溯本求源再探认识分数.docx
- 文档编号:6331380
- 上传时间:2023-01-05
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:141.14KB
溯本求源再探认识分数.docx
《溯本求源再探认识分数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《溯本求源再探认识分数.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
溯本求源再探认识分数
溯本求源,再探认识分数
——“分数的意义”认知视点例谈
镇海区精英小学梅永达
【摘要】分数的概念内涵丰富而抽象,不仅是小学数学中重要的学习内容,也是数的概念的一次重要扩展。
掌握分数的意义对学生后续学习具有很大的作用。
本文通过探寻学生在学习分数的认识状态及成因分析,解读分析教材,试图寻找到一条能有效地促进学生对分数意义的建构之路。
【关键词】分数的意义单位“1”
分数是一个既丰富又抽象的数学概念,它与小数、比、百分率、概率和除法等教学有着密切的联系。
分数概念的教学也是分数教学中最基本、最核心的内容。
教学中,所涉及到分数的内容一直是学生学习的难点,也是教师教学的一大困惑:
当单独地进行分数概念的学习时,觉得简单易学,而一旦进入分数乘除法的后续学习时,就会发现各种各样的问题如雨后春笋般陆续暴露出来了。
那么学生学习分数的困难到底是什么?
教材是如何帮助学生再次认识分数的?
在教学中又该如何有效地促进学生对分数意义的建构呢?
笔者作了如下探索。
一、错误背后病因的探究——关注学习者真正的认知状态
(一)扫描错误:
“简单”背后的“不简单”!
区分“关系”和“具体的数量”是“分数的意义和性质”这一单元的教学重点和难点。
这个知识点看似简单,掌握起来却不容易,学生往往会将两种意义混淆。
如同样的一道题,随着教学的推进,笔者在不同时段分别进行了3次测试(全班共40人),具体测试情况如下:
序号
测试时间
题目
正确率
错误分析
测试1
学完“分数的意义”后
3米长的木条锯成同样长的6段,每段是这根木条的()。
100%
ˉ
测试2
学完“分数与除法的关系”后
3米长的木条锯成同样长的6段。
每段长()米。
95%
受大数除以小数的影响,有2人填成“6÷3=2,每段长
(2)米”。
测试3
复习和整理
3米长的木条锯成同样长的6段,每段是这根木条的();每段长()米。
60%
错误1:
前后两空答案颠倒;
错误2:
第2空因“6÷3=2,所以填成每段长
(2)米”。
从测试中,不难看出学生在每个内容学完后,单独练习中都能正确回答,但两者放一起,正确率却只有60%。
另外,测试中也发现有不少学生写成每段长(0.5)米。
问其原因,都回答道如果用分数1/2表示,总感觉没算完似的。
(二)剖析病因:
是粗心大意还是思维惯性?
以上错例,看似细小却折射出学生的认知心理,反映出他们认知上的某些缺失和障碍。
学生虽经老师提醒,能很快订正好。
但随后类似的问题还是会故伎重演。
把两个分数写错了位置,仅仅是所谓的“粗心大意”’吗?
在表示其计算结果时,在第一时间首先想到的是用小数表示而非分数,这仅仅是思维惯性吗?
笔者认为对于建立分数概念时产生的错误,主要有以下几个原因。
1.对分数是一个数,存在认识障碍
通过调查发现,学生能够理解分数与除法的关系,清楚数量关系,也知道可以用分数来表示商。
但是对于“分数是一个实实在在的数”却存在着认识障碍,尤其是当商为假分数时,认知障碍更为严重。
因为在分数意义的起始课中,教师选用的素材中都不会出现假分数,用的都是真分数,在一定程度上强化了学生对假分数作为一个数存在的认知障碍,其次平时也很少对假分数有这样的生活经验感知与体验,因为生活中出现更多的是小数。
2.对分数理解不透彻,未形成完整的认知
由于学生对分数的意义理解不透彻,即对“分数既可以表示一个具体数量,也可表示一种关系”的认识不透彻,对其理解仅局限于“部分与整体的关系”这一心理图像,从而是造成“用分数表示商”的意识缺乏、混淆分数作为一个具体数量和作为一种关系的根源所在。
分数兼数的性质和比的性质是一个难点,学生不能正确区分此分数是一个其体数量还是一种关系,难以分清数量之间的关系,同样也难以较好地掌握分数其他相关知识。
二、认知网线布控策略——教师该如何注释认知的力度?
