线性代数课后答案习题5和习题6复习课程.docx

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线性代数课后答案习题5和习题6复习课程

线性代数课后答案_习

题5和习题6

习题五

1

2

3

0

0

1

1

1

1）

；2）2

1

3；3）

0

1

0

2

4

3

3

6

1

0

0

1.求下列矩阵的特征值和特征向量:

310

4）410

482

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

11

解:

1）24

（2）（3）'特征值2,3

2时，1（1,1），故属于2的特征向量为k11（k10）

9时,

（1,1,2），故属于9的特征向量为ks3（ks

0）。

3时，2（1,2），故属于3的特征向量为k22（k20）

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

01

3）010

（1）

（1）2，特征值1,1。

10

当1时，1（0,1,0），2（1,0,1）。

故属于1的特征向量为

1k22（k1,k2不全为零）。

当1时，3（1,0,1），故属于1的特征向量为k33

（k30）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化

310

4）

410

（1）2

（2），特征值1,2。

482

当

1时，1（3,6,20），故属于1的特征向量为k11

（k10

）。

当

2时，2（0,0,1），故属于2的特征向量为k22

（k20）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。

2.已知方阵A满足A23A2E0，求A的所有可能的特征值。

解：

设是A的特征值，则有非零向量X满足AXX。

于是A2X2X，

（A23A2E）X（232）X0。

因为X非零，所以2320。

即A的特征值只能为1或2。

3.设是A的特征值，证明：

1）2是A2的特征值，i（i为正整数）是A，的特征值；

2）设f（）是多项式，则f（）是f（A）的特征值；

3）如果A可逆，贝U1是A1的特征值。

证明：

1）因为AXX，则A2XA（X）AX2X。

A3XA（2X）3X，依此类推，AiX‘X，即i是Ai的特征值。

2）由1）AiX‘X（i为正整数），记f（）a。

a^H|a“n，则

f（A）X（a°EI”anEn）Xf（）X，即f（）是f（A）的特征值。

3）如果A可逆，对AXX两边左乘A1有：

XA1X。

又可逆矩阵

的特征值不为零（否则|0EA0，与A可逆矛盾）。

故1XA1X。

4.设Xi和X2是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明XiX2不是A的特征向量。

证明：

由题意，设AXi1X1，AX22X2，12，则Xi,X2线性无关。

（反证）若X1X2是A的特征向量，则有：

A（X1X2）（X1X2）。

从而

（1）X1

（2）X20。

因为12，所以

（1）,

（2）不全为零，于

是X1,X2线性相关，矛盾。

故X1X2不是A的特征向量。

5.如果方阵A可逆，证明矩阵AB和BA相似。

6.

P1AP

1CQD

于是

BD，即

证明：

因为A1（AB）ABA，所以矩阵AB和BA相似。

D相似。

7.计算Ak，其中

量为2

（2,1,2）;当5时,

对应的特征向量为3（1,2,1）。

故可取

0

2

1

1

5

0

5

1

P0

1

2

，有P1

2

1

0

，使得：

A

P

5

P

5

1

2

1

1

2

0

5

1

11

5

4

5k

（5）k

25k

2（5）k

0

从而Ak

P

5k

P

2

5k

2（5）k

5k

4（5）k

0

（5）k

45k

（5）k5

25k

2（5）k

5

1

O

1x1

8.求x,y的值，使得矩阵A与B相似，其中Ax1y,

1y1

000

B010。

002

解：

因为B的特征值为0,1,2，由A与B相似，可得0EA0,

1EA0，

2

I曲2（xy）0

2EA0。

即'"，从而xy0。

2xy0

9.证明：

1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；

2）正交矩阵的特征值的模等于1。

证明：

1）设A是实反对称矩阵，是A的特征值，则有X0，AX

取共轭有AXX。

考虑XAX，一方面XAXXX;另一方面，

xaxxAx（ax）x_xx；于是（_）xx0。

又因为

X0,所以XX0。

故—0，即为0或纯虚数。

取共

2）设A是正交称矩阵，是A的特征值，则有X0，AXX。

轭有AXX，再转置XAXAX。

所以

XXXAAXXX。

因为X

0,所以XX0。

故

1，即的模

10.判断下列矩阵是否为正交矩阵:

1）A

2

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

i，2）

2

3

解：

1）

因为AAE，

1

2

1

3

故A为正交矩阵；2）

11.设A,B为正交矩阵，证明:

1）

A1与A为正交矩阵;

