按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现.docx
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按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现
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按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现
一、DIT-FFT算法的基本原理
基2FFT算法的基本思想是把原始的N点序列依次分解成一系列短序列,充分利用旋转因子的周期性和对称性,分别求出这些短序列对应的DFT,再进行适当的组合,得到原N点序列的DFT,最终达到减少运算次数,提高运算速度的目的。
按时间抽取的基2FFT算法,先是将N点输入序列x(n)在时域按奇偶次序分解成2个N/2点序列x1(n)和x2(n),再分别进行DFT运算,求出与之对应的X1(k)和X2(k),然后利用图1所示的运算流程进行蝶形运算,得到原N点序列的DFT。
只要N是2的整数次幂,这种分解就可一直进行下去,直到其DFT就是本身的1点时域序列。
图1DIT-FFT蝶形运算流图
2、DIT-FFT算法的运算规律及编程思想
1.原位计算
对N=
点的FFT共进行M级运算,每级由N/2个蝶形运算组成。
在同一级中,每个蝶的输入数据只对本蝶有用,且输出节点与输入节点在同一水平线上,这就意味着每算完一个蝶后,所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元),经过M级运算后,原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值,这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。
2.旋转因子的变化规律
N点DIT―FFT运算流图中,每个蝶形都要乘以旋转因子
,p称为旋转因子的指数。
例如N=8=
时各级的旋转因子:
第一级:
L=1,有1个旋转因子:
=
=
J=0
第二级:
L=2,有2个旋转因子:
=
=
J=0,1
第三级:
L=3,有4个旋转因子:
=
=
J=0,1,2,3
对于N=
的一般情况,第L级共有
个不同的旋转因子:
=
J=0,1,2,…,
-1
=
×
=N·
故:
按照上面两式可以确定第L级运算的旋转因子
3、同一级中,同一旋转因子对应蝶形数目
第L级FFT运算中,同一旋转因子用在
个蝶形中;
4、同一级中,蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离”
第L级中,蝶距:
D=
;
5、同一蝶形运算两输入数据的距离
在输入倒序,输出原序的FFT变换中,第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距:
B=
。
6、码位颠倒
输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后,输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。
将十进制顺序数用I表示,与之对应的二进制是用IB表示,十进制倒序数用J表示,与之对应的二进制是用JB表示。
十进制顺序数I增加1,相当于IB最低位加1且逢2向高位进1,即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。
JB的变化规律反映到J的变化分为两种情况,若JB的最高位是0(J I=J时不需要交换,只对I 7、蝶形运算的规律 序列经过时域抽选后,存入数组中,如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点,应用原位计算,蝶形运算可表示成如下形式: p=J×2M-L,J=0,1,2,…,2L-1-1 8、DIT-FFT程序框图 根据DIT-FFT原理和过程,DIT-FFT的完整程序框图如图2: (1)倒序: 输入自然顺序序列x(n),根据倒序规律,进行倒序处理; (2)循环层1: 确定运算的级数,L=1~M(N= );确定一蝶形两输入数据距离B= (3)循环层2: 确定L级的B= 个旋转因子;旋转因子指数p=J× ,J=0~B-1; (4)循环层3: 对于同一旋转因子,用于同一级 个蝶形运算中: k的取值从J到N-1,步长为 (使用同一旋转因子的蝶形相距的距离) (5)完成一个蝶形运算。 图2数据倒序程序框图图3DIT-FFT的完整程序框图 3、程序源代码 设计函数myDitFFT(xn)完成一个序列的DIT-FFT运算: functiony=myDitFFT(xn) M=nextpow2(length(xn)); N=2^M; disp('调用fft函数运算的结果: '), fftxn=fft(xn,N); iflength(xn) xn=[xn,zeros(1,N-length(xn))]; end form=0: N/2-1;%旋转因子指数范围 WN(m+1)=exp(-j*2*pi/N)^m;%计算旋转因子 end disp('输入到各存储单元的数据: '),disp(xn); %数据倒序操作 J=0;%给倒序数赋初值 forI=0: N-1;%按序交换数据和算倒序数 ifI T=xn(I+1);xn(I+1)=xn(J+1);xn(J+1)=T; end %算下一个倒序数 K=N/2; whileJ>=K; J=J-K;K=K/2; end J=J+K; end disp('倒序后各存储单元的数据: '), disp(xn); %分级按序依次进行蝶形运算 forL=1: M;%分级计算 disp('运算级次: '),disp(L); B=2^(L-1); forR=0: B-1;%各级按序蝶算 P=2^(M-L)*R; forK=R: 2^L: N-2;%每序依次计算 T=xn(K+1)+xn(K+B+1)*WN(P+1); xn(K+B+1)=xn(K+1)-xn(K+B+1)*WN(P+1); xn(K+1)=T; end end disp('本级运算后各存储单元的数据: '),disp(xn); end 在主函数中调用myDitFFT(xn)函数实现DIT-FFT并和直接DFT运算结果做对比: xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; myDitFFT(xn); 调用fft函数运算的结果: 1至7列 28.0000+0.0000i-4.0000+9.6569i-4.0000+4.0000i-4.0000+1.6569i-4.0000+0.0000i-4.0000-1.6569i-4.0000-4.0000i 8列 -4.0000-9.6569i 调用myDitFFT(xn)函数运行的结果: 输入到各存储单元的数据: 01234567 倒序后各存储单元的数据: 04261537 运算级次: 1 本级运算后各存储单元的数据: 4-48-46-410-4 运算级次: 2 本级运算后各存储单元的数据: 1至7列 12.0000+0.0000i-4.0000+4.0000i-4.0000+0.0000i-4.0000-4.0000i16.0000+0.0000i-4.0000+4.0000i-4.0000+0.0000i 8列 -4.0000-4.0000i 运算级次: 3 本级运算后各存储单元的数据: 1至7列 28.0000+0.0000i-4.0000+9.6569i-4.0000+4.0000i-4.0000+1.6569i-4.0000+0.0000i-4.0000-1.6569i-4.0000-4.0000i 8列 -4.0000-9.6569i 经对比可知DIT-FFT与直接DFT的运行结果完全相同。 4、总结 经过验证可发现DIT-FFT较直接DFT运算有着明显的优势,我们可以将这个函数运用在多个领域以简化运算,例如计算离散时间序列的卷积或计算IDFT时都可以应用到DIT-FFT算法,我感受到数字信号处理中科学思想的魅力。 由于对设计思路的缺乏,我在设计程序时,在网络上查找了很多有关DIT-FFT的资料,经过学习他人的解决思路最后才整理出DIT-FFT的程序,在有些地方我自己理解的还不是很透彻,比如在实现数据倒序的程序我认为比较困难;当然即使自己想不到能学习一下别人的思路也是很好的,这个程序的代码量并不大,我自身的能力还很低,要在以后的学习中不断进步才能完成更加复杂的任务。 这次课程设计让我对快速傅里叶变换有了更多的了解,也认识到了科学计算方法的重要性,我感到很充实。 参考文献—— XX百科; 按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现[J].电子技术,2011 (2) 数字信号处理(第四版)西安电子科技大学出版社高希全丁玉美编
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