美国心理学家奥苏伯尔把教学心理学概括为一句话就是“影响学生的唯一最重要的因素,就是学习者已经知道了什么。
要探明这一点,并应据此进行教学”。
(一)关于分数,学生已经触及了多少?
回顾学生学习分数的经历,在三上就通过《分数的初步认识》已经认识了分数,并且能结合具体情境初步理解分数的意义,能认、读、写简单的分数,会进行比较分数的大小。
知道可以把一个物体或一条线段平均分成几份,表示这样的一份或者几份可以用分数来表示。
也有部分学生通过自己的生活经验,把单位“1”突破到了一些物体,有了一些零散、不系统、不严谨的初步感知。
紧接着,学生又在三下《认识小数》中既认识了小数,也是巩固了分数的理解与掌握。
因为小数是十进分数的另一种表示形式。
而四下《小数的意义》引入的内容,也是已在三年级《分数的初步认识》中例5出示过。
经过这样三次反复出现,学生已基本通晓分数与小数之间的内在联系。
因此,学生在初步认识分数后的两年中,不仅没有停留在认识的层面,而是结合小数的产生与意义多角度地,多层面地深化、抽象分数。
(二)对于分数的意义,学生有需经历哪些阶段?
解读人教版全12册教材,发现关于“分数的意义”学生要经历5个阶段。
且笔者对每个阶段的学习重点,从一个阶段到另一个阶段需要经历那些数学活动进行了分析。
学习
阶段
学习内容
主要数学活动
第一阶段(二年级)
“平均分”
经历“平均分”的活动,初步认识分数积累了大量的经验。
第二阶段(三年级)
分数的初步认识
在“平均分”的基础上,体会“不够分”从而产生新数的必要性;同时利用“平均分”活动借助多种图,帮助学生直观认识分数所表示的部分与整体的关系。
第三阶段(五年级)
分数的再认识(分数的意义和性质)
对分数的理解将得到极大的扩充,主要有:
分数产生背景的扩充;
对“整体”认识的扩充,既可以把1个物体看成整体,也可以把多个物体看成整体;
对部分与整体的关系扩充为集合与集合元素之间的关系;
认识分数单位,体会分数是分数单位的累积;
认识分数与除法的关系,分数既是除法运算的结果,本身也是一个“运作”的过程。
比如3/4可以看成是3÷4。
第四阶段(五年级)
分数的运算和解决实际问题
加深对分数意义的理解。
尤其是,学生将进一步认识到分数是一个数,可以进行各种运算;同时进一步理解分数本身的“运作”过程。
比如120×3/4可以看成120÷4×3。
第五阶段(六年级)
比的学习
沟通了小学阶段三个重要概念之间的联系,即分数、除法和比的关系。
(三)关于教材,为什么要二次认识分数?
通过资料查询,发现不仅是人教版,苏教版、北师大版等不同版本的教材,几乎都在三年级先安排了初步认识分数,随后又不约而同地在五年级再次安排了认识分数的相关内容。
教材为什么要如此安排呢?
1.概念认知的需求——深入学习,纵横交错
根据认知需求出发,关注学生需要聚焦知识点间的网络联系,从纵向上看,分数的初步认识是为意义而服务,意义的理解建立在认识的基础上,同时它更是进一步学习分数的基本性质、约分、通分乃至分数的加减乘除法等后续知识的基础,具有承前启后的关键作用。
从横向来看,分数的认识和小数的认识与计算、百分数的认识密切交织在一起。
教材先初步认识了分数,三下开始了小数的认识,在五年级充分认识分数的基础上,六年级又认识了百分数。
因为小数与百分数都是分数的一种特殊形式。
因此,充分认识好分数,既是对小数认识与理解的一个补充与提升,更是百分数教学的基础。
可见,分数的再认识是基于学生认知需要而设置的。
2.思维训练的需要——从“是什么”走向“为什么”
三年级《分数的初步认识》是建立在分数“是什么”的基础之上进行学习。
初次接触分数,通过把一个物体平均分而引出分数,从而认识分数。
而五年级再次学习分数是为了解决“为什么”这一问题。
在《分教的意义》教学中,则更深入地、系统地认识单位“1”的概念,知道单位“1”可以是一个图形、一个计量单位,还可以是一个具体数量;了解分数既表示部分与整休的关系,还表示一个具体的量,进一步扩展了对分数意义的理解。
所以,两次的认识有本质的区别,五下把单位“1”从一个物体扩展到多个物体,数量从“1个”变成“多个”。
不仅丰富了对单位“1”的认识,且更加注重单位“1”的各种类型展现,特别是把一个具体数量看成单位“1”的拓展尤为重要。
在这种情况下理解分数,是学生认识与思维的“质”的飞跃,其间包含了高强度的思维训练。
因此分数的再认识,也有助于发展学生的抽象思维能力。
(四)二度认识分数,教师的关注点是什么?
