在劣弧CD上(不与点C重合).
(1)求∠BPC的度数;
(2)若⊙O的半径为4,求正方形ABCD的边长.
12、“五一”节,小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮,摩天轮的半径为20m,匀速转动一周需要12min,小雯所坐最底部的车厢(离地面0.5m).
(1)经过2min后小雯到达点Q,如图所示,此时他离地面的高度是多少?
(2)在摩天轮滚动的过程中,小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中?
13、如图,一个圆锥的高为3
cm,侧面展开图是半圆.
求:
(1)圆锥的母线长与底面半径之比;
(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角);
(3)圆锥的侧面积.
14、如图,已知△ABC,AC=BC=4,O是AB的中点,⊙O分别与AC、BC相切于点M、N,与AB交于E、F,连ME并延长交BD的延长线于D,∠1=∠2.
(1)求证:
∠C=90°;
(2)设图中阴影部分的面积分别为S1、S2,求
的值.
参考答案
第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积
第二部分考点精讲精练
考点1、正多边形和圆的求解
例1、D
例2、B
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、B
2、B
3、
4、
5、解答
(1)证明:
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,
∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,
∴AP=DQ=t,PF=QC=4-t,
在△ABP和△DEQ中,
∴△ABP≌△DEQ(SAS),
∴BP=EQ,同理可证PE=QB,
∴四边形PEQB是平行四边形.
(2)解:
①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBEQ是菱形时,此时t=2s.
②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,
∴∠BPE=120°-30°=90°,
∴此时四边形PBQE是矩形.
当t=4时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,t=0s或4s时,四边形PBQE是矩形.
故答案为2s,0s或4s.
考点2、弧长的计算
例1、C
例2、C
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、D
2、D
3、
4、
5、
考点3、扇形面积的计算
例1、A
例2、A
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、C
2、C
3、
4、
5、
考点4、圆锥侧面积计算
例1、B
例2、B
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、B
2、B
3、
4、
5、
第三部分课堂小测
1、A
2、C
3、C
4、D
5、B
6、
7、
8、
9、
10、
11、
第四部分提高训练
1、
2、
3、
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为
第五部分课后作业
1、A
2、C
3、D
4、D
5、A
6、B
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
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- 人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第17讲 正多边形和圆弧长和扇形面积有答案 人教版 九年级 上册 数学 24 讲义 17 正多边形 圆弧 扇形 面积 答案
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