三角函数与解三角形测试题与详解.docx
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三角函数与解三角形测试题与详解
三角函数与三角形
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符号题目要求的。
)
2
-1是()1.(2011宁·夏银川一中检测)y=(sinx+cosx)
A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数
[答案]D
22
[解析]y=(sinx+cosx)-1=2sinxcosx=sin2x,所以函数y=(sinx+cosx)-1是最小正
周期为π的奇函数.
2.(2011宁·夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象
向左平移
π
个单位,再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象
6
解析式为y=sinx,则()
A.ω=2,φ=
π
6
B.ω=2,φ=-
π
3
C.ω=
1π
,φ=
26
1π
D.ω=,φ=
212
[答案]B
[分析]函数y=sin(ωx+φ)经过上述变换得到函数y=sinx,把函数y=sinx的图象经过
上述变换的逆变换即可得到函数y=sin(ωx+φ)的图象.
[解析]把y=sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍得到的函数解析式是y=
sin2x,再把这个函数图象向右平移
π
个单位,得到的函数图象的解析式是y=sin2x-
6
π
=
6
π
sin2x-
,与已知函数比较得ω=2,φ=-
3
π
3.
[点评]本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的
分析解决问题的灵活性,本题也可以根据比较系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过
两次变换后函数y=sin(ωx+φ)被变换成y=sin
ωxωπ
++φ比较系数也可以得到问题的答
26
案.
3.(2011辽·宁沈阳二中阶段检测)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为1,
则它的图像的一个对称中心为()
A.-
π
,0B.
8
π
,0
8
π
C.(0,0)D.-,0
4
[答案]A
[分析]把函数化为一个角的一种三角函数,根据函数的最小正周期求出ω的值,根据
对称中心是函数图象与x轴的交点进行检验或直接令f(x)=0求解.
[解析]f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+
π
,这个函数的最小正周期是
4
2π
,令
ω
2π
=1,
ω
解得ω=2,故函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin2x+
π
,把选项代入检验知点-
4
π
,0为其
8
一个对称中心.
[点评]函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称中心,就是函数图象与x轴的交点.
4.(2011江·西南昌市调研)已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值为4,最小
值为0,最小正周期为
ππ
,直线x=是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是()
23
A.y=4sin4x+
ππ
+2
6B.y=2sin2x+
3
C.y=2sin4x+
ππ
+2D.y=2sin4x++2
36
[答案]D
[解析]由最大值为4,最小值为0得
A+m=4
-A+m=0
,∴
A=2
m=2
,
又因为正周期为
π
,∴
2
2π
=
ω
ππ
,∴ω=4,∴函数为y=2sin(4x+φ)+2,∵直线x=
为其
23
对称轴,∴4×
π
+φ=
3
π5ππ
+kπ,k∈Z,∴φ=kπ-,取k=1知φ=,故选D.
266
π5.(文)(2011北·京朝阳区期末)要得到函数y=sin2x-
的图象,只要将函数y=sin2x
4
的图象()
A.向左平移
π
个单位B.向右平移
4
π
个单位
4
C.向右平移
π
个单位D.向左平移
8
π
个单位
8
[答案]C
π
[解析]y=sin2x-
4
=sin2x-
π
,故只要将y=sin2x的图象向右平移
8
π
个单位即可.因
8
此选C.
(理)(2011东·北育才期末)已知a=(cosx,sinx),b=(sinx,cosx),记f(x)=a·b,要得到函
2x-sin2x的图像,只需将函数y=f(x)的图像()数y=cos
A.向左平移
π
个单位长度B.向右平移
2
π
个单位长度
2
C.向左平移
π
个单位长度D.向右平移
4
π
个单位长度
4
[答案]C
2x-sin2x=cos2x=sin
[解析]f(x)=a·b=cosxsinx+sinxcosx=sin2x,y=cos
π
+2x=
2
π
sin2x+
,可将f(x)的图象向左平移
4
π
个单位长度得到,故选C.
4
6.(文)(2011北·京西城区期末)已知△ABC中,a=1,b=2,B=45°,则角A等于()
A.150°B.90°
C.60°D.30°
[答案]D
[解析]根据正弦定理得
1=2
,∴sinA=1
,
sinAsin45°2
∵a
(理)(2011福·州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题,一位同学不小心把其中
一部分擦去了,现在只能看到:
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a
=2,⋯⋯,解得b=6.根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知..
条.件.()
A.A=30°,B=45°B.c=1,cosC=
1
3
C.B=60°,c=3D.C=75°,A=45°
[答案]D
[分析]可将选项的条件逐个代入验证.