什么是分数?
难道只要学生会说“一个物体或一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若l干份,这样的一份或者几份都可以用分数来表示”,意味着已经在思维上完成了对分数意义的有效建构?
他们在三年级时已经借助各种模型全面地认识过各种小于1的分数了,五年级二度认识分数,难道仅仅只是三年级内容的一次重现与拼盘吗?
此时,教师的关注点又该在哪儿呢?
1.抓重点,建构丰富的分数意义
让学生真正理解接纳分数的的深层含义,分数不仅可以表示“分率”,也可以表示“具体的量”,因为“率”和“量”是分数意义的根本所在。
张丹教授在《小学数学教学策略》一书中指出:
对分数意义的理解应关注以下两个基本维度和四个具体方面(如右图):
分数的意义从“比”和“数”两个基本维度出发,从四个方面来完成对分数丰富性的认识,即比率、度量、运作和商。
四者相辅相成,共同承担着学生对于分数的丰富内涵的认识建构。
其中,“商”和“度量”两个维度的认识最终可纵凝聚为对分数是一个数的认识,而“比率”和‘“运作”两个维度的认识最终可以凝聚为对分数是一种关系的认识,如果学生真的接纳了分数既是一个实实在在的数,也是两个数量之间的关系,就可以改变目前这一尴尬的境地,并对后续分数的乘法和除法计算教学都有促进作用。
另外,张奠宙教授也在《“分数”教学中需要澄清的几个数学问题》中谈到:
“分数”的份数定义需要修改,突出引进“新”数的意义。
建议在原来分数的定义中加上“大小”两个字,即“把一个整体(也就是单位“1”)平均分以后,表示其中一份或几份大小的数叫做分数”。
笔者比较赞同添上“大小”两字,修改和完善分数的概念。
这样,学生在遇到计算结果是分数时,不会不放心地将其再计算成小数了。
让他们刚开始学就知道分数是有大小的一种数,从分数的意义上进行完善,以此达到深化认识的目的。
再次翻阅教材,其实教学完分数意义后,教材练习十一第5题(P64)就有此安排(如右图):
在三年级时教师会把目标定在“把1包饼干看成单位1,平均分成3份,每人分到1/3。
”而在五下中更多的关注是“1/3包是()块”,即理解“12的1/3是多少”。
其实这就是“分率”和“具体数量”相关概念建立的雏形。
正是由于单位“1”有着内涵的丰富,使学生对分数从原先比较单纯的比值性意义上升到比较复杂的比值性和数量性意义交触的理解状态。
2.破难点,充分理解单位“1”
单位“1”是完整的分数知识体系中的一个重要概念,它的教学与建构需要有一个循序渐进的过程。
教材是这样描述单位“1”:
“一个整体可以用自然数‘1’来表示,通常把它叫做单位‘1’。
”学生受分数初步认识的影响,通常难以突破原有的认知,对于把一些物体看作一个整体存在困难;也容易产生困惑:
这些被等分的对象为什么被叫作单位“1”,此“1”和以前学的1有什么区别?
①完整而有层次教学单位“1”
首先,教师要树立一个“完整而有层次教学”的意识。
梳理教材,关于单位“l”在教材中作了如下安排:
三年级:
初发单位“l”认知萌芽阶段。
教材“初步认识分数”的例3,第一次出现单位“1”时,教师就应及时渗透单位“l”的概念和“整体”这一重要意识,为后继学习准备好一个最近发展区。
五年级:
正式构建单位“1”阶段。
揭示单位“1”的概念,其中把一个集合看做单位“1”,是学生在认识自然数“1”的基础上的延伸。
在教学这一部分知识时教师一定要用好学生的知识基础和生活经验,也就是要充分利用学生学习分数的最近发展区,在学生的头脑中深深确立单位“l”的概念和形象。
六年级:
加固深化单位“1”阶段。
继而学习百分数,进步丰富了学生对于单位“1”的理解。
②既要认识“1”,也要认识“单位”
华应龙老师也曾提出:
在单位“1”的认识中不能过于强调“l”的认识,而忽略对于“单位”的认识,要使学生认识到单位“1”就是一个计量数的单位。
它和米、千克等具有相同的性质。
如课堂作业本中一题:
说出“一节课的时间是2/3小时”中分数所表示的实际意义。
”正确率只有27.5%。
72.5%学生认为:
应该把“一节课的时间”看作单位“1”。
因为学生不熟悉“1小时”这样表示具体数量的分数,不能清楚地认识到像“2/3小时”这样带有单位名称的分数,都表示把相应的计量单位(如1元、1米、小时等)作为单位“1”进行平均分所得到的结果。
翻阅教材,在三下《认识分数》单元中,教材曾经安排一组练习,要求学生把以“角”作单位的数量改写成以“元”作单位的数量;把以“分米”作单位的数量改写成以“米”作单位的数量。
显然,这组练习不仅能为学生接下来认识小数做准备,也能使他们初步认识到“分数也可用来表示某个具体数量”。
而这正是学生理解“2/3小时”的重要经验基础。
因为可设计如题组,引导学生展开辨析讨论:
题目
教学要点
① 一根彩带,第一次用去了它的3/10,第二次用去3/10米。
问:
两次用去的彩带中,哪一次用去的长度是确定的,哪一次用去的长度不能确定?
