带答案对数与对数函数经典例题.docx
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带答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将以下指数式与对数式互化:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;(6)
.
思路点拨:
运用对数的概念进行互化.
解:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;
(6)
.
总结升华:
对数的概念是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手腕.
触类旁通:
【变式1】求以下各式中x的值:
(1)
(2)
(3)lg100=x(4)
思路点拨:
将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:
(1)
;
(2)
;
(3)10x=100=102,于是x=2;
(4)由
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2.求值:
解:
.
总结升华:
对数恒等式
中要注意格式:
①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.触类旁通:
【变式1】求
的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
思路点拨:
将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
解:
.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示以下各式.
(1)lg9
(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15
解:
(1)原式=lg32=2lg3=2b
(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
触类旁通:
【变式1】求值
(1)
(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解:
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c,
,求c的值.
解:
由3a=c得:
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:
.
证明:
.
【变式4】已知:
a2+b2=7ab,a>0,b>0.求证:
.
证明:
∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),
∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即
.
类型四、换底公式的运用
4.
(1)已知logxy=a,用a表示
;
(2)已知logax=m,logbx=n,logcx=p,求logabcx.
解:
(1)原式=
;
(2)思路点拨:
将条件和结论中的底化为同底.
方法一:
am=x,bn=x,cp=x
∴
,
∴
;
方法二:
.
触类旁通:
【变式1】求值:
(1)
;
(2)
;(3)
.
解:
(1)
(2)
;
(3)法一:
法二:
.
总结升华:
运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底都可,但具体到每一个题,一样以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的经常使用对数也可.
类型五、对数运算法那么的应用
5.求值
(1)log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解:
(1)原式=
.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
触类旁通:
【变式1】求值:
解:
另解:
设
=m(m>0).∴
,
∴
,∴
,
∴lg2=lgm,∴2=m,即
.
【变式2】已知:
log23=a,log37=b,求:
log4256=?
解:
∵
∴
,
类型六、函数的概念域、值域
求含有对数函数的复合函数的概念域、值域,其方式与一样函数的概念域、值域的求法类似,但要注意对数函数本身的性质(如概念域、值域及单调性)在解题中的重要作用.
6.求以下函数的概念域:
(1)
;
(2)
.
思路点拨:
由对数函数的概念知:
x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出概念域.
解:
(1)因为x2>0,即x≠0,因此函数
;
(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数
.
触类旁通:
【变式1】求以下函数的概念域.
(1)y=
(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1,kÎ
R).
解:
(1)因为
,因此
,
所以函数的定义域为(1,
)
(
,2).
(2)因为ax-k·2x>0,因此(
)x>k.
[1]当k≤0时,概念域为R;
[2]当k>0时,
(i)若a>2,则函数定义域为(
k,+∞);
(ii)若0 k); (iii)若a=2,则当0 为 . 【变式2】函数y=f(2x)的概念域为[-1,1],求y=f(log2x)的概念域. 思路点拨: 由-1≤x≤1,可得y=f(x)的概念域为[ ,2],再由 ≤log2x≤2得y=f(log2x)的概念域为[ ,4]. 类型七、函数图象问题 7.作出以下函数的图象: (1)y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx; (2)y=lg|x|;(3)y=-1+lgx. 解: (1)如图 (1); (2)如图 (2);(3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性能够: ①比较大小;②解不等式;③判定单调性;④求单调区间;⑤ 求值域和最值.要求同窗们: 一是牢固把握对数函数的单调性;二是明白得和把握复合函数的单调性规律;三是树立概念域优先的观念. 8.