高中数学重点知识.docx
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高中数学重点知识
高中数学重点知识
(第一辑)
目录:
第一部分基本知识框架
第二部分知识与方法归纳(巩固基础版)
1,函数
2,数列
3,不等式
4,直线与曲线方程
5,综合
第三部分思维方法与解题技巧(能力提升版)
第四部分学习方法推荐(综合发展版)
第一部分:
高中数学知识基本框架
1,基本定义理解:
所有高中的数学知识与六部分的内容相关:
数,式,方程,函数,几何,以及简单的数学理论基础与应用。
什么叫数?
简单的说,数就是用来表示某种量的多少的,比如3,67,-9。
也可以用字母或其他符号来表示数,比如a,m,这种符号可称为未知数,或者“代数”。
什么叫式?
数和数学符号组合在一起,便构成“式”。
比如1+2,a2,y=x+5.其中,不含字母的式可称为算术式,含字母的成为代数式。
但按照初中课本的定义,算术式也可以当作是代数式的一部分。
特殊的,含有关系符号(比如<,=)的称为关系式。
什么叫方程?
当“算术式”中含有等号的时候,就叫做等式;当“代数式”中含有等号的时候,就叫做方程。
所以方程即是特殊的等式。
它需要两个条件:
1,含等号,2,含未知数。
什么叫函数呢?
简单的说,当等式中含有两个相关变化的未知数(也就是说,任意确定其中一个未知数的值,就能对应得到另一个未知数的唯一的值)时,这个等式就叫做函数。
所以说,函数也就是一种特殊的方程,特殊的等式。
什么叫数列?
简单的说,当函数中的自变量只能为正整数的时候,就可成为数列的通项或者求和函数。
所以,数列就是特殊的函数。
而几何,也就是与数相对应的图形。
当数与几何相结合,就成为平面向量;当整数与函数相结合,就构成数列,排列组合;当函数与几何相结合,就成为直线方程、曲线方程。
2,基本知识框架:
平面向量第五章
数复数第十四章
算术式:
代数式:
极限第十二章
式
不等式:
不等式第六章
关系式
等式
高中数学直线与圆的方程第七章
方程圆锥曲线方程第八章
二次函数第二章
函数数列第三章
三角函数第四章
导数与微分第十三章
几何直线、平面、简单几何体第九章
集合与简易逻辑第一章
理论与应用排列组合第十章
概率与统计第十一章
第二部分:
知识与方法归纳
第一篇函数
在高中数学中,函数、不等式、数列和方程大约占到百分之七十五的比例。
因此,我们在这里重点讲解这几章。
函数是高中数学的基础,其知识点主要有三个部分:
函数的基本分类;函数的基本性质与证明,以及有关函数的求解。
一,函数的基本分类(解析式、定义域、值域)
函数名称
基本解析式
定义域
值域
一次函数
y=kx+b(k≠0)
R
R
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
y=a(x-m)2+n(a≠0)
R
(
+∞)(a﹥0时)
或(-∞,
)
反比例函数
y=
(k≠0)
x≠0,
y≠0
指数函数
y=ax(a≠1且a>0)
R
(0,+∞)
对数函数
y=㏒ax(a≠1且a>0)
(0,+∞)
R
三角函数
y=sinxy=cosx
R
[-1,1]
三次函数
y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
R
R,且有两个极值
分式函数
y=
(a、c不为0)
x≠-
因题而异
根式函数
y=
(a≠0)
X≥-
(0,+∞)
幂函数
y=xa(a∈N+)
R
因a而定
高次函数
y=xn+xn-1+…x2+x+c
R
因题而异
绝对值函数
y=∣x±a∣±∣x±b∣
R
因题而异
常数函数
y=ax0=a
R
a
分段函数
y=g(x),x≧a
y=f(x),x﹤a
因题而异
因题而异
复合函数
y=g[f(x)]
因题而异
因题而异
简单超越函数
y=g(x)±f(x)[g(x)、f(x)为不同类的基本函数,且一次函数与二次函数在一起不算]
因题而异
因题而异
基
本
函
数
特
殊
函
数
以上共有十六种函数形式,其中前十三种为基本初等函数,须背住!
二,函数的基本性质(五种)
1,单调性.
