全国卷高中高考数学圆锥曲线大题集大全docx.docx
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高考二轮复习专项:
圆锥曲线大题集
1.如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B、D在直线l1上(B、D位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M在l1上的射影点是N,且
|BN|=2|DM|.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求动点
M的轨迹C的方程.
(Ⅱ)过点D且不与l
、l
2
垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点;另外平面上的点G、H满足:
1
AGAD(
R);
GEGF
2GH;GHEF
0.
求点G的横坐标的取值范围.
l2
e
3
2.设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x轴上,离心率
M
,已知点P(0,3)到这个椭圆上的点的最
2
远距离是4,求这个椭圆的方程.
B
l1
A
DN
B
C1:
x2
y2
1(ab0)
x
25,
其左、右顶点分别
3.已知椭圆
a2
b2
的一条准线方程是
4
C2
x2
y
:
2
b
是A、B;双曲线
a
2
2
1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;
(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点
N,若AMMP.求证:
MNAB0.
4.椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆
于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为a.
(1)用半焦距c表示椭圆的方程及tan
;
(2)若2 <3,求椭圆率心率e的取值范围. x2 y2 6 5.已知椭圆a2 b2(a>b>0)的离心率 e 3,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的 3 距离为2 (1)求椭圆的方程 (2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于CD两点问: 是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点? 请说明理由 6.在直角坐标平面中, ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0),平面内两点G,M同 时满足下列条件: ①GA GBGC0 MAMB MC ;② ;③GM∥AB (1)求 ABC的顶点C的轨迹方程; 精心整理 (2)过点P(3,0)的直线l与 (1)中轨迹交于E,F两点,求PE PF的取值范围 7.设x,yR,i,j为直角坐标平面内x轴.y轴正方向上的单位向量,若a xi (y2)j,bxi(y2)j, 且|a||b|8 (Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C的方程; (Ⅱ)设曲线C上两点A.B,满足 (1)直线AB过点(0,3), (2) 若OP OA OB,则OAPB为矩形, 试求AB方程. 8.已知抛物线C: y2 m(xn),(m0,n0)的焦点为原点,C的准线与直线 l: kxy2k0(k 0)的交点M在x轴上,l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交 x轴于点N(p,0). (Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)求实数p的取值范围; (Ⅲ)若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线,试求Q的短轴的端点的轨迹方程. 9.如图,椭圆的中心在原点,长轴 AA在x轴上.以A、A为焦点的双曲线交椭圆于 C、D、D、C四 1 1 1 1 1 AE 2 3 点,且|CD|= 2 1 EC ,当 3 4 时,求双曲线的离 |AA|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E,设 心率e的取值范围. 精心整理 10.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y280上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在 y轴正半轴上). 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程; 若角A为900 ,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程. 11.如图,过抛物线x2 4y的对称轴上任一点P(0,m)(m 0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是 点P关于原点的对称点. (1)设点P分有向线段AB所成的比为 ,证明: QP (QA QB); (2)设直线AB的方程是x2y12 0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C 的方程. 1 p2 p 2 ),过Q作斜率为2的直线l,PQ中点M的轨迹为曲线C. 