江苏省南京市学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案.docx
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江苏省南京市学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案
江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试
高二数学理试题
注意事项:
1.本试卷共3页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.
参考公式:
圆锥的体积公式:
V=πr2h,侧面积公式:
S=πrl,其中r,h和l分别为圆锥的底面半径,高和母线长.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.命题“若ab=0,则b=0”的逆否命题是▲.
2.已知复数z满足z(1+i)=i,其中i是虚数单位,则|z|为▲.
3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x的焦点坐标是▲.
4.“x2-3x+2<0”是“-1<x<2”成立的▲条件(在“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中选一个填写).
5.已知实数x,y满足条件则z=3x+y的最大值是▲.
6.函数f(x)=xex的单调减区间是▲.
7.如图,直线l经过点(0,1),且与曲线y=f(x)相切
于点(a,3).若f′(a)=,则实数a的值是▲.
8.在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-a)2+(y-a)2=2与圆x2+(y-6)2=8相外切,则实数a的值为▲.
9.如图,在三棱锥P—ABC中,M是侧棱PC的中点,且=x+y+z,
则x+y+z的值为▲.
10.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-y2=1的渐近线与
抛物线x2=4y的准线相交于A,B两点,则三角形OAB
的面积为▲.
11.在平面直角坐标系xOy中,若点A到原点的距离为2,到直线x+y-2=0的距离为1,则满足条件的点A的个数为▲.
12.若函数f(x)=x3-3x2+mx在区间(0,3)内有极值,则实数m的取值范围是▲.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C.
若=2,则该椭圆的离心率为▲.
14.已知函数f(x)=x|x2-3|.若存在实数m,m∈(0,],使得当x∈[0,m]时,f(x)的取值范围是[0,am],则实数a的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
已知复数z=,(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)设是z的共轭复数,复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.
16.(本题满分14分)
如图,在正方体ABCD–A1B1C1D1中,点E,F,G分别是棱BC,A1B1,B1C1的中点.
(1)求异面直线EF与DG所成角的余弦值;
(2)设二面角A—BD—G的大小为θ,
求|cosθ|的值.
17.(本题满分14分)
如图,圆锥OO1的体积为π.设它的底面半径为x,侧面积为S.
(1)试写出S关于x的函数关系式;
(2)当圆锥底面半径x为多少时,圆锥的侧面积最小?
18.(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(1,3),B(4,2),且圆心在
直线l:
x-y-1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设P是圆D:
x2+y2+8x-2y+16=0上任意一点,过点P作圆C的两条切线PM,PN,M,N为切点,试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标.
19.(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的一条准线方程为x=,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,设A为椭圆的上顶点,过点A作两条直线AM,AN,分别与椭圆C相交于M,N两点,且直线MN垂直于x轴.
①设直线AM,AN的斜率分别是k1,k2,求k1k2的值;
②过M作直线l1⊥AM,过N作直线l2⊥AN,l1与l2相交于点Q.试问:
点Q是否在一条定直线上?
若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.
20.(本题满分16分)
设函数f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,
①求a的取值范围;
②求证:
f′(x1)+f′(x2)<0.
江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试
高二数学理试题参考答案
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.“若b≠0,则ab≠0”2.3.(1,0)4.充分不必要
5.76.(-∞,-1)或(-∞,-1]7.38.3
9.010.311.312.(-9,3)
13.14.[1,3)
二、解答题(本大题共6小题,共90分)
15.(本题满分14分)
解
(1)z==
=1-2m+(2m+1)i.……………………3分
因为z是纯虚数,所以1-2m=0且2m+1≠0,
解得m=.……………………6分
(2)因为是z的共轭复数,所以=1-2m-(2m+1)i.……………………8分
所以+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]
=3-6m+(2m+1)i.……………………10分
因为复数+2z在复平面上对应的点在第一象限,
所以……………………12分
解得-<m<,即实数m的取值范围为(-,).……………………14分
16.(本题满分14分)
解如图,以{,,}为正交基底建立坐标系D—xyz.
设正方体的边长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),
B(2,2,0),E(1,2,0),F(2,1,2),G(1,2,2).