在定义域中的某一区间内,任取两个点x1,x2,当x1﹥x2时,都有f(x1)﹥f(x2),则称该函数在这一区间内单调递增,为增函数。
反之为减函数。
奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
单调性的证明:
第一步,取点x1,x2属于某区间,第二步,规定x1,x2的大小,第三步,做f(x1)与f(x2)的差或者商,再与0或者1比较。
见例1.也可求导,判断导函数的正负,再判断单调性。
2,奇偶性.
定义:
对于函数f(x),如果对于任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数;如果f(-x)=-f(x),则为偶函数。
性质:
(1)奇函数、偶函数的定义域关于0对称;奇函数的图像关于原点对称,而偶函数的图像关于y轴对称。
(2)两个奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数。
(3)两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数。
(4)一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数。
(5)f(x)为偶函数,则f(x)=f(∣x∣)
(6)若f(x)为奇函数,定义域包含0,则f(0)=0.
(7)若f(x)既是奇函数也是偶函数,则f(x)=0.
奇偶性的证明:
若能证明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则为奇函数;若能证明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)-f(x)=0,则可证得为偶函数。
见例2.
3,周期性.
对函数f(x),存在常数T(不等于0),使得f(x)=f(x+T).则称f(x)为周期函数。
T为函数的周期。
且kT也为函数的周期。
若f(x)满足f(x+a)=f(x+b)恒成立,其中a,b均为常数,且a≠0,则T=a-b是函数的一个周期。
4,反函数性.
求反函数:
先解出x,然后互换x,y,再标出定义域。
(若先交换x,y也可求出。
)见例3.
(1)反函数与原函数的图像关于直线y=x对称。
(2)反函数的定义域等于原函数的值域,反函数的值域等于原函数的定义域。
(3)反函数一定具有单调性。
奇函数的反函数也是奇函数。
而偶函数不一定具有。
5,图像平移与对称性.
水平平移:
y=f(x±a)(a>0)的图像是由y=f(x)的图像向左或向右平移a个单位得到;
竖直平移:
y=f(x)±b(b>0)的图像是由y=f(x)的图像向上或向下平移b个单位得到。
(1)若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(m-x),则y=f(x)的图像关于直线x=m对称;y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称。
(2)把函数y=f(x)的图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,就得到y=∣f(x)∣图像;把函数y=f(x)的图像位于y轴右边的部分以y轴为对称轴翻折到左边,就得到y=f(∣x∣)在y轴左边部分的图像。
(3)若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图像关于x=(a+b)/2成轴对称图形。
(4)若函数f(x)关于x=m和x=n对称,则f(x)是周期函数,且2∣m-n∣是它的一个周期。
(5)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
三,函数的求解(五种)
1,求函数的解析式
方法一:
直接代入法。
已知f(x)与g(x),求f[g(x)],直接把g(x)代入f(x)即可。
见例4.
方法二:
换元法。
有几种换元的方式。
已知f(x)和f[g(x)]求g(x);或已知f[g(x)]和g(x).求f(x).用换元法。
见例5,6.
方法三:
待定系数法.已知函数的类型时,用待定系数法。
见例7.
方法四:
解函数方程组。
要求给出的函数关系式是对称的。
通常先用赋值法得出函数方程组,再求解,即可。
见例8。
2,求函数的定义域(基本思路:
转化为解不等式)
步骤:
写出使函数有意义的不等式组;解不等式组;用区间或集合的形式写出定义域。
(1)判断函数定义域的主要依据:
(1),分式的分母不为0,
(2),偶次方根的被开方数不小于0,0的0次方无意义;(3)对数函数的真数必须大于0;指数函数与对数函数的底数必须大于0且不等于1.见例9.
(2)求复合函数的定义域:
若已知f(x)的定义域为【a,b】,则复合函数f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解。
见例10.
(3)若遇到实际问题,还要考虑实际问题有意义。
3,求函数的值域(最值)
方法一:
基本函数法。
对于基本函数,如果定义域无特殊规定,那么可根据函数的图像性质直接求解。
见例11.
方法二:
配方法(二次函数法)。
对于形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的函数,可用配方法求值域。
(见例)见例12.
方法三:
分区讨论法。
对于定义域有特殊规定的二次函数,一般采用分区讨论(以两个零点和对横轴横坐标点为分界,可以把整个区间分成四段,加上对称轴的情形,共有五种可能情况,如果二次项系数不定,还需要讨论开口方向),再借助于区间单调性来求(见例)。
定义域有规定的其他类型(对数函数、指数函数、根式函数、幂函数、一次函数、高次函数等)基本函数都可直接利用函数的单调性来判断函数的最值。
分段函数也用分区讨论法。
见例13,14.