26
[解析]∵,∴A错;
≠
sin30°sin45°
∵cosC=
2+b2-c2
a4+6-1
=≠
2ab
46
1
3
,∴B错;
∵
2+c2-b2
a4+9-6
==
2ac12
7
≠cos60°,
12
∴C错,故选D.
7.(文)(2011黄·冈市期末)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所示,如图
π
,则()A>0,ω>0,|φ|<
2
A.φ=-
π
6
B.φ=-
π
3
π
C.φ=
3
D.φ=
π
6
[答案]D
[解析]由图可知
A+b=4
-A+b=0
,∴
A=2
b=2
,
又
T5π
=-
412
ππ
=
,∴T=π,∴ω=2,
64
∴y=2sin(2x+φ)+2,将
5π
,2代入得sin
12
5π
+φ=0,结合选项知选D.
6
(理)(2011蚌·埠二中质检)函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象
如右图所表示,A、B分别为最高与最低点,并且两点间的距离为22,则该函数的一条对
称轴为()
A.x=
2π
πB.x=
2
C.x=1D.x=2
[答案]C
π
,∴函数为y=-sinωx,又ω>0,[解析]∵函数y=cos(ωx+φ)为奇函数,0<φ<π,∴φ=
2
相邻的最高点与最低点A、B之间距离为22,∴ω=
ππ
,∴y=-sin
x,其对称轴方程为
22
π
x
2
=kπ+
π
,即x=2k+1(k∈Z),令k=0得x=1,故选C.
2
8.(文)(2011安·徽百校联考)已知cos
3π
-φ=3π
,且|φ|<,则tanφ等于()-φ=3π
222
A.-
3
3
B.
3
3
C.3D.-3
[答案]D
[解析]由cos
3π
-φ=
2
3
得,sinφ=-
2
3
,
2
π
1
又|φ|<,∴cosφ=,∴tanφ=-3.
22
(理)(2011山·东日照调研)已知cosα=-
4
5
且α∈
π
,π,则tanα+
2
π
等于()
4
A.-
1
7
B.-7
1
C.
7D.7
[答案]C
[解析]∵cosα=-
4π
,≤α≤π,
52
∴sinα=
3
5
,∴tanα=-
3
4
,
∴tanα+
π
=
4
π
3
tanα+tan-
+1
44
==
π3
1-tanα·tan
1--×1
44
1
7
,故选C.
9.(2011巢·湖质检)如图是函数y=sin(ωx+φ)的图象的一部分,A,B是图象上的一个
→→
最高点和一个最低点,O为坐标原点,则OA的值为()·OB
A.
11
2+1
πB.π
29
12-1D.1
2-1C.
ππ
93
[答案]C
[解析]由图知
T5ππ
=-=
4126
π
,∴T=π,
4
∴ω=2,∴y=sin(2x+φ),
将点-
π
,0的坐标代入得sin-
12
π
+φ=0,
6
π
∴φ=,
6
∴A
π
,1,B
6
2π
→→
,-1,∴OA
·OB
=
3
2
π
-1,故选C.
9
π
10.(2011潍·坊一中期末)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,
3
π
]上的最大值是2,
4
则ω的最小值等于()
A.
2
3
3
2
B.
C.2D.3
[答案]C
[解析]由条件知f
π
4
π
=2sinω=2,∴ω=8k+2,∵ω>0,∴ω最小值为2.
4
11.(文)(2011烟·台调研)已知tanα=2,则
2
2sinα+1
=()
sin2α
A.
5
3
B.-
13
4
1313
C.5D.4
[答案]D
[解析]∵tanα=2,∴
2
2sinα+1
=
sin2α
22
3sinα+cosα
=
2sinαcosα
2
3tanα+113
=
4.
2tanα
tan10+°tan50+°tan120°
的值应是()(理)(2011四·川广元诊断)
tan10·°tan50°
A.-1B.1
C.-3D.3
[答案]C
[解析]
原式=
tan10°+50°1-tan10t°an50°-tan60°
tan10t°an50°
=
3-3tan10t°an50-°3
tan10t°an50°
=-3.
12.(2011温·州八校期末)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,设命
a
题p:
=
sinB
b
=
sinC
c
,命题q:
△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的()
sinA
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案]C
a
[解析]∵
=
sinB
b
=
sinC
c
,
sinA
∴由正弦定理得
sinAsinBsinC
==,
sinBsinCsinA
∴sinA=sinB=sinC,即a=b=c,∴p?
q,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.(文)(2011山·东日照调研)在△ABC中,若a=b=1,c=3,则∠C=________.
[答案]
2π
3
2+b2-c2
a
[解析]cosC=
=
2ab
1+1-3
=-
2
12π
,∴C=
2
3.