追问:
0.3米就是几分米吗?
你是怎样想到0.3米就是3分米?
指出:
0.3米的含义就是把1米看作单位“1”,平均分成10份,表示有这样的3份。
② 小兰买一枝铅笔,用去9/10元;小红买一枝钢笔,用去是所带钱数的9/10。
问:
能先确定的是哪种笔的价钱?
追问:
钢笔的价钱为什么不能确定?
要知道一枝钢笔的价钱,先要知道什么?
铅笔的价钱就是几角?
你是怎样想到9/10元就是9角?
指出:
0.9元的含义就是把1元看作单位“1”,平均分成10份,表示有这样的9份。
引导归纳:
3/10米和9/10元这两个带有单位名称的分数都可以怎样理解?
小结:
它们都要把相应的计量单位看作单位“1”,它们都表示一个确定的数量。
③同学们用一节课时间的做作业;一节课的时间是2/3小时。
问:
做作业有没有用完一节课的时间?
追问:
你是怎样理解“一节课时间的是2/3小时”?
进步追问:
从已知条件中,你能知道一节课的时间是多少分吗?
你是怎样想到2/3小时就是40分的?
指出:
2/3小时的含义就是把1小时(也就是60分)看作单位“l”,平均分成3份,表示有这样的2份。
60÷3×2=40(分)。
通过这样的认识,让学生把单位“1”和他们所熟悉的“单位”的概念整合起来。
因为单位“1”也就是一个计量的标准,学生熟悉的元、米、千克、小时等的单位“1”是固定的、约定俗成的。
而分数的单位“1”是多变的,但具有相同的数学性质。
3.拓内涵,关注对分数单位的认识
分数单位的认识,也是“分数的再认识”应关注的重要内容。
“数起源于数,量起源于量。
”度量可以很好地将分数理解为分数单位的累积。
从“度量”的角度来看,分数是由若各干分数单位的“累积”。
从这个角度来认识分数,可以更加贴近分数的实质,更加便于学生理解分数的“来龙去脉”。
因此,引导学生在丰富多彩的数学活动中,从“度量”的角度来感受和认识分数,这是二次认识分数的重要内容,更是引领学生多角度认识事物的一种训练,一种提升。
三、从而新旧概念的联结视点——应以怎样的方式诠释?
(一)跳出“面积模型”,用好其他模型
学生最早是通过“部分→整体”来认识分数的。
教材中分数概念引入就是通过“平均分”某个“圆”、“正方形”或“长方形”,取其中的一份或几份从而认识分数。
他们对于“面积模型”有着丰富的体验,因此能轻松地进行学习。
但是在借助“面积模型”认识假分数时却出现了一定的困难。
这就需要教师强化对于部分与整体的认识,打破认识局限,即部分是可以大于或等于整体的。
其次注重对假分数大小的感受,增强对假分数的数感,可引导学生经常使用整数或带分数来表示假分数。
因此,教学分数时,除“面积模型”外,还可以用其他模型来诠释。
1.多用“十进分数模型”
其实,学生对于“十进分数原型”也是非熟悉的。
如最熟悉的数量关系之一是人民币的“元、角、分”。
1元平均分为10份,每份是1角,那么1角是1元的几分之一呢?
量尺上的刻度把1厘米平均分为10毫米,那么3毫米是1厘米的几分之几呢?