方法四:
反函数法。
对于y=
(a、c不为0)的一次分式的形式,可以通过求反函数的定义域来求。
(见例15).简单结论为y∈R且y≠a/c.也可用分离常数法来求解。
但是,当定义域有特殊规定时,就要求出反函数后解不等式。
(见例16.)
方法五:
判别式法。
对于形如y=(ax2+bx+c)/dx2+ex+f的二次分式形式,可先转化为关于x的方程,此方程必须有解,故当二次项系数不为0时,△≥0。
解出便得到值域。
注意,定义域不能有特殊规定。
见例17。
方法六:
辗转求值法。
对于复合函数,首先看它化简出来是否还是基本函数,若是,先化简出最简表达式,再用基本函数的求值域法求;若不是,就可以先求出y=f[g(x)]中y=g(x)的值域T,再把T当作y=f(x)的定义域,求出其值域。
见例18.
方法七:
单调性法。
对于超越函数,首先判断是否具有单调性,若有,则直接利用单调性来求。
若没有,则通过换元法转化成复合函数,再求值域。
见例19.判断单调性的常用方法:
(1)增+增﹦增减+减﹦减增-减﹦增减-增﹦减
(2)f(x)与1/f(x)的单调性相反
(3)当c大于0时,f(x)与cf(x)的单调性相同;当c小于0时,二者单调性相反。
(4)f(x)﹦x+
当a﹥0时,在(-∞,-√a)和(√a,∞)为增函数,在(-√a,0)和(0,√a)为减函数。
(5)若f(t)与t(x)的单调性相同,则f[t(x)]为增函数;若相反,则f[t(x)]为减函数。
方法八:
换元法。
对于由一次函数和根式函数合成的超越函数(y=ax+b+
),用换元法化成二次函数,再求值域。
见例20还有的函数可用三角换元。
(见例21)
此外,还有平方法(对于两个二次根式的组合函数,且不具备单调性时,平方后可以化简,例22),几何法(可将绝对值、根式等构造成点与点、点与线的距离时,例23),不等式法(对于定义域有限定的分式函数、绝对值函数等,例24),函数有界性法(主要是对于三角函数,例25)导数法(对于三次函数)等。
常用运算技巧:
1,分式分部法(分离常数法):
对于y=(ax2+bx+c)/x的形式,可化简为y=ax+b+c/x,再利用函数f(x)﹦x+
的单调性来求出值域。
见例26.
2,取倒数法:
对于y=x/(ax2+bx+c)的形式,取导数,就化成1/[(ax2+bx+c)/x].再用分式分部法求解。
见例27.
3,分子有理化法。
对于y=
-
此函数不具有单调性,也无法通过换元化简,这时可先用性质(a+b)(a-b)=a2-b2,化为y=2/(
+
),然后可根据单调性求解。
见例28.
4,求值。
本质上说,这就是解方程。
一般的,解开一个未知数需要一个方程式,解开两个就需要两个方程。
列方程的方法:
(1)根据题目已知等量关系列出方程。
(2)常用隐含等式:
①f(x)为奇函数,且x可以等于0,则f(0)=0.见例29.
②f(x)为二次函数且有两个相同的解,则判别式△=0.