π
,BC=3,AB=6,则∠C=________.(理)(2011四·川资阳模拟)在△ABC中,∠A=
3
[答案]
π
4
[解析]由正弦定理得
3
=
π
sin
3
6
,∴sinC=
sinC
2π
,∵AB . 24 14.(2011山·东潍坊一中期末)若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为________. [答案] 1 7 [解析]tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] = tanβ-α-tanα=1 3-2 = . 1+tanβ-α·tanα1+3×27 15.(2011安·徽百校论坛联考)已知f(x)=2sin2x- ππ -m在x∈[0, ]上有两个不同的零 62 点,则m的取值范围是________. [答案][-1,2] [解析]f(x)在[0, ππ ]上有两个不同零点,即方程f(x)=0在[0,]上有两个不同实数解, 22 ππ ∴y=2sin2x-,x∈[0, 2]与y=m有两个不同交点,6 ∵0≤x≤ π ,∴- 2 ππ ≤2x-≤ 66 5π , 6 ∴- 1 2 π ≤sin(2x- 6)≤1,∴-1≤y≤2,∴-1≤m≤2. 2 16.(2011四·川广元诊断)对于函数f(x)=2cosx+2sinxcosx-1(x∈R)给出下列命题: ① π 5π f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间[]上是减函数;③直线x= , 28 π 是f(x)的图像的一条对 8 π 称轴;④f(x)的图像可以由函数y=2sin2x的图像向左平移 而得到.其中正确命题的序号 4 是________(把你认为正确的都填上). [答案]②③ π ,最小正周期T=π;由2kπ+ [解析]f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+ 4 ππ ≤2x+≤2kπ 24 3π + 2(k∈Z)得kπ+ ππ 5π ≤x≤kπ+,故f(x)在区间[ , 882 5π πππ 时,2x+ =, 8]上是减函数;当x= 842 ∴x= ππ 是f(x)的图象的一条对轴称;y=2sin2x的图象向左平移 84 个单位得到的图象对应函 数为y=2sin2x+ π ,即y=2sin2x+ 4 π ,因此只有②③正确. 2 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) π 17.(本小题满分12分)(2011烟·台调研)向量m=(a+1,sinx),n=(1,4cos(x+)),设函 6 数g(x)=m·n(a∈R,且a为常数). (1)若a为任意实数,求g(x)的最小正周期; (2)若g(x)在[0, π )上的最大值与最小值之和为7,求a的值. 3 π [解析]g(x)=m·n=a+1+4sinxcos(x+ 6) 2x+a+1=3sin2x-2sin =3sin2x+cos2x+a =2sin(2x+ π 6)+a π (1)g(x)=2sin(2x+)+a,T=π. 6 π (2)∵0≤x<,∴ 3 π5π π ≤2x+ 66 6< 当2x+ π = 6 ππ ,即x=时,ymax=2+a. 26 当2x+ π = 6 π ,即x=0时,ymin=1+a, 6 故a+1+2+a=7,即a=2. 18.(本小题满分12分)(2011四·川资阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 在x= π 取得最大值2,方程f(x)=0的两个根为x1、x2,且|x1-x2|的最小值为π. 6 (1)求f(x); (2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的 1 2 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x) ππ, 的图象,求函数g(x)在[- 4 4]上的值域. [解析] (1)由题意A=2,函数f(x)最小正周期为2π,即 2π =2π,∴ω=1. ω 从而f(x)=2sin(x+φ),∵f π =2, 6 ∴sin π ππ +φ=1,则+2kπ,即φ= +φ= 662 π +2kπ, 3 ∵0<φ<π,∴φ= π .故f(x)=2sinx+ 3 π . 3 (2)可知g(x)=2sin2x+ π , 3 πππ 当x∈[-∈[- , ]时,2x+ 443 π , 6 5π ],则 6 sin2x+ π 1 ∈[-,1], 32 故函数g(x)的值域是[-1,2]. 19.(本小题满分12分)(2011山·西太原调研)在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、 2A+B 7 -cos2C=c,已知a+b=5,c=7,且4sin 2.2 (1)求角C的大小; (2)求△ABC的面积. 2A+B -cos2C= [解析] (1)∵A+B+C=180,°4sin 2 72C .∴4cos -cos2C= 22 7 2 , 1+cosC 2 ∴4·-(2cos C-1)= 2 7 2 , 2C-4cosC+1=0,解得cosC= ∴4cos 1 2 , ∵0° 2=a2+b2-2abcosC, (2)∵c ∴7=(a+b) 2-3ab,解得ab=6. 1 ∴S △ABC= 2absinC= 1 2 ×6× 3 = 2 33 2. π20.(本小题满分12分)(2011辽·宁大连联考)已
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