三年级奥数基础教程竖式数字谜小学.docx
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三年级奥数基础教程竖式数字谜小学
三年级奥数基础教程竖式数字(shùzì)谜小学
这一讲主要讲加、减法竖式的数字(shùzì)谜问题。
解加、减法数字谜问题的基本功,在于掌握好上一讲中介绍的运算(yùnsuàn)规则
(1)
(2)及其推演(tuīyǎn)的变形规则,另外(lìnɡwài)还要掌握数的加、减的“拆分”。
关键是通过综合观察、分析,找出解题的“突破口”。
题目不同,分析的方法不同,其“突破口”也就不同。
这需要通过不断的“学”和“练”,逐步积累知识和经验,总结提高解题能力。
例1在右边的竖式中,A,B,C,D各代表什么数字?
解:
显然,C=5,D=1(因两个数
字之和只能进一位)。
由于A+4+1即A+5的个位数为3,且必进一位(因为4>3),所以A+5=13,从而A=13-5=8。
同理,由7+B+1=12,即B+8=12,得到B=
12-8=4。
故所求的A=8,B=4,C=5,D=1。
例2求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和:
分析与解:
(1)由于和的个位数字是9,两个加数的个位数字之和不大于9+9=18,所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。
(这是“突破口”)
再由两个加数的个位数之和未进位,因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9+14=23。
(2)由于和的最高两位数是19,而任何两个一位数相加的和都不超过18,因此,两个加数的个位数相加后必进一位。
(这是“突破口”,与
(1)不同)
这样,两个加数的个位数字相加之和是15,十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15+18=33。
注意:
(1)
(2)两题虽然题型相同,但两题的“突破口”不同。
(1)是从和的个位着手分析,
(2)是从和的最高两位着手分析。
例3在下面的竖式中,A,B,C,D,E各代表什么数?
分析与解:
解减法竖式数字谜,与解加法竖式数字谜的分析方法一样,所不同的是“减法”。
首先,从个位减起(因已知差的个位是5)。
4<5,要使差的个位为5,必须退位,于是,由14-D=5知,D=14-5=9。
(这是“突破口”)
再考察十位数字相减:
由B-1-0<9知,也要在百位上退位,于是有10+B-1-0=9,从而B=0。
百位减法中,显然E=9。
千位减法(jiǎnfǎ)中,由10+A-1-3=7知,A=1。
万位减法(jiǎnfǎ)中,由9-1-C=0知,C=8。
所以(suǒyǐ),A=1,B=0,C=8,D=9,E=9。
例4在下面(xiàmian)的竖式中,“车”、“马”、“炮”各代表一个不同(bùtónɡ)的数字。
请把这个文字式写成符合题意的数字式。
分析与解:
例3是从个位着手分析,而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知,“炮”=1。
被减数与减数的百位数相同,其相减又是退位相减,所以,“马”=9。
至此,我们已得到下式:
由上式知,个位上的运算也是退位减法,由11-“车”=9得到“车”=2。
因此,符合题意的数字式为:
例5在右边的竖式中,“巧,填,式,谜”分别代表不同的数字,它们各等于多少?
解:
由(4×谜)的个位数是0知,“谜”=0或5。
当“谜”=0时,(3×式)的个位数是0,推知“式”=0,与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”=5时,个位向十位进2。
由(3×式+2)的个位数是0知,“式”=6,且十位要向百位进2。
由(2×填+2)的个位数是0,且不能向千位进2知,“填”=4。
最后推知,“巧”=1。
所以“巧”=1,“填”=4,“式”=6,“谜”=5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字,使竖式成立:
2.下列各竖式中,□里的数字被遮盖住了,求各竖式中被盖住的各数字的和:
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立:
4.下式中不同的汉字代表1~9中不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
这个竖式的和是多少?
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立:
答案与提示练习3
1.
(1)764+265=1029;
(2)981+959=1940;(3)99+903=1002;(4)98+97+923=1118。
2.
(1)28;
(2)75。
3.