这是也是具体、形象的模型。
就像前面叙述的案例中把“角”当做1/10元,是分数教学的价值所在。
又如利用分数和小数的密切关系,用较易懂的小数的思想帮助理解较难懂的分数意义。
认识易懂的“特殊”,有助于认识困难的“一般”。
2.用好“数线模型”
“数线模型”,即用“数轴”上的点表示分数。
在与数轴上的点和分数建立一一对应关系,以此增强数感。
无论一个苹果、一盒苹果、一箱苹果,在数轴上都表示为1。
这是数学思维上的一个飞跃,需教师进行不断强化。
让学生可以清楚地看到分数在0和任何一个整数间密密麻麻地分布着,形象容且易懂。
教材也在练习中安排了一定的“数线模型”学习,帮助其增强“数线模型”能力,如
(1)在数线上描出
,
,
对应的点。
(2)观察每个点在数线上的位置,说说你的发现。
(3)在
和
之间是否还存在其他分数,再列举几个这样的分数。
(4)你还能画出
吗?
通过上面的这些“数线模型”练习,学生的数感必然会提高。
分数教学的本质就是培养学生的分数数感,领悟分数是一种新数,在模型的深入与思维的过程中全面认识分数。
(二)抛弃“形式记忆”,不断深入剖析
深刻了解习题用意,对接经验,辅以“归一”思想,借助线段图,对比推进,进一步完善学生对分数意义的理解,而不是让练习成为形式上的记忆。
人教版《数学》五年级下册配套作业本P27有这样一道习题(如图):
虽然此题打“*”,在此出现有一定的难度。
因为在六年级学了用分数乘法解决问题后,就可把该题归结为“求一个数的几分之几是多少”,简单多了。
现在,即使弄清楚了,部分学生到最后也只是从形式上记住了“3米的1/4等于1米的3/4”,而并未真正理解题意。
其实,这是在考查学生对分数意义的理解。
其方法有三,具体如下:
①对接经验,回归小数
有些学生会不约而同地利用小数除法的基础和经验想到用小数来理解。
先理解3米的1/4表示把3米平均分成4份,可以用“总长度÷段数=每份的长度”,即3÷4=0.75(米)。
追问:
3米的3/4是几米呢?
学生借助经验就会联想到“0.75×3”,这样更深层地推进了学生对分数意义的理解。
同样,1米的3/4表示把1米平均分成4份,取其中的3份;要算出3份,先求出其中1份的长度,先用1÷4=0.25(米),再0.25×3=0.75米。
通过回归小数,读懂学生的学习经验,尊重想法。
虽然这种方法有一定的局限性,除不尽时怎么办呢?
也可以想到用分数来表示除法的商。
②借用分数与除法的关系
“3米的1/4是把3米平均分成4份,求每份的长度是多少米”,根据数量关系“每份的长度=总长度÷段数,又根据分数和除法的关系,得数写成分数形式是3÷4=3/4米。
解决1米的3/4时,利用“归一”的思想,即先解决1米的3/4,根据分数和除法的关系得到1÷4=1/4(米),1米的3/4就是有3个1/4米,即3/4米。
③辅以线段图理解
为了帮助学生理解,笔者又利用线段图来加以辅助,且把题目中呈现的两条线段变动了一下,因为作业本中把1米和3米的线段画得一样长,易给学生造成思维上的障碍。
且有2种方法,如下图:
方法1方法2
通过画图操作与对比,进一步梳理两者的区别,加深学生对计算结果的理解,同时也锻炼了学生合理地解决实际问题的能力。
最后跟踪训练,拓展延伸:
“把7米长的绳子平均分成8份,每份长7/8米,每份是7米的1/8,相当于1米的7/8,继续区分求”是数量还是关系,再次体验画图策略,在画图中比较得出:
7米的1/8放到1米中就是1米的7/8,得出结论7米的1/8就是1米的7/8。
在分数教学中,充分体现了学生由直观具体的形象思维到抽象的逻辑思维,从直接感知物体或借助模像直观开始,经过抽象概括形成初步的教学概念的认知规律,最大限度地发挥学生的学习积极性、主动性,提高课堂教学效果。
因为教师技巧性地教学分数,需要慎之又慎。
注意“分寸”,掌握“火候”,否则容易弄巧成拙。
参考文献:
1.张奠宙《“分数”教学中需要澄清的几个数学问题》2010.01《小学教学》(数学版)
2.《释疑与融合——小学数学“同意内容分阶段教学”阴暗问题解决的策略研究》宁波出版社
3.对“二次认识分数”的思考与实践
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 溯本求源 认识 分数