比较以下各组数中的两个值大小: (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1) 思路点拨: 由数形结合的方式或利用函数的单调性来完成. (1)解法1: 画出对数函数y=log2x的图象,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方, 所以,log23.4 解法2: 由函数y=log2x在R+上是单调增函数,且3.4<8.5,因此log23.4 解法3: 直接用计算器计算得: log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,因此log23.4 (2)与第 (1)小题类似,log0.3x在R+上是单调减函数,且1.8<2.7,因此log0.31.8>log0.32.7; (3)注: 底数是常数,但要分类讨论a的范围,再由函数单调性判断大小. 解法1: 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9,因此,loga5.1 当0loga5.9 解法2: 转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令b1=loga5.1,那么 ,令b2=loga5.9,那么 当a>1时,y=ax在R上是增函数,且5.1<5.9 所以,b1 当0 所以,b1>b2,即 . 触类旁通: 【变式1】(2020天津理7)已知 那么() A. B. C. D. 解析: 另 , , ,在同一坐标系下作出三个函数图像, 由图像可得 又∵ 为单调递增函数, ∴ 应选C. 9.证明函数 上是增函数. 思路点拨: 此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方式. 证明: 设 ,且x1 又∵y=log2x在 上是增函数 即f(x1) ∴函数f(x)=log2(x2+1)在 上是增函数. 触类旁通: 【变式1】已知f(logax)= (a>0且a≠1),试判定函数f(x)的单调性. 解: 设t=logax(x∈R+,t∈R).当a>1时,t=logax为增函数,假设t1 ∴f(t1)-f(t2)= , ∵0 当01或0 10.求函数y= (-x2+2x+3)的值域和单调区间. 解: 设t=-x2+2x+3,那么t=-(x-1)2+4.∵y= t为减函数,且0 ∴y≥ =-2,即函数的值域为[-2,+∞ . 再由: 函数y= (-x2+2x+3)的概念域为-x2+2x+3>0,即-1 ∴t=-x2+2x+3在 -1,1)上递增而在[1,3)上递减,而y= t为减函数. ∴函数y= (-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3 . 类型九、函数的奇偶性 11.判定以下函数的奇偶性. (1) (2) . (1)思路点拨: 第一要注意概念域的考查,然后严格依照证明奇偶性大体步骤进行. 解: 由 因此函数的概念域为: (-1,1)关于原点对称 又 因此函数 是奇函数; 总结升华: 此题确信概念域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判定对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形. (2)解: 由 因此函数的概念域为R关于原点对称 又 即f(-x)=-f(x);因此函数 . 总结升华: 此题概念域的确信可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技术,要求把握. 类型十、对数函数性质的综合应用 12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 思路点拨: 与求函数概念域、值域的常规问题相较,此题属超级规问题,关键在于转化成常规问题.f(x)的概念域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的,因为那个地址要求f(x)取遍一切实数, 即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的各类情形,如图,咱们会发觉, 使u能取遍一切正数的条件是 . 解: (1)f(x)的概念域为R,即: 关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R, 当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R; 当a≠0时,有 a>1.∴a的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或 0≤a≤1, ∴a的取值范围为0≤a≤1. 13.已知函数h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作g(x),A、B、C三点在函数g(x)的图象上,它们的横坐标别离为a,a+4,a+8(a>1),记ΔABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域; (3)判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)若S>2,求a的取值范围. 解: (1)依题意有g(x)=log2x(x>0). 并且A、B、C三点的坐标分别为A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)), C(a+8,log2(a+8))(a>1),如图. ∴A,C中点D的纵坐标为 〔log2a+log2(a+8)〕 ∴S= |BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8). (2)把S=f(a)变形得: S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2 =2log2(1+ ). 由于a>1时,a2+8a>9,∴1<1+ < ,又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴0<2log2(1+ )<2log2 ,即0 . (3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数,证明如下: 任取a1,a2,使1 (1+ )-(1+ )=16( )=16· , 由a1>1,a2>1,且a2>a1,∴a1+a2+8>0, +8a2>0, +8a1>0,a1-a2<0, ∴1<1+ <1+ ,再由函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 于是可得f(a1)>f(a2) ∴S=f(a)在(1,+∞)上是减函数. (4)由S>2,即得 ,解之可得: 1 -4.
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- 答案 对数 函数 经典 例题
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