2）

A

为正交矩阵。

B

证明:

1

3

1

。

2

不是正交矩阵。

1）因为A为正交矩阵，所以AAE，即A

A1。

又

（A）A（AA）EE，故A1与A为正交矩阵

2）

因为A,B为正交矩阵，所以

AA

E，BB

。

从而

AA

BB

B为正交

矩阵

12.在R4中，求一单位向量

与向量（1,1,1,1）,（1,1,

解：

设所求向量为（X1,X2,X3,X4），贝U有

解系为（4,0,1,1）。

故k（4,0,1,1）

X1

X2

X3

X4

0

X1

X2

X3

X4

0。

求得基础

2为

X2

X3

0

（k为任意

擞）

。

1,1）,（2,1,1,3）正交。

13.求正交矩阵Q，使得Q1AQ为对角形:

11

1

2

22

1）

A11

1；

2）A

2

54。

11

1

2

45

1

1

1

解：

1）

EA

1

1

1

2（3）

，特征值0,3。

1

1

1

当

0时，

1（

1,1,0），

2

（1,0,1）o。

一

当3时，3（1,1,1）

1

3（^,1,1）。

由施密特正交化，取

—（2,1,0），

7翻

0

23，则

23

1

33（1,2,2）o令Q

3

1

Q1AQQAQ1

14.设3阶方阵A的特征值为1,2,3;对应的特征向量为1（0,1,0），

2（1,1,0），3（0,0,1）o求矩阵A

0

1

0

1

解：

由题意，令P

1

1

0

，贝U有P1AP

2o

故

0

0

1

3

1

2

0

0

AP2P1

1

1

0o

3

0

0

3

15.设3阶实对称矩阵

A的特征值为6和3（二

•重根）。

属于

6的特征向量为

3（1,1,1），求A及|A33E|。

2（1,0,1）o令

解：

设X（Xi,X2,X3）是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有

111

3

411

P101，则AP3P

1141o|A33E|=

011

6

114

33

24

P33P13E|

24

122688o

63

213

XiX2X30。

故特征值为3的特征向量1（1,1,0），

提咼题

a1c

1.设矩阵A

5b3,A1,A*有特征值o，属于°的一个特

1c0a

征向量为（1,1,1）。

求a,b,c和o的值

0（1ca）1

2.已知3阶矩阵A与3维列向量X，向量组X，

AX，A2X线性无关，且满

A1a2

足A3X3AX2A2X

1）记P（X,AX,A2X），求3阶矩阵B，使得APBP1;

2）计算行列式AE

12

PAX

（0,0,1）。

由APBP1，可得B

1123

PAPP（AX,AX,AX）

解：

1）因为P1P

P1（X,AX,AX2）E，所以P1AX（0,1,0），

0

0

0

1

0

3

。

0

1

2

1

0

0

1

1

3

4。

0

1

1

n

a1

n1

"Ian，1,||

n是

解：

BAA

秩为1,所以

112112

（P1AX,P1A2X,3P1AX2P1A2X）

11

2）AEPBP1PP1BE

3.设A是n阶方阵，记f（）EAf（）的n个根（重根按重数计算）。

证明：

1）印1川ann1IIIn印，称为方阵A的迹，记为tr（A）；

2）an

（1）nA

（1）n1卅n。

证明：

因为f（）IEAna1n1卅an

（1）卅（n），令

0，则有an

（1）n|A

（1）n1卅n，即2）成立。

又由于特征多项式

EA中n1项由行列式定义知只能出现在（an）||（ann）内，它的系数

为（a11卅ann）a1；而

（1）（n）中"1项的系数为

（1|||n）。

故1）成立。

4.设AG,川,an），ai均为非零实数，BAA，求可逆矩阵P，使得

P1BP为对角阵。

af邛“

0时，EA的

，它为实对称矩阵。

当

2

0是EB0的n1重根，由上题1）的结果知n1项系数

当0时，可得：

2（a?

®,川,0）,…，n（an,0,|||,ai）。

由于

属于特征值

（12

III

2

1n

）的特征向量X（X1，卅,Xn）与上述向量组正交，所

以1jx111xj

（j

2,|||,n）

。

故

1（11,|||,1n）。

a2

13

1n

11

11

0

0

12

令P

Hl

III

III

川，则

0

0

0

1n1

0

0

11

1n

0

0

P1BP

。

2

11

III

2

1n

5.证明上三角正交矩阵必为对角阵。

故

o

2n

a

n2