高中文科数学优化设计第一轮复习19高考模拟卷.docx
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高中文科数学优化设计第一轮复习19高考模拟卷
第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
122
直线的倾斜角与斜率
1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为( )
A.3B.C.D.2
解析:
F为抛物线y2=5x的焦点,
设P点坐标为(x,y),y>0.
根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=.
直线PF的斜率为.
答案:
C
2.(2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于( )
A.B.-C.±D.-
解析:
由y=,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,
则-1 则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为 . 则S△ABO= =. 令=t,则S△ABO=,当t=, 即时,S△ABO有最大值为. 此时由,解得k=-. 答案: B 15.(2015江西重点中学协作体二模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)设直线x-2y+1=0的倾斜角为α,则cos2α+sin2α的值为 . 解析: ∵直线x-2y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=. ∴cos2α+sin2α= =. 答案: 15.(2015江西上饶一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)过双曲线=1(a>0,b>0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为 . 解析: 双曲线=1的右焦点F(c,0), 一条渐近线方程为y=x, 则F到渐近线的距离为d==b, 直线m: y=(x-c), 原点到直线m的距离为=a, 由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2. 答案: 2 9.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.B.C.D. 解析: 由题意可得点P(-,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0. 根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1, 即3k2-2k+1≤k2+1,解得0≤k≤, 故直线l的倾斜角的取值范围是. 答案: D 10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( ) A.(0,1)B.C.D. 解析: 设点P(x,y)(x>0,y>0), 由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3, 故k1k2k3= =. 答案: B 5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π)B. C.D. 解析: 直线xsinα+y+2=0的斜率为k=-sinα, ∵|sinα|≤1,∴|k|≤1. ∴倾斜角的取值范围是. 答案: B 123 直线的方程 1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为. (1)求椭圆方程; (2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程. 解: (1)∵椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为. ∴c=2,,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2. ∴椭圆方程为=1. (2)直线l的方程为y=k(x-2). 联立方程组消去y并整理, 得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 故x1+x2=,x1x2=. 则|AB|=|x1-x2| = =. 设AB的中点为M(x0,y0). 可得x0=,y0=-. 直线MP的斜率为-,又xP=3, 所以|MP|=·|x0-xP| =. 当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|, ∴, 解得k=±1. ∴直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0. 20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为4. (1)求椭圆C的方程; (2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程. 解: (1)依题意,4a=4,a2-b2=1. 所以a=,b=1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N, 直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4. 依题意得, 则,可得,令=λ(λ<0), 由消去x,得(t2+2)y2-2ty-1=0, 则把y1=λy2代入整理,得 =-.① 由消去x,得y2-4ty-16=0, 则把y3=λy4代入,整理得=-t2.② 由①②消去λ,得=t2,解得t=0或t=±. 故直线l的方程为x=-1或x-y+1=0或x+y+1=0. 15.(2015江西上饶重点中学二模,文15,直线的方程,填空题)过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为 . 解析: 由题意,所求直线有两条,其中一条是经过点P且与AB平行的直线;另一条是经过P与AB中点C的直线. ∵A(2,-3),B(4,5), ∴AB的斜率k==4. 可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4(x-3), 化简得4x-y-13=0. ∵AB中点为C(3,1), ∴经过P,C的直线方程为x=3. 综上,所求直线的方程为4x-y-13=0或x=3. 答案: 4x-y-13=0或x=3 7.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文7,直线的方程,选择题)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A.x+y-1=0B.2x-y-5=0 C.2x+y=0D.x+y-3=0 解析: 圆(x-1)2+y2=25的圆心为(1,0),直线AB的斜率等于=-1,由点斜式得到直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 答案: D 9.2点与直线、两条直线的位置关系 124 两条直线的平行与垂直 6.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文6,两条直线的平行与垂直,选择题)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值等于( ) A.0B.2C.4D. 解析: 若b=2,两直线方程分别为y=-x-1和x=,此时两直线相交但不垂直. 若b=-2,两直线方程分别为x=-和y=x-,此时两直线相交但不垂直. 所以当b≠±2时,两直线方程分别为y=-x-和y=-x+, 此时两直线的斜率分别为-,-, 由-=-1,得a2+b2=4. 因为a2+b2=4≥2ab, 所以ab≤2,即ab的最大值等于2,当且仅当a=b=时取等号. 答案: B 4.(2015黑龙江绥化一模,文4,两条直线的平行与垂直,选择题)设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x-ay-c=0与bx+sinB·y+sinC=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 解析: a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长, 则直线sinA·x-ay-c=0的斜率为, bx+sinB·y+sinC=0的斜率为, ∵=-1, ∴两条直线垂直. 答案: C 9.3圆的方程 128 求圆的方程 14.(2015江西上饶二模,文14,求圆的方程,填空题)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆的方程为 . 解析: 抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),双曲线=1的两条渐近线方程为3x±4y=0. 由题意,r==3,则所求圆的方程为(x-5)2+y2=9. 答案: (x-5)2+y2=9 20.(2015甘肃兰州一中三模,文20,求圆的方程,解答题)已知☉C过点P(1,1),且与☉M: (x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求☉C的方程. (2)过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行? 请说明理由. (1)解: 设圆心C(a,b),则解得 则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2, 故圆C的方程为x2+y2=2. (2)解: 由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA: y-1=k(x-1),PB: y-1=-k(x-1),且k≠0, 由得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0, ∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=, 同理,xB=, ∴kAB= ==1=kOP, ∴直线AB和OP一定平行. 20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题)过抛物线C: x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点. (1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程. (2)设=λ,证明: ⊥(-λ). (1)解: 由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4), 则AB的中点为,斜率为k=, 故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0. 由x2=4y得y=x2,y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3. 设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则 解得a=-,b=,r2=. 所以圆M的方程为. (2)证明: 设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2), 代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m. 由=λ,得λ=-,又点Q(0,-m),从而=(0,2m), -λ=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m), 所以·(-λ)=2m[y1-λy2+(1-λ)m] =2m(x1+x2)·=0, 所以⊥(-λ). 129 与圆有关的轨迹问题 6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若△PAB是圆C: (x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,∠APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为( )
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