九年级数学三角函数全章教案doc.docx
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九年级数学三角函数全章教案doc
第一课时
课题锐角三角函数
(一)教学三维目标
一.知识目标
初步了解正弦、余弦、正切概念;能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比;熟记功30°、45°、60°角的三角函数,并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标
逐步培养学生观察、比较、分析,概括的思维能力。
三.情感目标
提高学生对几何图形美的认识。
(二).教材分析:
1.教学重点:
正弦,余弦,正切概念
2.教学难点:
用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦,余弦,正切
(三)教学程序
一.探究活动
1.课本引入问题,再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2.归纳三角函数定义。
siaA=
A的对边斜边
cosA=
A的邻边
斜边
tanA=
A的对边
A的邻边
3例
1.求如图所示的
Rt
⊿ABC中的
siaA,cosA,tanA
的值。
B
B
CAAC
4.学生练习P21练习1,2,3
二.探究活动二
1.让学生画
30°45°60°的直角三角形
分别求
sia30
°cos45°
tan60
°
归纳结果
30°
45°
60°
siaA
tanA
2.求下列各式的值
(1)sia30°+cos30°
(2)2sia45°-1cos30°
(3)cos30
0
2
+ta60°-tan30°
sia450
三.拓展提高
1.P82例4.(略)
3
2.如图,在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=
2
C
A
四.小结
五.作业
课本p862,3,6,7,8,10
AC=23,求AB
B
第二课时
课题解直角三角形应用
(一)
一.教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点:
直角三角形的解法.
2.难点:
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
3.疑点:
学生可能不理解在已知的两个元素中,为什么至少有一个是边.
三、教学过程
(一)知识回顾
1.在三角形中共有几个元素?
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系sinA=
(2)三边之间关系
a2+b2=c2(勾股定理)
acosA=btanAa
ccb
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°.
以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用.
(二)
探究活动
1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两
个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角
三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热
情.
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生的思
维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
(由直角三角形中除
直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形
).
3.例题评析
例
1
在△
中,∠
为直角,∠、∠、∠
所对的边分别为
、、,且
b=
2
a=
6
,
ABCC
ABC
abc
解这个三角形.
例2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为
a、b、c,且b=20
B=350,
解这个三角形(精确到
0.1).
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?
”
答:
先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始
数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底.
例3在Rt△ABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.
(三)巩固练习
在△ABC中,∠C为直角,AC=6,BAC的平分线AD=43,解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础,因此必须使学生熟练掌握.为此,教材配备了练习针对各种条件,使学生熟练解直角三角形,并培养学生运算能力.
(四)总结与扩展
请学生小结:
1在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),
就可以求出另三个元素.
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
.p96第1,2题
第三课时
解直三角形应用
(二)
一.教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,
从而解决问题.
2.难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,
从而解决问题.
三、教学过程
(一)回忆知识
1.解直角三角形指什么?
2.解直角三角形主要依据什么?
(1)勾股定理:
a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
A的对边A的邻边
sinAcosA
斜边斜边
A的对边
tanA=A的邻边
(二)新授概念
1.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.
2.例1
如图(6-16),某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′,求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
AC
解:
在Rt△ABC中sinB=AB
AC1200
AB=sinB=0.2843=4221(米)
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后,就在离地形表面350km
的圆形轨道上运行。
如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,从飞船上能直接看到地
球上最远的点在什么位置?
这样的最远点与P点的距离是多少?
(地球半径约为6400km,结
果精确到0.1km)
分析:
从飞船上能看到的地球上最远的点,应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三
角形FOQ中解决。
F
P
Q
O
.
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题,利用解直角三角形知识来解决,在此之前,学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后,用数学方法来解决问题的方法,但不太熟
练.因此,解决此题的关键是转化实际问题为数学问题,转化过程中着重请学生画几何图形,
并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么),会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC,进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了.
A的对边
例1小结:
本章引言中的例子和例
1正好属于应用同一关系式
sinA=斜边
来解决的两个实际问题即已知
和斜边,
求∠α的对边;以及已知∠
α和对边,求斜边.
(三).巩固练习
1.热气球的探测器显示,
从热气球看一栋高楼顶部的仰角为,
看这栋楼底部的俯角为
600,
热气球与高楼的水平距离为
120m,这栋高楼有多高(结果精确到
0.1`m)
2.如图6-17,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m,当时水位为+2.63m,求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后,应引导学生分析:
(1).谁能将实物图形抽象为几何图形?
