北京丰台区高三一模数学试题及答案.docx
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北京丰台区高三一模数学试题及答案
2021北京丰台高三一模数学
2021.03
本试卷满分共150分考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={x|-2 (A){x|-2 (B){x|0 (C){x|1 (2)在复平面内,复数z=3-4i,则z对应的点位于 (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限 (3)已知双曲线 x2 a2y =1(a>0)的离心率是 2 ,则a= (A)(B)2 (C) 2 (D) 4 (4)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,且sinα=2.把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度, 3 这时终边对应的角是β,则sinβ= (A)-2 3 (B)2 3 (C)-5 3 (D) 5 3 (5)若直线y=kx+1是圆x2+y2-2x=0的一条对称轴,则k的值为 (A)-1 2 (B)-1 (C)1(D)2 (6) 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥中最长的棱长为 (A)2 (B) 2 (C) 2 (D)4 (7)P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则p= (A)2(B)4 (C)4或9(D)2或18 (8)大气压强p= 压力受力面积 ,它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2),大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的 变化规律是p=pe-kh(k=0.000126m-1),p是海平面大气压强.已知在某高山A,A两处测得的大气压强分 0012 别为p,p,p1=1,那么A,A两处的海拔高度的差约为(参考数据: ln2≈0.693) 1212 2 (A)550m(B)1818m (C)5500m(D)8732m (9)已知非零向量a,b,c共面,那么“存在实数λ,使得a=λc成立”是“(ab)c=a(bc)”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 ⎧|x+m|,x≤m, (10) ⎩ 已知函数f(x)=⎨x2,x>m, 若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m的 取值范围是 (A)(0,2)(B)(-∞,-2)(0,2) (C)(-2,0) (D)(-2,0)(2,+∞) 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 (11) 函数f(x)=ln(2x)+ 的定义域为. (12)在(x+2)6的展开式中,常数项为 x .(用数字作答) (13)在△ABC中,a= 3,b=22,B=2A,则cosA=. (14)设等比数列{an}满足a1+a2=48,a4+a5=6,则log2(a1a2a3an)的最大值为. (15)如图,从长、宽、高分别为a,b,c的长方体AEBF-GCHD中截去部分几何体后,所得几何体为三棱锥 A-BCD.下列四个结论中,所有正确结论的序号是. ①三棱锥A-BCD的体积为1abc; 3 ②三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形; ③三棱锥A-BCD中,二面角A-CD-B不会是直二面角; ④三棱锥A-BCD中,三条侧棱与底面所成的角分别记为α,β,γ,则sin2α+sin2β+sin2γ≤2. 三、解答题共6小题,共85分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0). π (Ⅰ)当ω=1时,求f()的值; 6 (Ⅱ)当函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π 2 时,. 从①②③中任选一个,补充到上面空格处并作答. π ①求f(x)在区间[0,]上的最小值; 2 ②求f(x)的单调递增区间; ③若f(x)≥0,求x的取值范围. 注: 如果选择多个问题分别解答,按第一个解答计分. (17)(本小题14分) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=π,M是棱PB上的点,O是AD中点,且PO⊥ 3 底面ABCD,OP= 3OA. (Ⅰ)求证: BC⊥OM; (Ⅱ)若PM=3PB,求二面角B-OM-C的余弦值. 5 (18)(本小题14分) 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长(单位: 分钟)如下图所示. (Ⅰ)从2011年至2020年中任选一年,求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率; (Ⅱ)从2011年至2020年中任选两年,设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数,求X的分布列和数学期望E(X); 123 (Ⅲ)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为s2,s2,s2,试比较 123 s2,s2,s2的大小.