③已知y=f(x),a 例30. (3)赋值法: 对于某些特殊类型函数,可以通过赋特殊值把函数转化为方程,再解。 例31。 (4)特殊情况下,一个方程也可以解出多个未知数。 特殊情形: 在多项式等式中,可以有多项式相等的条件,得到每两个相同次数的项的系数都相等,从而可以分离出多个等式,再求解。 (见例32) (5)有时,通过解不等式也能解出值来。 由不等式解出等式(值),也有三种情形: ①,取整法。 就是说,先通过解不等式得出一个范围,再根据已知条件取其中的整数,再验证,删去无效解。 (见例33) ②,配方法,即通过配方得出(x-a)2≦0的形式,从而可解出x=a。 例34. ③,两边夹逼法,即通过解不等式组得出x≦a且x≧a,进而解出x=a.例35. 5,求参数范围 什么叫参数? 即不确定的常数。 很多时候需要我们求函数中参数的范围,其基本的解题思路就是解不等式: 将题中与参数相关的所有条件所蕴含的不等关系都表述成不等式,再求解即可。 由等式(函数)转化出不等式的方法: 对于二次函数, (1),根据根的存在状况,有△﹥0或△﹤0. (2),根据对称轴的范围确定不定式。 (3),根据零点可确定其附近某些点的函数值与0的大小。 (4),根据开口可确定二次项系数与0的大小。 (5),可根据两根的范围来确定两根之和与两根之积的范围。 总之,把所有可能的限定条件都找出来,再解不等式组,即可得到所求参数的范围。 例36. 对于其他函数, (1)首先是根据定义域,比如根号里面要大于等于0,对数的真数要大于0; (2)其次,是根据根的分布做草图,用数形结合来判断某些值的大小。 (3)知道函数单调性时,也可用单调性得出不等式。 (4)此外,还可以在计算中利用均值不等式等特殊的性质来得出不等式。 例37。 第二篇数列 数列是函数在整数定义域内的引申,也是高中数学的重要板块之一。 这部分的内容也可分为三类: 1,数列的类型;2,数列的性质及应用;3,数列的求解。 一,数列的类型 按照数列的项数可分为有限数列与无限数列; 根据数列项的变化情况可分为: 递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 常用的特殊数列类型有: 等差数列,比如1,3,5,7,9……; 等比数列,比如1,2,4,8,16……; 自然数数列,即1,2,3,4,…… 自然数的平方数列,即12,22,32,42…… 自然数的立方数列,即13,23,33,43…… 斐波拉挈数列,即1,2,3,5,8,13……(an=an-1+an-2) 分式数列: ①1/1×2,1/2×3,1/3×4,1/4×5…… ②1,1/(1+2),1/(1+2+3),1/(1+2+3+4)……(通项可化为an=2/[n(n+1)] 二,数列的性质及应用 1,等差数列的单调性: d>0递增数列;d<0递减数列;d=0常数列 2,对于等差数列,an=am+(n-m)d,d=(am-an)/(m-n)见例38. 3,若m+n=p+q,则有: am+an=ap+aq(等差);am×an=ap×aq(等比)见例39. 特别的,若m+n=2p,则有am+an=2ap(等差中项),am×an=ap2(等比中项)见例40. 4,抽项数列: 对于等差(等比)数列,若项数成等差,则对应项也成等差(等比)数列。 例41。 5,分群数列: 设sn是等差数列前n项的和。 则,sk,s2k―sk,s3k―s2k,……构成的数列还是等差;且{sn/n}也是等差数列。 例42。 6,若{an}和{bn}均为等差数列,则{pan},{an+q},{an±bn}也是等差数列。 若{an}和{bn}均为等比数列,则{pan},{1/an},{an·bn},{an/bn},{∣an∣}也是等比数列。 例45。 7,设sn是等比数列前n项的和。 则,sk,s2k―sk,s3k―s2k,满足关系式(s2k―sk)2=sk·(s3k―s2k) 8,若等差或等比数列的项数为2n,s偶/s奇=an+1/an(等差)s偶-s奇=nd(等差),s偶/s奇=q(等比) 9,若等差数列的项数为2n+1,则s奇/s偶=(n+1)/n(等差),s奇-s偶=an+1(中间项) 10,对于项数为2n-1的等差数列,有s2n-1=(2n-1)an·(即中间项乘以项数)例46. 11,若有两个等差数列{an}和{bn},则an/bn=s2n-1/T2n-1例47。 证明等差: (见例48,49,50,51) 1,利用定义an-an-1=d(常数)证明; 2,利用等差数列的性质an+1+an-1=2an(n≥2)证明。 3,若通项公式为an=kn+b(k,b为常数),则数列{an}为等差数列。 4,若前n项和sn=An2+Bn(A,B为常数)。 则{an}为等差数列。 证明等比: (见例52,53) 1,利用定义: an/an-1=q(q为不等于0的常数)来判定。 2,利用等比中项性质: an+1·an-1=(an)2来判定。 三,数列的求解 1,求通项 (1)观察法: 对于给出若干项的数列,可通过观察直接得出通项公式。 见例54。 (2)公式法: 对于等差或等比数列,可根据通项公式来求: 见例55. 