请一名同学上黑板画出来.
(2).请学生结合图形独立完成。
3如图
米,求
6-19,已知A、B两点间的距离是
BD的高及水平距离CD.
160米,从
A点看
B点的仰角是
11°,AC长为
1.5
此题在例1的基础上,又加深了一步,须由
A作一条平行于
CD的直线交
BD于
E,构造出
Rt
△ABE,然后进一步求出AE、BE,进而求出
BD与CD.
设置此题,既使成绩较好的学生有足够的训练,
同时对较差学生又是巩固,
达到分层次教学的
目的.
练习:
为测量松树AB的高度,一个人站在距松树的高度为1.72米,求树高(精确到0.01米).
15米的
E处,测得仰角∠ACD=52°,已知人
要求学生根据题意能画图,把实际问题转化为数学问题,利用解直角三角形的知识来解决它.
(四)总结与扩展
请学生总结:
本节课通过两个例题的讲解,要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决;今后,我们要善于用数学知识解决实际问题.
四、布置作业
1.课本p96第3,.4,.6题
第四课时
解直三角形应用(三)
(一)教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,
从而利用所学知识把实际问题解决.
2.难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,
归结为直角三角形中元素之间的关系,
从而利用所学知识把实际问题解决.
三、教学过程
1.导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形,在实际问题中有时还经常应用正
切和余切来解直角三角形,从而使问题得到解决.
2.例题分析
例1.如图6-21,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米,∠A-26°,
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米).
分析:
上图是本题的示意图,同学们对照图形,根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么?
由题意知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠A=26°,AC=5米,可利用解Rt△ABC的方法
求出BC和AB.
学生在把实际问题转化为数学问题后,大部分学生可自行完成
例题小结:
求出中柱BC的长为2.44米后,我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结,效果会更好,不仅使学生掌握选何关系式,更重要的是知道为什
么选这个关系式,以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力,形成良好的学习习惯.
另外,本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题,渗透了转化的数学思想.
例2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东
方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南东
灯塔P有多远(精
650方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南
0
确到0.01海里)?
650A
P
340
B
.
引导学生根据示意图,说明本题已知什么,求什么,利用哪个三角形来求解,用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便?
3巩固练习
为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测得仰角∠ACD=52°,已知人的高度是1.72米,求树高(精确到0.01米).
首先请学生结合题意画几何图形,并把实际问题转化为数学问题.
Rt△ACD中,∠D=Rt∠,∠ACD=52°,CD=BE=15米,CE=DB=1.72米,求AB?
(三)总结与扩展
请学生总结:
通过学习两个例题,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角
形来解决,具体说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切或余切解直角三
角形,从而把问题解决.
本课涉及到一种重要教学思想:
转化思想.
四、布置作业
1.某一时刻,太阳光线与地平面的夹角为78°,此时测得烟囱的影长为5米,求烟囱的高(精
确到0.1米).
2.如图6-24,在高出地平面50米的小山上有一塔AB,在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面
分别为50°和45°,求塔高.
3.在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房,从东楼底望西楼顶仰角为45°,从西楼顶望东
楼顶,俯角为10°,求西楼高(精确到0.1米).
第五课时
解直三角形应用(四)
一.教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感目标
培养学生用数学的意识;渗透转化思想;渗透数学来源于实践又作用于实践的观点.
二、教学重点、难点
1.重点:
把等腰梯形转化为解直角三角形问题;
2.难点:
如何添作适当的辅助线.
三、教学过程
1.出示已准备的泥燕尾槽,让学生有感视印象,将其横向垂直于燕尾槽的平面切割,得横截面,请学生通过观察,认识到这是一个等腰梯形,并结合图形,向学生介绍一些专用术语,使学生知道,图中燕尾角对应哪一个角,外口、内口和深度对应哪一条线段.这一介绍,使学生对本节课内容很感兴趣,激发了学生的学习热情.
2.例题
例燕尾槽的横断面是等腰梯形,图
6-26是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角
B是
55°,外口
宽AD是180mm,燕尾槽的深度是
70mm,求它的里口宽BC(精确到1mm).
