简单几何作图.docx
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简单几何作图
简单几何作图
碧桃浓华
2011年4月16日
简单几何作图
给出一些已知条件,求作合乎要求的已知条件的图形,叫做几何作图。
几何作图的基本要求是使用没有刻度的直尺和圆规,现在普遍使用电脑软件作图,其基本要求没变,也只能用软件中的点工具、直线工具、圆工具等,但对于最基本的,如求给定直线的平行线、垂直线等,可直接工具软件功能画出。
作图的基本步骤是已知、求作、分析、作法、证明、讨论,对于简单的初级作图题,可以省略一些步骤,不必过于拘泥。
笔者近来学习几何画板软件,寻找了一些初级平面几何作图题作为练习,兴趣所至,顺便整理了一下,写出详细的作法,或许供初中生作图爱好者参考。
有作图高手,请勿哂笑。
【作图1】过三点作圆。
【已知】已知三点A、B、C。
【求作】作一圆,圆周经过A、B、C三点。
【作法】
1)分别作AB、BC的垂直平分线交于一点O。
2)以O为圆心、OA为半径作圆即为所求。
【原理】与已知两点等距的点的轨迹,为连接该两点的线段的垂直平分线。
【作图2】求一点与三线等远。
【已知】已知三线l、m、n。
【求作】作一点,与l、m、n等距离。
【作法】
1)作直线l、m所形成的∠ABC的角平分线和直线m、n所形成的∠BCA的角平分线,两线交于O点。
O点与三线等距,即为所求。
2)过O点以OD为半径作圆,即为△ABC的内切圆。
【原理】与已知两直线等远的点的轨迹,为两条互相垂直的直线,各平分已知直线所相交所形成的角。
【作图3】以三线段为边长作三角形。
【已知】已知三线段M1N1、M2N2、M3N3。
【求作】求作以该三线段长度为边长的△ABC。
【作法】
1)在直线m上截取AB使长度等于M1N1长度。
2)分别以B、A点为圆心,M2N2、M3N3长度为半径作圆交于C点。
3)连接AB、BC、CA所成△ABC即为所求。
【原理】圆上任一点与圆心等距。
【作图4】作过两定点已知半径的圆。
【已知】已知两点A、B,圆半径r。
【求作】作一半径为r的圆,圆周经过A、B两点。
【作法】
1)连接A、B成线段并作AB的垂直平分线。
2)以B点为圆心r长为半径作圆交垂直平分线于O点。
3)以O点为圆心OB长为半径作圆必经过A、B点。
【原理】AO=BO=r
【作图5】作过一定点及与一直线相切的已知半径的圆。
【已知】已知点A,定直线k,圆半径r。
【求作】作一半径为r的圆,圆周经过A点且与直线k相切。
【作法】
1)作直线k的平行线l与k相距r长。
2)以点A为圆心r长作圆交直线l于点O。
3)以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。
【原理】AO=BO=r
【作图6】作过与两直线相切的已知半径的圆。
【已知】已知定直线j、k,圆半径r。
【求作】作一半径为r的圆,与直线j、k相切。
【作法】
1)以r长为距离分别作直线j、k的平行线n、m相交于点O。
2)以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。
【作图7】作过与两圆相切的已知半径的圆。
【已知】已知两圆⊙A、⊙B,半径r。
【求作】作一半径为r的圆,与⊙A、⊙B相切。
【作法】
1)分别以A为圆心(⊙A半径+r)长为半径、以B为圆心(⊙B半径+r)长为半径作圆,两圆相交于O点。
2)以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。
【原理】半径一定的与已知圆相切的众圆,圆心轨迹为与已知圆的同心圆。
【作图8】过圆外一点作圆的切线。
【已知】已知圆⊙A和圆外一点P。
【求作】作一条与⊙A相切的直线。
【作法】
1)连接圆心A点和圆外一点P。
2)以AP的中点作圆交⊙A于点B。
3)连接P、B点所成直线PB必与⊙A相切。
【原理】因CA=CB,CP=CB,所以∠CAB=∠CBA,∠CPB=∠CBP;所以∠ABP=∠CAB+∠CPB;而∠ABP+∠CAB+∠CPB=180°,所以∠ABP=90°,即AB⊥PB。
【作图9】作两圆的公切线。
【已知】已知⊙A和⊙B。
【求作】作一条⊙A、⊙B相切的直线。
【作法】
1)以两圆半径之差为半径作⊙B的同心圆⊙C。
2)作过A点的⊙C切线AC。
3)分别作过A、C作AC的垂直线交⊙A、⊙B于点D、E。