等差: an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d等比: an=a1qn-1=amqn-m (3)已知sn的表达式时,可根据an与sn的关系求解: 例56. s1(n=1) an= sn-sn-1(n≥2) (4)已知an与an-1的递推关系,可用累加法,累乘法,构造法等求解。 ①对于an-an-1=f(n),有(例57) an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)……+(a2-a1)+a1(累加法) ②对于an/an-1=f(n)满足一定条件,则有(例58) an=(an/an-1)(an-1/an-2)……(a2/a1)a1(累乘法) ③对于an=kan-1+b,可以设an-m=k(an-1-m),从而构造出数列{an-m}为等比,进而可得: an=(a1-m)kn-1+m.其中m=b/(1-k)(例59) ④对于an=an-1/(kan-1+b),两边取倒数,再分式分部,进而可得1/an=(b/an-1)+k,再用上面第③种递推法解。 (例60) ⑤对于an=kan-1+bn-1,构造新的等比数列{an-mbn},m=1/(b-k).再解。 (例61) ⑥对于an=aan-1+ban-2。 构造等比数列{an-kan-1},化为两项的关系式,再解。 (例62。 ) ⑦an=kan-1+pn+m,构造等比数列{an-xn-y},x=p/(1-k);y=(m-kx)/(1-k)再解。 (例63) (5)对于周期数列,已知f(x)=f(x+T),先求出a1,a1,…aT,再把各项都化为a1到aT的值.(例64.) (6)对于特殊数列,可以先求出前几项,推测通项公式,再用归纳法证明。 (例65) 2,求和 (1)基本数列: 用求和公式或者用待定系数法先设出表达形式,再解出系数。 (例66,67) 等差: sn=(a1+an)n/2=(am+an-m)n/2=na1+n(n-1)d/2 =中间项×项数(有奇数项时)=中间两项之和×项数÷2(有偶数项时). 等比: sn=na1(q=1)或sn=a1(1-qn)/1-q=(a1-anq)/(1-q)*(q≠1) (2)特殊数列: 例如sn=12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6(例68) (3)已知sn与sn-1的递推关系,则用由an与an-1的递推关系求通项的方法求出sn。 (例69) (4)已知an与sn的关系,利用an=sn-sn-1把an消去,则转化为(3)的形式。 (例70) (5)由等差与等比复合而成的数列,用错位相减法。 (见例71。 ) (6)某些特别的分式数列,形如an=1/n(n-1)的,可用裂项相消法解。 (见例72。 )此外,有时还需要用到分组求和法、并项、通项、消项、降次等运算技巧。 (例73-76) 3,求最值 (1)通常可以转化为求函数y=f(n)的最值,再用函数求最值的方法去解。 (例77) (2)对于等差、等比数列,可以分析函数单调性,用单调性求解。 注意临界点的选取。 例78。 (3)根据最值含义用不等式求解。 若有最大值an,则有an>an-1,且an>an+1.可解出n,再求an。 4,求项数、项值。 若有最大值sn,则有an>0,an+1<0.见例79。 (1)对于基本数列,可运用数列的性质来解。 见例80,81. (2)一般的,可以根据已知条件列出方程,求解即可。 已知三项成等差,可设为a-d,a,a+d 已知四项成等差,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.已知3项成等比,可设为a/q,a,aq.(例82,83) 第三篇不等式 一,不等式的基本类型与基本表达形式: 一元一次不等式: kx+b>0或kx+b<0. 一元二次不等式: ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 分式不等式: h(x)/g(x)>a或h(x)/g(x) 含绝对值的不等式: ∣x∣>a或∣x∣∣bx∣ 简单的高次不等式: 如,ax3+bx2+cx+d>0或ax3+bx2+cx+d>0(a≠0) 对数不等式: f(logax)>0或f(logax)>f(logay) 指数不等式: f(ax)>0或f(ax)>f(ay) 幂不等式 根式不等式(无理不等式): 复合不等式(图像法) 二,不等式的性质: 1,传递性: a>b,b>c=>a>c2,对称性: a>bb 3,可加性: a>ba+c>b+c加法规则: a>b,c>da+c>b+d 4,可积性: 若a>b且c>0,则ac>bc;若a>b且c<0,则ac 5,乘法规则: a>b>0,c>d>0,则ac>bd 乘方规则: a>b>0,n∈N,且n>1,则an>bn 开方规则: 若a>b>0,n∈N,且n>1,则n√a>n√b 6,倒数性质: a>b,ab>0,=>1/a<1/ba<01/a<1/b a>b>0,0 7,取绝对值的不等式性质: a2>b2∣a∣>∣b∣ 若a
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