(只需写出结论) (19)(本小题15分) 已知椭圆C: x a2 y2 +=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为. b22 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)P为椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点,连接NA并延长交椭圆C于点Q. (ⅰ)求证: 直线AP,AN的斜率之积为定值; (ⅱ)判断M,B,Q三点是否共线,并说明理由. (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=x3-3x2+b(b∈R). (Ⅰ)当b=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)存在三个零点,分别记为x1,x2,x3(x1 (ⅰ)求b的取值范围; (ⅱ)证明: x1+x2>0. (21)(本小题14分) 已知数列A: a,a,,a(n∈N*),现将数列A的项分成个数相同的两组,第一组为B: b,b,,b ,满足 n 122n12n bi≥bi+1(i=1,2,L,n-1);第二组为C: c1,c2,,cn,满足ci≤ci+1(i=1,2,L,n-1),记M=∑bi-ci. i=1 (Ⅰ)若数列A: 1,2,4,8,写出数列A的一种分组结果,并求出此时M的值; (Ⅱ)若数列A: 1,2,3,,2n,证明: max{bi,ci}≥n+1(i=1,2,L n);(其中max{bi,ci}表示b,c中较大的数) ii (Ⅲ)证明: M的值与数列A的分组方式无关. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 2021北京丰台高三一模数学参考答案 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B C D C C B 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分) 11.(0,1]12.16013.6 3 14.1515.①②④ 三、解答题(共6小题,共85分) (16)(本小题13分) πππ1 解: (Ⅰ)当ω=1时,f()=sin+cos=+3⨯=2. (Ⅱ)f(x)=sinωx+ 66622 3cosωx=2sin(ωx+π). 3 因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π, 2 所以T=π=2π(ω>0),解得ω=2. |ω| 所以f(x)=2sin(2x+π). 3 选①: 因为0≤x≤π,所以π≤2x+π≤4π. 2333 当2x+π=4π,即x=π时, 332 f(x)π 在区间[0,2]上有最小值为-. 选②: 令2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z, 232 解得kπ-5π≤x≤kπ+π,k∈Z, 1212 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π],k∈Z. 1212 选③: 因为f(x)≥0,所以sin(2x+π)≥0. 3 所以2kπ≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z. 3 解得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z. 63 (17)(本小题14分) (Ⅰ)证明: 在菱形ABCD中,∠BAD=π,∆ABD为等边三角形. 3 因为O为AD的中点,所以OB⊥AD. 因为AD//BC,所以OB⊥BC. 因为PO⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以OP⊥BC. 因为OPOB=O,OP,OB⊂平面POB,所以BC⊥平面POB. 因为M是棱PB上的点,所以OM⊂平面POB.所以BC⊥OM. (Ⅱ)解: 因为PO⊥底面ABCD,OB⊥AD, 建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,设OA=1,则OP=OB=. 因为O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,3), 所以OC=(-2,3,0). 由PM=3PB, 5 得OM=OP+ 3 PB=(0,,). 555 设m=(x,y,z)是平面OMC的法向量, ⎧ ⎪OM⋅m=0 ⎧⎪3y+2z=0, 由⎨⋅m=0,得⎨2x-3y=0, ⎪⎩OC⎪⎩ 令y=2,则x=3,z=-3,则m=(3,2,-3). 又因为平面POB的法向量为n=(1,0,0), 所以cos 4 由题知,二面角B-OM-C为锐二面角, 所以二面角B-OM-C的余弦值为3. 4 (18)(本小题14分) 解: (Ⅰ)从2011年至2020年中任选一年,动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年,2015年, 2017年,2018年,2019年和2020年,共6年. 记从2011年至2020年中任选一年,此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A, 则P(A)=6=3. 105 (Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2. C2 P(X=0)=4 10 =2; 15 C1C18 P(X=1)=46=; 2 10 C251 P(X=2)=6==. C 10 2153 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 15 8 15 1 3 数学期望E(X)=0⨯2+1⨯8+2⨯1=6. 