(1)23004-18501=4503;
(2)1056-989=67;(3)24883-16789=8094;(4)9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示:
先解上层数谜,再解下层数谜。
竖式数字(shùzì)谜
(二)
本讲只限于乘数(chénɡshù)、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则(guīzé)(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础(jīchǔ)。
根据题目结构形式,通过(tōngguò)综合观察、分析,找出“突破口”是解题的关键。
例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立。
分析与解:
由于积的个位数是5,所以在乘数和被乘数的个位数中,一个是5,另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍,所以乘数是大于7的奇数,即只能是9(这是问题的“突破口”),被乘数的个位数是5。
因为7×9<70<8×9,所以,被乘数的百位数字只能是7。
至此,求出被乘数是785,乘数是9(见右上式)。
例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字,使竖式成立。
分析与解:
由于乘积的数字不全,特别是不知道乘积的个位数,我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□,被乘数的最高位是3,由
可以确定乘数的大致范围,乘数只可能是6,7,8,9。
到底是哪一个呢?
我们只能逐一进行试算:
(1)若乘数为6,则积的个位填2,并向十位进4,此时,乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。
这样一来,被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
(2)若乘数为7,则积的个位填9,并向十位进4。
与
(1)分析相同,为使积的十位是9,被乘数的十位只能填5,从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
(3)若乘数(chénɡshù)为8,则积的个位填6,并向十位(shíwèi)进5。
为使积的十位是9,被乘数的十位(shíwèi)只能填3或8。
当被乘数的十位(shíwèi)填3时,得到符合(fúhé)题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时,积的最高两位为3,不合题意。
(4)若乘数为9,则积的个位填3,并向十位进6。
为使积的十位是9,被乘数的十位只能填7。
而此时,积的最高两位是3
不合题意。
综上知,符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3在左下边除法竖式的□中填入适当的数,使竖式成立。
分析与解:
由48÷8=6即8×6=48知,商的百位填6,且被除数的千位、百位分别填4,8。
又显然,被除数的十位填1。
由
1□=商的个位×8
知,两位数1□能被8除尽,只有16÷8=2,推知被除数的个位填6,商的个位填2。
填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4在右边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
分析与解:
从已知的几个数入手分析。
首先,由于余数是5,推知除数>5,且被除数个位填5。
由于商4时是除尽了的,所以,被除数的十位应填2,且由于3×4=12,8×4=32,推知,除数必为3或8。
由于已经知道除数>5,故除数=8。
(这是关键!
)
从8×4=32知,被除数的百位应填3,且商的百位应填0。
从除数为8,第一步除法又出现了4,8×8=64,8×3=24,这说明商的千位只能填8或3。
试算知,8和3都可以。
所以,此题有下面两种填法。
练习(liànxí)4
1.在下列(xiàliè)各竖式的□里填上合适(héshì)的数:
2.在右式中,“我”、“爱”、“数”、“学”分别(fēnbié)代表什么数时,乘法(chéngfǎ)竖式成立?
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字,它
们各等于多少时,右边的乘法竖式成立?
4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数,使竖式成立:
5.在下式的□里填上合适的数。
答案与提示 练习4
1.
(1)7865×7=55055;
(2)2379×8=19032或7379×8=59032。
2.“我”=5,“爱”=1,“数”=7,“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8,7,9,1,2。
4.
(1)5607×7=801;
(2)822÷3=274。
5.