(1)因为=(2,1,2)-(1,2,0)=(1,-1,2),
=(1,2,2),……………………2分
所以·=1×1+(-1)×2+2×2=3,
||==,||=3.
……………………4分
从而cos<,>===,
即向量与的夹角的余弦为,
从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为.……………………7分
(2)=(2,2,0),=(1,2,2).
设平面DBG的一个法向量为n1=(x,y,z).
由题意,得
取x=2,可得y=-2,z=1.
所以n1=(2,-2,1).……………………11分
又平面ABD的一个法向量n2==(0,0,2),
所以cos<n1,n2>===.
因此|cosθ|=.……………………14分
17.(本题满分14分)
解
(1)设圆锥OO1的高为h,母线长为l.
因为圆锥的体积为π,即πx2h=π,所以h=.……………………2分
因此l==,
从而S=πxl=πx=π,(x>0).……………………6分
(2)令f(x)=x4+,则f′(x)=4x3-,(x>0).……………………8分
由f′(x)=0,解得x=.……………………10分
当0<x<时,f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,)上单调递减;
当x>时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(,+∞)上单调递增.
……………………12分
所以当x=时,f(x)取得极小值也是最小值.
答:
当圆锥底面半径为时,圆锥的侧面积最小.………………………14分
18.(本题满分16分)
解
(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其圆心为(-,-).
因为圆C经过点A(1,3),B(4,2),且圆心在直线l:
x-y-1=0上,
所以……………………4分
解得
所求圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0.……………………7分
(2)由
(1)知,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
依题意,S=2S△PMC=PM×MC=×.
所以当PC最小时,S最小.……………………10分
因为圆M:
x2+y2+8x-2y+16=0,所以M(-4,1),半径为1.
因为C(2,1),所以两个圆的圆心距MC=6.
因为点P∈M,且圆M的半径为1,
所以PCmin=6-1=5.
所以Smin=×=10.……………………14分
此时直线MC:
y=1,从而P(-3,1).……………………16分
19.(本题满分16分)
解
(1)设椭圆C:
+=1的半焦距为c.
由题意,得解得从而b=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.……………………4分
(2)①根据椭圆的性质,M,N两点关于x轴对称,
故可设M(x0,y0),N(x0,-y0)(x0≠0,y0≠0),
从而k1k2=·=.……………………7分
因为点M在椭圆C上,所以+y02=1,所以1-y02=,
所以k1k2==.……………………10分
②设Q(x1,y1),依题意A(0,1).
因为l1⊥AM,所以·=-1,即(y0-1)(y1-y0)=-x0(x1-x0);
因为l2⊥AN,所以·=-1,即(-y0-1)(y1+y0)=-x0(x1-x0),
故(y0-1)(y1-y0)-(-y0-1)(y1+y0)=0,
化得(y1+1)y0=0.……………………14分
从而必有y1+1=0,即y1=-1.
即点Q在一条定直线y=-1上.……………………16分
20.(本题满分16分)
解
(1)当a=0时,f(x)=-1-lnx,f′(x)=-.
设切点为T(x0,-1-lnx0),
则切线方程为:
y+1+lnx0=-(x-x0).……………………2分
因为切线过点(0,-1),所以-1+1+lnx0=-(0-x0),解得x0=e.
所以所求切线方程为y=-x-1.……………………4分
(2)①f′(x)=ax-=,x>0.
(i)若a≤0,则f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
从而函数f(x)在(0,+∞)上至多有1个零点,不合题意.……………………5分
(ii)若a>0,由f′(x)=0,解得x=.
当0<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)min=f()=-ln-1=--ln.
要使函数f(x)有两个零点,首先--ln<0,解得0<a<e.……………7分
当0<a<e时,>>.
因为f()=>0,故f()·f()<0.
又函数f(x)在(0,)上单调递减,且其图像在(0,)上不间断,
所以函数f(x)在区间(0,)内恰有1个零点.……………………9分
考察函数g(x)=x-1-lnx,则g′(x)=1-=.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)在(0,1)上
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