4)连接D、E所成直线DE即为两圆的一条切线。
【原理】因AD=CE,AD∥CE,AD⊥AC,CE⊥AC,所以DE⊥AD,DE⊥CE。
【作图10】作一圆与两平行线相切。
【已知】已知点A和直线k、m。
【求作】作与两线相切的且经过A的圆。
【作法】
1)以点A为圆心,两线距离一般为半径作圆。
2)作与两线距离相等的平行线交圆于点O。
3)以点O为圆心,两线距离一半为半径作圆,即为所求。
【讨论】当两圆外离、外切、相交时有两解,两圆内切时有一解,圆内含时无解。
【作图11】知顶角、底边、高作三角形。
【已知】已知∠A,∠A的对边长度a及高ha。
【求作】符合条件的三角形。
【作法】
1)延长∠A的两边l、m,在l的适当位置寻找一点B。
2)以B为圆心a长为半径在m上截取C点。
3)过A、B、C三点作圆。
4)以ha距离作BC平行线n,交圆于D点。
5)连接B、C、D所成△BCD即为所求。
【原理】A、B、C、D四点共圆,∠D、∠A共同一弦,所以∠D=∠A。
【作图12】知顶角、底边、中线作三角形。
【已知】已知∠A,∠A的对边长度a及过顶角中线hm。
【求作】符合条件的三角形。
【作法】
1)延长∠A的两边,在一边的适当位置确定一点B。
2)以B为圆心a长为半径在另一边上截取C点。
3)过A、B、C三点作圆。
4)以BC中点P为圆心hm长为半径作圆,交前圆于D点。
5)连接B、C、D所成△BCD即为所求。
【原理】A、B、C、D四点共圆,∠D、∠A共同一弦,所以∠D=∠A。
【作图13】作三角形内接正方形。
【已知】已知△ABC。
【求作】在△ABC内作一内接的最大正方形,要求一边与三角形底边重合。
【作法】
1)过AC边上适当位置E点作AB的平行线,以及垂线交AB于D点。
2)以E为圆心ED长为半径在平行线上截取到F点。
3)作过A、E点的直线交BC于G点。
4)过G点作AB的平行线和垂线分别交AC于J点,交AB于H点。
5)过J点作AB垂线交AB于I点,连接G、J、I、H所成正方形即为所求。
【作图14】作36°角。
【作法】
1)作适当长度线段AB。
2)过B点作AB的垂直线。
3)以AB中点D为圆心AD长为半径作圆,交刚作的垂直线于C点,连接AC。
4)以C点为圆心CB长为半径作圆,交AC于A’点。
5)分别以A、A’点为圆心AB长为半径作圆相交于P点。
6)连接PA、PA’所成∠APA’是为36°。
【原理】
若AB=2,则BC=1,AC=√5,AA’=√5–1。
以√5–1为底边、2为两腰所成等腰三角形的顶角必为36°。
【作图15】作直线与定角交成等腰三角形
【已知】定角∠A,定角内一点P。
【求作】过P点作直线与∠A相交围成等腰三角形△ABC。
【作法】
1)以A点为圆心适当半径作圆交∠A两边于E、F点。
2)连接EF并经过P点作EF的平行线,交∠A于B、C点,所成△ABC即为所求。
【作图16】作三平行线上等边三角形
【已知】三条平行线l、m、n,l上一点A。
【求作】m上点B和n上点C,使△ABC成等边三角形。
【作法】
1)过A点作l的垂直线交n于E点。
2)以AE长作等边三角形AED。
3)过D点作AD的垂直线交m于B点。
4)以B点为圆心AB长为半径作圆交n于C点。
5)连接A、B、C所成△ABC为等边三角形。
【原理】△ADB≌△AEC。
【作图17】作半圆内接矩形。
【已知】矩形对角线长a和定半圆⊙A。
【求作】半圆的内接矩形。
【作法】
1、以半圆圆心O点为圆心作半径为a的⊙A。
2、在原半圆上适当位置取一点P,过P点作OP垂线交⊙A于R点。
3、以P点为圆心适当距离PN为半径作圆交OP所在直线于N、Q。
4、以N点为圆心NQ为半径作圆交PR所在直线于S,连接SN。
5、过R点作SN平行线交OP所在直线于L点。
6、以O点为圆心LP为半径作圆交半圆直径于U、T两点。
7、分别过U、T点作UT垂线交半圆于K、V两点。
8、连接U、K、V、T所成矩形UKVT即为所求。
为作图清晰起见,最后所成矩形作于以半圆直径对称的另半圆上。
【作图18】过两点作圆与已知直线相切。
【已知】直线和两点A、B。
【求作】过A、B点的圆并与直线相切。
完成后如效果图。
本题作法作为练习,留给读者思考。
作出者可与本人联系,电子邮件onlypoem@。
★碧桃浓华☆2011年4月16日★
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