151535 123 (Ⅲ)s2>s2=s2. (19)(本小题15分) 解: (Ⅰ)由题意a=2,e=c= a 3,所以c= 2 3,b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 x2+2 4 =1. (Ⅱ)(ⅰ)证明: 设P(x0,y0), x2 因为P在椭圆C上,所以0+y2=1. 40 y0y0 因为直线AP的斜率为x0+2,直线BP的斜率为x0-2, y= 所以直线BP的方程为 y0x0-2 (x-2) . 所以N点的坐标为 N(-6,-8y0) x0-2 -8y0 x0-2= . 2y0 所以直线AN的斜率为-6+2 所以直线AP,AN的斜率之积为 x0-2. y2y 2y2 2 x 2(1-0)1 0⋅0=0=4=- x+2x-2x2-4x2-42 0000. (ⅱ)M,B,Q三点共线. 设直线AP斜率为k,易得M(-6,-4k). - 由(ⅰ)可知直线AN斜率为 ⎧x2+4y2-4=0, 1 2k,所以直线AN的方程为 y=- 1(x+2)2k. ⎨x=-2ky-2, (4+4k2)y2+8ky=0 联立⎩可得 -2k . 2k2-2 -2k 解得Q点的纵坐标为1+k2,所以Q点的坐标为Q(1+k2 1+k2). 所以,直线BQ的斜率为 -2k-0 1+k2 =k,直线BM的斜率为 -4k-0=k. 2k2-22 1+k22 -6-22 因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率,所以M,B,Q三点共线. (20)(本小题15分) 解: (Ⅰ)当b=1时,f(x)=x3-3x2+1,得f'(x)=3x2-6x,因为f (1)=-1,f' (1)=-3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1),即3x+y-2=0.…4分 (Ⅱ)因为f'(x)=3x2-6x, 所以令f'(x)=0,得x=0,x=2. f'(x),f(x)随x的变化如下: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极大值为f(0)=b,极小值为f (2)=b-4. (ⅰ)若函数f(x)存在三个零点,分别记为x1,x2,x3(x1 ⎧f(0)>0 ⎩ 则⎨f (2)<0,所以0 当00, 此时f(-1)⋅f(0)<0,f(0)⋅f (2)<0,f (2)⋅f(3)<0,故f(x)存在三个零点,所以若函数f(x)存在三个零点,b的取值范围是0 (ⅱ)证明: 因为x1,x2,x3(x1 222 因为f(x)=x3-3x2+b=0, 22222 所以f(-x)=(-x)3-3(-x)2+b=-x3-3x2+b 2222 =-2x3+(x3-3x2+b)=-2x3<0. 因为f(x1)=0,所以f(-x2) 又因为x1,-x2∈(-∞,0),且f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,所以-x2 (21)(本小题14分) 解: (Ⅰ)可将数列A分成: B: 8,4;C: 1,2.此时M=8-1+4-2=9. (Ⅱ)因为bi≥bi+1,ci≤ci+1(i=1,2,L n-1), 所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L ≥bn (i=1,2,L n), max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L ≥c1. 所以max{bi,ci}≥max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L 因为bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L,c1共n+1项, ,c1}. 所以max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L 所以max{bi,ci}≥n+1. ,c1}≥n+1. (Ⅲ)不妨将数列A: a,a,L,a(n∈N*)重新排序得到 122n 数列A': a',a',L,a'(n∈N*),满足a'≤a '(i=1,2,L,2n-1). 122nii+1 因为bi≥bi+1,ci≤ci+1(i=1,2,L,n-1), 所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L ≥bn (i=1,2,L n), max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L ≥c1. 所以max{bi,ci}≥max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L 因为bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L,c1共n+1项, ,c1}. 所以max{b,c}恰为a',a',L,a '(n∈N*)中某一项. iin+1n+22n 同理min{b,c}恰为a',a',L,a'(n∈N*)中某一项(其中min{b,c}表示b,c中较小的数). ii12niiii 因为bi-ci =max{bi,ci}-min{bi,ci}, n 所以M=∑bi-ci i=1 =(an+1'+an+2'+L+a2n')-(a1'+a2'+L+an'). 所以M的值与数列A的分组方式无关. (若用其他方法解题,请酌情给分)
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