推导点到直线的距离公式定理.docx
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推导点到直线的距离公式定理
十二种点到直线距离公式证明方法
用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法.已知点P(Xo,Yo)直线I:
Ax+By+C=0(A、B均不为0),求点P到直线I的距离。
(因为特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线)
《1.用定义法推导》
点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线段的长,设点P到直线
I的垂线为垂足为Q,由I垂直I'可知I'的斜率为B/A
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(A3B带
《2,用设而不求法推导》
laeajsp作巨和直线上Ax+By+C=O的垂线.设垂足为丫人则O
0弋
y^vo(-企—1
X-和B,化伺得
;Ax+By+C^0
玛¥「丫」-江-讷二。
A(x-*xJ+Bly-yJ^-{AKo+By0+C)由上式得:
(A"+B?
)[(x^xrJ^(v-yJ7)^(Ax<>+8y04Cr
二4VMM匸产・
VA3+B7
《3,用目标函数法推导》
点P(b¥。
》到菖线By4C=0上
任慧一点的夷襪的最小值就是总P到曹
线J的建禺打在f上或圧嚴点蚁匕,¥人闺
两点的距离公式育尸皿传1讦氛¥・¥疔
为了利用杲眸Ax十B^CP眉上式变形
一下,配对姻理海:
=Aj(x-V4BqV+A卽―询坤
-Wx-xJ+Biy^F+lAly-y^Btx-^F
^|A(x-Xo)4aiy-yjr-IAxo+By0+CP
叮(Ax0+Byfl+C*O)
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x-x^+(y-vJ5芳她回垃9.
VAJ+B2
当旦仅当Aty-z^-Bix-^O宛啟等
号•所以最小值就宦d=比第幣$
VA曲恒等变形平方差及重要不等式
《4,用柯西不等式推导》
“求证:
(a2+b2)(c2+d2)》(ac+bd)2,当且仅当ad=bc,即a/c=b/d时等号成立。
”实为柯西不等式的最简形式,用它可以非
常方便地推出点到直线的距离公式。
用解直角三角形法推导》
设点MbcM^Ax+By+C-0
上任意一点,圧惫点P(xOfyfl)到直线/的世罔为drRllt
|PM|=VS^xJ^ly-yol7
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a腔讣B/RMfuUV+BFL鱼%瓷盘厂■+
《5.
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PH|=|PG||coszGPHH
.'.coszGPH=--,-,",-=——1乩
Ax.+By^j,B
然Xi=x。
所以
yi_AxgtC
PM//y轴交I于G(xi,yi),显
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> " 如PZ当^当 Er島5啦 …J5L」輕回MLx/A^+57" 设直线I的倾斜角为 。 ,过点P作 .」 X' ■'4 k匸 °£需 打PGA|y时驚'G同誥也|.^WZGPH=«SK^GPH=180°-a,在两JP情况下都育酋£GPH=炉i令崔-( 《6,用三角形面积公式推导》 两点闾臣离公式的推导诃秤申..使弔曜维思想构造直吊三角阳.受此佶示•当A-B^O时,过点卩血闷師两条宣线・分别希平行于x轴丹瑚的两条直线「分别交直线AAx+B”C=O于点M(■旳烂二〃八 忖血-驾C),则购円=[如日平C|,|NPHy0+^C[./MP丄NP,二在R也叶中■由頁角三角形的閒积公式得: ;-IMPHNP^I-JMNpd,「・gPQ4『Mil旳I VIPMp+fW JAxq十8汩口 V^A^+B^ 《7.用向量法推导》 Efi宜找l的方程Ax^By+C=O.(A,B不能同时为Oh可轉育线f的迭向虽为A展观原円心曲乍亘线£99垂线,基足为H(x^y'L则冋SPFf-kn,即(x*-XoV-y 屮I,又因为凉HX,y'EES&;上.所朝就有;Ax3By'+C=0.即A(x^kA)-MB(V0*XB)+C=0. .\X(Af+B^=—(Ax^+Bya+C^,又页为禹,B不同时为Oi ・—(Ax^Byn^C) "a2+b2- 即d=|PP^|=^+^cl- 二|PH*|=V6c匸也忙-研=|k|VAr+_ «8•用向量射影公式推导》 设R是亘統上的任葱一点・设W启线的方! 可冋量为rr;M-StA)t®yfi线的法向豎为阳=(/\冋.附詢)(-心¥-¥d *~'~^llA ^JAx^By.+CL VzAr+B£ 点评: 冋量罡一种很好的工真,用御量处理,既邂幵了分类讨论,丈体现了平面向Sffl.TS性,兌育事半功倍的效果。 《9.利用两条平行直线间的距离处处相等推导》 如果过点P|Xa,Va)作J: Ax+By+CsO的平行线;加十By-Ax^-By^O,那么冒线r上妊意一点到【的匪罔都專于点f到旨线/的瞪禺•旣然可以任慧取点,我们应设迭底这亍点到直戟I的距离容易求紹,述取亘线r与次轴的烝点g(暂也.O)fiSG世f的垂线連定为比设八与W轴相交于点f(_£a容易求帰fg= 如欝C,角律与直线逍侦圖角B相 A 等或互补. 二Tan A晟卅而網GW ㈣沁闫沖炷|•盘^ «10.从最简单最特殊的引理出发推导》 引理: 坐新慷点到育线! ; Ax+By+C=O的跑禺h=一■ \[gB2 ®ffi: St从原点到旨线的麾离这一特殊情形入手,设盲飯/与耳50理釉分别交于点E、b®l点E、F63坐标分别是E 由三角形面 —-OE-OF铝h=—LQ1—. 25毎旷 由平存餌系求出过应P时,如旦与J平厅旳岂线旳万稈: Ax+即-加厂2沟=4设直线r和广分剧与咒骊亜于点E.G.KIJ点曰-]q、g{S誉如a由防F得工二EG"二匹_仕止zP险疋L丄 hOE''^OEn|A|' JCL,|C|-|AxD-^By0+C| |A|VAr+Bs円SK尊' {11.通过平移坐标系推导】 $0杲点P(x<>yd是坐标原点就好了,为此哉fllXJSP覘yo)为原点建n克角坐标系X'oy,井便坐柝轴山才分别与 坐标轴x(y平a设直线I衽新坐标帑中记为化设任材G在新旧坐标系中的坐标分别是僦心刪由OffqyqfTL需仪.¥1=%*旳牛怀川人;.X=Xo^x,ty=Yo+V<*■*s^/a新坐标系中的方程島舛xjjt(y^yJ+Cs=0.即Ax*+Bv E|Ax^Bvo+C| \T^W~ 【12 由直线与圆的位置关系推导】 当以点P仪诃d为n心的圜与直线! : Ax+By+C^O相切时的半轻就是点P(Z到直线rAx-bBy+C=Offi! Sg罔,于是,阿题转化为当朝羔P(&,Yd为圆週的匿与直线{只育一T交点肘・求圆的半植, Ax十B”C=O(x^xo)3+(y-y()2=r3 联于x心匚死58: 僭山 2(5-竹厂备"+以+(? +yj2_r2=O,令判SO 式△T箱*%-创-4・聲黑反煮g +丫』亠鬥=0潯: (AXc±BfetC>L-d=r=JAxo+Byo-hCLA? +B2VA^B7-
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