分析:
(1)引导学生将上述问题转化为数学问题;等腰梯形ABCD中,上底AD=180mm,高AE=70mm,
∠B=55°,求下底BC.
(2)让学生展开讨论,因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形,从而利用解
直角三角形的知识来求解.学生对这一转化有所了解.因此,学生经互相讨论,完全可以解决这一问题.
例题小结:
遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题.
3.巩固练习
如图6-27,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
分析:
(1)请学生审题:
因为电线杆与地面应是垂直的,那么图6-27中△ACD是直角三角形.其
中CD=5m,∠CAD=60°,求AD、AC的长.
(2)学生运用已有知识独立解决此题.教师巡视之后讲评.
(三)小结
请学生作小结,教师补充.
本节课教学内容仍是解直角三角形,但问题已是处理一些实际应用题,在这些问题中,有较多
的专业术语,关键是要分清每一术语是指哪个元素,再看是否放在同一直角三角形中,这时要
灵活,必要时还要作辅助线,再把问题放在直角三角形中解决.在用三角函数时,要正确判断
边角关系.
四、布置作业
1.如图6-28,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,DE⊥AB于E,
3
AB=8,DE=4,cosA=5,求CD的长.2.教材课本习题
P96第6,7,8题
第六课时
解直三角形应用(五)
一.教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数,学会解关于坡度角和有关角度的问题.
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力,进一步渗透数形结合的数学思想和方法.
(三)德育目标
培养学生用数学的意识;渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点:
能熟练运用有关三角函数知识.
2.难点:
解决实际问题.
3.疑点:
株距指相邻两树间的水平距离,学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误.
三、教学过程
1.探究活动一
教师出示投影片,出示例题.
例1如图6-29,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离
)是
5.5m,测得斜坡的倾
斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
分析:
1.例题中出现许多术语——株距,倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏,而株
距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具:
用木板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点.
2.引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29
(2)).已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5,∠A=24°,求AB.
3.学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.
答:
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是
6.0米.
教师引导学生评价黑板上的解题过程,做到全体学生都掌握.
2.探究活动二
例2如图6-30,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从
AC上的一点B取∠ABD=140°,
正好能使A、C、E成一条直线?
BD=52cm,∠D=50°,那么开挖点
E离
D多远(精确到
0.1m),
这是实际施工中经常遇到的问题.应首先引导学生将实际问题转化为数学问题.
由题目的已知条件,∠D=50°,∠ABD=140°,BD=520米,求DE为多少时,A、C、E在一条直线上。
学生观察图形,不难发现,∠E=90°,这样此题就转化为解直角三角形的问题了,全班学生应该能独立准确地完成.
解:
要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是△BDE的一个外角.
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°.
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m).
答:
开挖点E离D334.3米,正好能使A、C、E成一直线,
提到角度问题,初一教材曾提到过方向角,但应用较少.因此本节课很有必要补充一道涉及方
向角的实际应用问题,出示投影片.
练习P95练习1,2。
补充题:
正午10点整,一渔轮在小岛O的北偏东30°方向,距离等于10海里的A处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行.那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间?
(精确到1分).
学生虽然在初一接触过方向角,但应用很少,所以学生在解决这个问题时,可能出现不会画图,无法将实际问题转化为几何问题的情况.因此教师在学生独自尝试之后应加以引导:
(1)确定小岛O点;
(2)画出10时船的位置A;(3)小船在A点向南偏东60°航行,到达O的正东方向位置在哪?
设为B;(4)结合图形引导学生加以分析,可以解决这一问题.
此题的解答过程非常简单,对于程度较好的班级可以口答,以节省时间补充一道有关方向角的应用问题,达到熟练程度.对于程度一般的班级可以不必再补充,只需理解前三例即可.
补充题:
如图6-32,海岛A的周围8海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处
测得海岛A位于北偏东60°,航行12海里到达点C处,又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险?
如果时间允许,教师可组织学生探讨此题,以加深对方向角的运用.同时,学生对这种问题也非常感兴趣,教师可通过此题创设良好的课堂气氛,激发学生的学习兴趣.
若时间不够,此题可作为思考题请学生课后思考.
(三)小结与扩展
教师请学生总结:
在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有
一些专业术语,但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形,用三角函数等知
识解决问题.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
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