12.已知动点P(p,-1),Q(p, (1)证明: l经过一个定点而且与曲线 C一定有两个公共点; (2)若 (1)中的其中一个公共点为 A,证明: AP是曲线C的切线; (3)设直线AP的倾斜角为,AP与l 的夹角为,证明: 或 是定值. 精心整理 13.在平面直角坐标系内有两个定点 F1、F2和动点P,F1、F2坐标分别为F1(1,0)、F2(1,0),动点P满 |PF1| 2 足|PF2 | 2 ,动点P的轨迹为曲线 C,曲线C关于直线yx的对称曲线为曲线 C',直线 yx m 3与曲线C'交于A、B两点,O是坐标原点,△ABO的面积为7, (1)求曲线C的方程; (2)求m的值。 x2 y2 1(a 0,b 0) 14.已知双曲线a2 b2 的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支上. (341,16) PF1PF2,求双曲线的方程; (Ⅰ)若当点P的坐标为 5 5 时, (Ⅱ)若|PF1 |3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. x2 y 2 15.若F1、F2 为双曲线a 1 M在右准 b 的左右焦点,O为坐标原点,P在双曲线的左支上,点 F1OPM,OP OF1 OM )( 0) ( 线上,且满足; OF1 OM1 . (1)求该双曲线的离心率; (2)若该双曲线过N(2, 3),求双曲线的方程; (3)若过N(2, 3)的双曲线的虚轴端点分别为 B1、B2(B1在y轴正半轴上),点A、B在双曲 线上,且B2A B2B,求B1A B1B时,直线AB的方程. 16.以O为原点,OF所在直线为x轴,建立如所示的坐标系。 设OFFG1,点F的坐标为(t,0), t[3, ),点G的坐标为(x0,y0)。 (1)求x0关于t的函数x0 f(t)的表达式,判断函数f(t)的单调性,并证明你的判断; S 31 t 6 (2)设OFG的面积 ,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点G,求当|OG|取最小值时 椭圆的方程; (3)在 (2)的条件下,若点 P的坐标为 (0,9) 1),求 2,C、D是椭圆上的两点,且PCPD( 实数 的取值范围。 精心整理 17.已知点C为圆(x 1)2 y2 8的圆心,点A(1,0),P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上, 且MQAP0,AP 2AM. (Ⅰ)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程; (Ⅱ)若直线y kx k2 1与(Ⅰ)中所求点Q 的轨迹交于不同两点F,H,O是坐标原点, 2 3 OFOH 4,求△FOH的面积的取值范围。 且3 18.如图所示,O是线段AB的中点,|AB|=2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆,其中a c。 (1)若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点 P的轨迹 方程,并说明轨迹是何种曲线;A (2)经过点O的直线l与直线AB成的直线m交曲线E于M、N两点,且点 OB 60°角,当c=2,a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点BM在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d的取值范围。 精心整理 19.设O为坐标原点,曲线x2 y2 2x 6y 10上有两点P、Q满足关于直线xmy40对称, 又以PQ为直径的圆过O点. (1)求m的值; (2)求直线PQ的方程. 20.在平面直角坐标系中,若a (x 3,y),b (x 3,y),且ab4, (1)求动点Q(x,y)的轨迹C的方程; (2)已知定点P(t,0)(t0),若斜率为 1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A,B,且对于轨 迹C上任意一点M,都存在 [0,2 ],使得OM cosOAsinOB成立,试求出满足条件的 实数t的值。 x 21.已知双曲线a 右焦点。 2y2 b2 1 与一条渐近线l交于两点P、Q,F是双曲线的 2 (a>0,b>0)的右准线l2 (I)求证: PF⊥l; (II)若△PQF为等边三角形,且直线y=x+b交双曲线于A,B两点,且AB30,求双曲线的方程; (III)延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N,若M为PN的中点,求双曲线的离心率e。 22.已知又曲线在左右顶点分别是A,B,点P是其右准线上的一点,若点A关于点 P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。 (I)求此双曲线的方程; (II)求直线MN的倾斜角。 23.如图,在直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)( y 0 )。 设 AP、OP、BP 与x 轴正方向的夹角分别为α、β、γ,若 。 (I)求点P的轨迹G的方程; (II)设过点C(0,-1)的直线l与轨迹G交于不同两点M、N。 问在x轴上是否存在一点Ex0,0, 使△MNE为正三角形。 若存在求出x0值;若不存在说明理由。 C: x 2 y 2 2 2 1ab0 2,1 F 2,0 24.设椭圆a b 过点M ,且焦点为1 。 (1)求椭圆C的方程; (2)当过点P4,1的动直线与椭圆C相交与两不同点A、B时,在线段AB上取点Q, 精心整理 满足APQBAQPB,证明: 点Q总在某定直线上。 25.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足 OCOA OB,其中、 R,且2 1 (1)求点C的轨迹方程; x2 y2 1(a 0,b0) (2)设点C的轨迹与双曲线a2 b2 交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点, 1 1 为定值 求证: a2 b2 . 26.设F(1,0),M、P分别为x轴、y轴上的点,且PMPF 0,动点N满足: MN2NP. (1)求动点N的轨迹E的方程; (2)过定点C(c,0)(c 0)任意作一条直线l与曲线E交与不同的两点A、B,问在x轴上是否存 在一定点Q,使得直线AQ、BQ的倾斜角互补? 若存在,求出 Q点的坐标;若不存在,请说明理 由. 31 27.如图,直角梯形ABCD中,∠DAB90,AD∥BC,AB=2,AD=2,BC=2 椭圆F以A、B为焦点,且经过点D, (Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆 F的方程; (Ⅱ)是否存在直线l与 椭圆F交于M、 MN的中点为点C ,若存在,求直线l的方程; N两点,且线段 若不存在,说明理由. ,D 且BH3HC. 28.如图所示,B(–c,0),C(c,0),AH⊥BC,垂足为H A (1)若ABAC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的 C离心率; (2)D分有向线段AB的比为,A、D同在以B、C为焦点的 B 椭圆上, 7 当―5≤ ≤2时,求椭圆的离心率e的取值范围. 29.在直角坐标平面中, ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A( 1,0),B(1,0),平面内两点G,M同 时满足下列条件: ①GA MAMB MC GBGC0;② ;③GM∥AB (1)求 ABC的顶点C的轨迹方程; (2)过点P(3,0)的直线l与 (1)中轨迹交于E,F两点,求PE PF的取值范围 精心整理 答案: 1.解: (Ⅰ)以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如图所示的坐标系,则 D(1,0),B(4,0),设M (x,y), 则N(x,0). ∵|BN|=2|DM|, ∴|4-x|=2, 整理得3x2+4y2=12, ∴动点M的轨迹 方程为. (Ⅱ)∵AGAD(R), ∴A、D、G三点共线,即点G在x轴上;又∵GEGF2GH,∴H点为线段EF的中点;又∵GHEF0, ∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。 设l: y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点, ∴l与椭圆必有两个交点, 设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为(x0,y0),∴x1+x2=,x1x2=, x0==,y0=k(x0-1)=, ∴线段EF的垂直平分线为 y-y0=-(x-x0),令y=0得, 点G的横坐标xG=ky0+x0=+==-, ∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0<<,∴-<-<0,∴xG=-(0,) ∴点G的横坐标的取值范围为(0,). e 3 c 3a 2.解: ∵ 2,∴ 2 由a2 b2 c2 得a 2b x2 y2 1 ∴设椭圆的方程为4b2 b2 0) (b 即x2 4b2 4y2(b yb) 设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 |PM|2 x2 (y3)2 3(y1)2 4b2 12(by b) 若b1即b 1 b,则当y 1时,|PM|max2 4b2 12 由已知有4b2 12 16,得b 1; 精心整理 若0b1即 1 b,则当y b时,|PM|max2 b2 6b9 由已知有b2 6b9 16,得b 7(舍去). 综上所述,b 1,a2. x2 y2 1 所以,椭圆的方程为 4 . a2 25 c 4 a 5 b 3 解之得: b 3 a 5 c 4 c2 a2 b2 3.解: (I)由已知 x2 y2 1 x2 y 2 1 ∴椭圆的方程为25 9 ,双曲线的方程25 9 . e2 34 又C 259 34∴双曲线的离心率 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0)设M(x0,y0)则由AM MP得M为AP的中点 x02 y02 1 25 9 (2x0 5) y02 ∴P点坐标为(2x0 5,2y0)将M、p坐标代入c1、c2方程得 1 25 9 2 5x0 25 0 解之得 x0 5或x0 5(舍) 消去y0得2x0 2 由此可得P(10,3 3) 当P为(10,3 3)时PB: y 33(x5) y 33(x5) 10 5 即 5 x2 y2 得 x2 15 x 25 0 x 5或 5( 舍 ) 代入25 1: 2 2 9 xN 5 xN xM 2 MN⊥x轴即MN AB 0 a2 c1,则a 2 2 b 2 a 2 c 2 c, 4.解: (1)由题意可知c cc 所以椭圆方程为
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