高中数学 214余弦定理二教案 北师大版必修5.docx
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高中数学214余弦定理二教案北师大版必修5
2019-2020年高中数学2.1.4余弦定理
(二)教案北师大版必修5
知识梳理
1.余弦定理:
(1)形式一:
,,
形式二:
,,,(角到边的转换)
2.解决以下两类问题:
1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)
3.三角形ABC中
典例剖析
题型一:
利用余弦定理解三角形
例1在中,已知,,,,求c.
解∵且,∴为钝角,,
由余弦定理知,∴
即,解得或(舍去)
∴.
评述已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。
熟练掌握余弦定理是解题的关键,同时还要注意方程思想的运用。
题型二:
判断三角形的形状
例2在中,若,试判断的形状.
解:
方法一:
由正弦定理和已知条件得:
,
∵,∴,即,
∵B、C为的内角,∴,
故为直角三角形.
方法二:
原等式变形为:
,
即:
,
由余弦定理得:
故为直角三角形.
评述:
判断三角形的形状,一般是从题设条件出发,根据正弦定理、余弦定理进行边角变换,全化为边的关系或全化为角的关系,导出边或角的某种特殊关系,然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
备选题:
余弦定理的应用
例3:
已知A、B、C是△ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB
求证:
A+B=120°
证明:
由(sinA+sinB)2-sin2C=3sinA·sinB
可得sin2A+sin2B-sin2C=sinA·sinB
又∵sinA=,sinB=,sinC=,
∴+-=·
整理得a2+b2-c2=ab
∴cosC==
又0°<C<180°,∴C=60°
∴A+B=180°-C=120°
评述:
(1)有关三角形内角的证明,选择余弦值与正弦值相比较,要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时,应先确定角的范围;
(2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,要求熟练掌握.
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinB·cosA=sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA=cotB,再由0<A,B<π,而得A=B.
点击双基
1.在在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=,则AC边上的高为()
A.B.C.D,
解:
由余弦定理知:
cosA===,A=
AC边上的高为ABsinA=
答案:
B
2.在在△ABC中,已知其面积S=(a),则角C的度数为()
A.135B.45C.60D.120
解:
S=(a),absinC=(a)sinC=
即sinC=cosC,tanC=1C=45
答案:
C
3.在△ABC中,若,则其面积等于()
A.B.C.D.
解:
答案:
D
4..已知锐角三角形的三边长分别为2、3、,则的取值范围是.
解:
在锐角三角形中,
答案:
5.在△ABC中,若,则
解:
答案:
120
课后作业
1若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段能组成()三角形。
A.锐角B.钝角C.直角D.等腰
解:
长为7的边所对角最大,设它为,则
答案:
A
2.△ABC中,若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2则∠C的度数()
A、600B、450或1350C、1200D、300
解:
由a4+b4+c4=2(a2+b2)c,得a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0
(a)=a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc,a=
==,C=450或1350
答案:
B
3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,则a的取值范围是()
A.B.C.D.4 解: a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,则(a+2)>a+(a+1),a<0 -10 答案: A 4.△ABC中,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,若<0,则△ABC() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形 解: 由余弦定理得cosC<0,C是钝角 答案: C 5.已知△ABC的三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则C的度数为() A.15B.30C.45D.60 解: 由条件将a+b看作一个整体,利用平方差公式得到(a+b)-c=3ab,化简整理,得 a=ab,cosC===,C=60 答案: D 6.在△ABC中,cos=,则△ABC的形状是() A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解: 根据余弦的二倍角公式变形式,原式可化为=,cosA= =,a+b=c△ABC为直角三角形 答案: B 7.在△ABC中,若,,C=,则此三角形有() A.一解B.两解C.无解D.无法判断 解: 由余弦定理得: 负值不合题意,舍去。 答案: A 8.若的周长等于20,面积是,,则边的长是() A.5B.6C.7D.8 解: 由三角形面积,得, 又∵的周长等于20,∴ 由余弦定理得: == ∴,解得. 答案: C 二.填空题 9.在△ABC中,A=600,最大边和最小边的长是方程的两实根,那么BC边长等于. 解: A=600最大边和最小边为b,c,最大边和最小边的长是方程的两根,b+c=9,bc=,a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49,a=7 答案: 7 10.在△ABC中,a=1,B=450,,则△ABC的外接圆的直径是. 解: S=acsinB=c,c=4,=25 2R===5 答案: 5 11.在△ABC中,,则角A=. 解: 由得, 又=-,A=120 答案: 120 三.解答题 12.在四边形ABCD中,四个角A、B、C、D的度数的比为3: 7: 4: 10,求AB的长。 解: 设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x 则有 解得 连BD,在中,由余弦定理得: 是以DC为斜边的直角三角形 13.在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状. 解法一: 利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA=acosB ∴b·=a· ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2 ∴a2=b2∴a=b 故此三角形是等腰三角形. 解法二: 利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA=acosB 又b=2RsinB,a=2RsinA ∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即A=B 故此三角形是等腰三角形. 14.在中,角所对的边分别为,且满足,. (I)求的面积;(II)若,求的值. 解析: (I)因为,,又由,得, (II)对于,又,或,由余弦定理得, 2019-2020年高中数学2.1.4函数的奇偶性 (一)基础过关训练新人教B版必修1 一、基础过关 1.下列说法正确的是( ) A.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数 B.如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称 C.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数 D.如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为奇函数 2.函数f(x)=1-(x∈R)( ) A.即不是奇函数又不是偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数但不是奇函数 D.是奇函数但不是偶函数 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y=-x2+5(x∈R) B.y=-x C.y=x3(x∈R) D.y=-(x∈R,x≠0) 4.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是__________________. 6.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=__________. 7.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3,x∈R; (2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3]; (3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|; (4)f(x)= 8.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,又f (1)=2,f (2)<3,求a,b,c的值. 二、能力提升 9.给出函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是( ) A.(a,-f(a))B.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a))D.(-a,-f(-a)) 10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是________________. 11.已知函数f(x)=1-. (1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值; (2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明. 12.已知奇函数f(x)= (1)求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定a的取值范围. 三、探究与拓展 13.已知函数f(x)=x2+(x≠0). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f (1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性. 答案 1.B2.D 3.C4.B 5.(-2,0)∪(2,5] 6.-15 7.解 (1)f(-x)=3=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)∵x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x), ∴f(x)是偶函数. (3)∵x∈R,f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)当x>0时,f(x)=1-x2, 此时-x<0, ∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1, ∴f(-x)=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,∴f(-x)=-f(x); 当x=0时,f(-0)=-f(0)=0. 综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x), ∴f(x)为R上的奇函数. 8.解 ∵函数f(x)=是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 因此,有=-, ∴c=-c,即c=0. 又∵f (1)=2, ∴a+1=2b, 由f (2)<3,得<3, 解得-1<a<2. ∵a,b,c∈Z,∴a=0或a=1, 当a=0时,b=∉Z(舍去). 当a=1时,b=1. 综上可知,a=1,b=1,c=0. 9.B 10.(-3,1) 11.解 (1)由已知g(x)=f(x)-a得, g(x)=1-a-. ∵g(x)是奇函数, ∴g(-x)=-g(x), 即1-a-=-, 解得a=1. (2
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