竖式数字(shùzì)谜(三)
在上一讲的基础(jīchǔ)上,再讲一些乘数(chénɡshù)、除数是两位数的竖式数字谜问题。
例1在下列(xiàliè)乘法竖式的□中填入合适(héshì)的数字:
分析与解:
(1)为方便叙述,将部分□用字母表示如左下式。
第1步:
由A4B×6的个位数为0知,B=0或5;再由A4B×C=□□5,推知B=5。
第2步:
由A45×6=1□□0知,A只可能为2或3。
但A为3时,345×6=2070,不可能等于1□□0,不合题意,故A=2。
第3步:
由245×C=□□5知,乘数C是小于5的奇数,即C只可能为1或3。
当C取1时,245×16<8□□□,不合题意,所以C不能取1。
故C=3。
至此,可得填法如上页右下式。
从上面的详细解法中可看出:
除了用已知条件按一定次序(即几步)来求解外,在分析中常应用“分枝”(或“分类”)讨论法,如第2步中A分“两枝”2和3,讨论“3”不合适(即排除了“3”),从而得到A=2;第3步中,C分“两枝”1和3,讨论“1”不合适(即排除了“1”),从而得到C=3。
分枝讨论法、排除法是解较难的数字问题的常用方法之一。
下面我们再应用这个方法来解第
(2)题。
(2)为方便叙述,将部分□用字母表示如下式。
第1步:
在AB×9=6□4中,因为积的个位是4,所以B=6。
第2步:
在A6×9=6□4中,因为(yīnwèi)积的首位是6,所以(suǒyǐ)A=7。
第3步:
由积的个位数为8知,D=8。
再由AB×C=76×C=6□8知C=3或8。
当C=3时,
76×3<6□8,
不合(bùhé)题意,所以(suǒyǐ)C=8。
至此(zhìcǐ),A,B,C都确定了,可得上页右式的填法。
例2在左下式的□中填入合适的数字。
分析与解:
将部分□用字母表示如右上式。
第1步:
由积的个位数为0知D=0,进而得到C=5。
第2步:
由A76×5=18□0知,A=3。
第3步:
在376×B5=31□□0中,由积的最高两位数是31知,B≥8,即B是8或9。
由376×85=31960及376×95=35720知,B=8。
至此,我们已经确定了A=3,B=8,C=5。
唯一的填法如下式。
下面两道例题是除数为两位数的除法竖式数字谜。
例3在左下式的□中填入合适的数字。
解:
由□□×2=48知,除数□□=24。
又由竖式的结构知,商的个位为0。
故有右上式的填法。
例4在左下式的□中填入合适的数字。
分析与解:
将部分□用字母表示如右上式。
第1步:
在A6×B=□□8中,积的个位是8,所以(suǒyǐ)B只可能是3或8。
由□□8<11□知,□□8是108或118,因为(yīnwèi)108和118都不是8的倍数,所以(suǒyǐ)B≠8,B=3。
又因为(yīnwèi)只有108是3的倍数,108÷3=36,所以(suǒyǐ)A=3。
第2步:
由A6×C=36×C=□□知,C只能是1或2。
当C=1时,36×31=1116;当C=2时,36×32=1152。
所以,本题有如下两种填法:
练习23
1.在下列各式的□中填入合适的数字:
2.下列各题中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
求出这些数字代表的数。
3.在下列各式的□中填入合适的数字:
4.在下面的竖式中,被除数、除数、商、余数的和是709。
请填上各□中的数字。
答案(dáàn)与提练习(liànxí)23
提示(tíshì):
(1)先确定(quèdìng)乘数是11。
(2)先确定(quèdìng)乘数的十位数是7,再确定被乘数的十位数是1,最后确定乘数的个位是3。
2.
(1)庆=3,祝=9;
(2)学=2,习=5,好=6。
提示:
(2)由右式①②③知,“好”>“习”,故“习”<9。
再由②知“学”=2,“习”=4或5。
若“习”=4,则由“24好×4”知①是三位数,不合题意,所以“习”=5。
再由①②③知“好”=6。
4.提示:
由题意和竖式知,
被除数+除数=709-21-3=685,再由竖式知,被除数=除数×21+3,所以,
除数×21+3+除数=685,
除数×22=685-3=682,
除数=682÷22=31。
被除数为31×21+3=654。
填法如右式。
内容总结
(1)三年级奥数基础教程竖式数字谜小学
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题
(2)(这是“突破口”)
再考察十位数字相减:
由B-1-0<9知,也要在百位上退位,于是有10+B-1-0=9,从而B=0
(3)千位减法中,由10+A-1-3=7知,A=1
(4)当“谜”=0时,(3×式)的个位数是0,推知“式”=0,与“谜”≠“式”矛盾
(5)再由AB×C=76×C=6□8知C=3或8
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