届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学理试题解析版.docx
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届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学理试题解析版
2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意得,集合或
所以,故选C.
2.已知复数,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,
因为,所以,故选C.
3.若,,则的值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵,∴∈(,),
又因为,∴
故sinα=sin[()-]=sin()cos-cos()sin
==,
故选A.
点睛:
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等.
4.如图,在矩形区域的两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号地概率是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】试题分析:
由图形知,无信号的区域面积,所以由几何概型知,所求事件概率,故选A.
考点:
几何概型.
5.已知一几何体地三视图如图所示,则该几何体地体积为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为,高为.三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形,高为.则几何体的体积.故本题答案选.
6.世界数学名题“问题”:
任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1,在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想:
反复进行上述运算后,最后结果为1,现根据此问题设计一个程序框图如下图,执行该程序框图,若输入的,则输出()
A.3B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】根据循环得,
结束循环,输出6,选C.
7.已知函数的部分图像如图所示,则函数图像的一个对称中心可能为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意得,即,
把点代入方程可得,
所以,可得函数的一个对称中心为,故选C.
8.函数的大致图像为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由函数不是偶函数,排除A、C;
当时,为单调递增函数,而外层函数也是增函数,
所以在上为增函数,故选D.
9.已知点在同一个球的球面上,,,若四面体的体积为,球心恰好在棱上,则这个球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据条件可知球心在侧棱中点,从而有垂直,可得,
所以球的半径为,故球的表面积为.
10.为双曲线右焦点,为双曲线上的点,四边形为平行四边形,且四边形的面积为,则双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
【答案】B
【解析】设,∵四边形为平行四边形,∴,
∵四边形的面积为,∴,即,∴,
代入双曲线方程得,∵,∴,故选B.
11.已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖,则实数的值是()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【解析】试题分析:
由于圆心(3,3,)在直线3x-y-6=0上,又由于直线x-y+k=0与直线x+y+6=0互相垂直其交点为,由于可行域恰好被圆所覆盖,及三角形为圆的内接三角形圆的半径为,所以可得,解得(舍去).故选D.
考点:
1.线性规划.2.圆的知识.
12.已知是方程的实根,则关于实数的判断正确的是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】令,则,函数在定义域内单调递增,
方程即:
,即,
结合函数的单调性有:
.
本题选择C选项.
点睛:
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式中含项的系数为__________.(用数字表示)
【答案】0
【解析】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,
所以展开式中含项的系数为.
14.已知,,若向量与共线,则在方向上的投影为__________.
【答案】
【解析】由题知,又与共线,可得,得,则方向上的投影为.故本题应填.
15.在中,角的对边分别为,,且,的面积为,则的值为__________.
【答案】4
【解析】由正弦定理,原等式可化为,进一步化为,则,即.在三角形中.由面积公式,可知,由余弦定理,代入可得.故本题应填.
点睛:
本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:
一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时,要以已知角的为主.
16.如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是__________.
【答案】
【解析】抛物线的准线l:
x=﹣2,焦点F(2,0),
由抛物线定义可得|AF|=xA+2,
圆的圆心为(2,0),半径为4,
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB,
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2,
∴xB∈
∴6+xB∈
故选B.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设为数列的前项和,且,,.
(1)证明:
数列为等比数列;
(2)求.
【答案】
(1)见解析
(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2,公比为2的等比数列;
(2)利用
(1)的结论首先求得数列的通项公式,然后错位相减可得.
试题解析:
(1)因为,所以,
即,则,
所以,又,故数列为等比数列.
(2)由
(1)知,所以,
故.
设,
则,
所以,
所以,
所以.
点睛:
证明数列{an}是等比数列常用的方法:
一是定义法,证明=q(n≥2,q为常数);二是等比中项法,证明=an-1·an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.
18.如图所示的几何体中,底面为菱形,,,与相交于点,四边形为直角梯形,,,,平面底面.
(1)证明:
平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】
(1)见解析
(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.
(2)结合
(1)的结论和题意建立空间直角坐标系,由平面的法向量可得二面角的余弦值为.
试题解析:
(1)因为底面为菱形,所以,
又平面底面,平面平面,
因此平面,从而.
又,所以平面,
由,,,
可知,,
,,
从而,故.
又,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)取中点,由题可知,所以平面,又在菱形中,,所以分别以,,的方向为,,轴正方向建立空间直角坐标系(如图示),
则,,,,,
所以,,.
由
(1)可知平面,所以平面的法向量可取为.
设平面的法向量为,
则即即令,得,
所以.
从而.
故所求的二面角的余弦值为.
点睛:
作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.
用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.
两种思路:
(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.
(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.
19.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与,志愿者的工作内容有两项:
①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物,每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作,相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量的分布列及其数学期望.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人,参与整理、打包衣物者被抽中的有3人,由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率.
(Ⅱ)女生志愿者人数X=0,1,2,分别求出其概率,由此能求出随机变量X的分布列及数学期望.
【解答】(Ⅰ)解:
用分层抽样方法,每个人抽中的概率是,
∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人,
参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人,
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为:
P=1﹣=.
(Ⅱ)解:
女生志愿者人数X=0,1,2,
则,
,
,
∴X的分布列为:
∴X的数学期望EX==.
考点:
离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.
20.已知椭圆的长轴长为6,且椭圆与圆的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边的等腰三角形,若存在,求出点的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由长轴长可得值,公共弦长恰为圆直径,可知椭圆经过点,利用待定系数法可得椭圆方程;
(2)可令直线的解析式为,设,的中点为,将直线方程与椭圆方程联立,消去,利用根与系数的关系可得,由等腰三角形中,可得,得出中.由此可得点的横坐标的范围.
试题解析:
(1)由题意可得,所以.由椭圆与圆:
的公共弦长为,恰为圆的直径,可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆的方程为.
(2)直线的解析式为,设,的中点为.假设存在点,使得为以为底边的等腰三角形,则.由得,故,所以,.因为,所以,即,所以.当时,,所以;当时,,所以.
综上所述,在轴上存在满足题目条件的点,且点的横坐标的取值范围为.
点睛:
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.
21.已知函数.
(1)当时,试求的单调区间;
(2)若在内有极值,试求的取值范围.
【答案】
(1)单调增区间为,
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