山东省青岛市届高三统一质量检测一模数学试题含答案.docx
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山东省青岛市届高三统一质量检测一模数学试题含答案
保密★启用前
2020年高三模拟考试
数学试题
2020.4小试卷共6页,22题。
全花满分150分.考试用时120分钥L
注意事项:
1.答卷前•琴生务必将自己的姓名、号生号等填写在答密K和试卷指定位置卜••并将准写证号条形码粘贴在答题I:
上的指定位置.
2.回答选择题时.选出每小题答案后•用铅笔把答题R上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动•用橡皮擦净斤•再选涂其他答案标号。
回答非选择题时.将答案写作答题卡上。
写住本试卷卜无效一
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共10分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位•圮利z=lj则z的共铜分数5的正部为
A.—iB.1C.iI).—1
2,已知集合A={z£Rllog.yV2}•集合8=kr£R|。
•一1V2}•则AQB=
A.(0.3)B.(-E3)C(0.1)D.(—8.3)
3.已知某市居民在2019年用下手机支付的个人消费额式单位:
元)服从正态分布N(2000.
100D.则该市某居•民「•机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为
A.0.9759B.0.84C.0.8185I).0.1772
附:
随机变地S服从正态分布,、(〃•/),则/,〃一(t )=0.6826/(〃-功 )=0.9544•一电=0.9974. 4.设a=2,z»=sin2,<=1。 &0.2•则“•〃・(•的大小关系正确的是 A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b { 3‘一9.1》0 0=2.718…为然对数的底数),若/ (1)的零点为a,极值xer 点为⑶则a+Q= A.-1ROC.1D.2 6.已知四校锥”一人段力的所仃校长均相等•点E.F分别在线段PA."('上.且PF〃底面八3CD.则弁而“线EF与PB所成角的大小为 A.30°K45°C.60°D.90° 7.在同一直角坐标系下.已知双曲线(、/%=1储>0・">0)的离心率为、*双曲线(,的 一个焦点到一条渐近线的距离为2.函数)=、山(5十堂)的图象向右平移1个单位后得VO 到曲线/)•点A,8分别在双曲线C的F支和曲线”上•则线段八3长度的最小值为 A.2K6C.72D.I 8.某单位举行诗词大会比赛.给每位参褰柠设计了“保阳题型”「升级两型”「创新题型”三美虺型•海类超型均折定•道即让参赛并问答•已知某位参赛者答对龙道题的假率均为: 且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为 .112R幽r113.124 125认125J125,125 二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。 9.L1知向国/=(1・1)工二7=(—3,1)3一(1・1).匹立的夹角为。 .则 A.由=|司武口口皿1).0=135。 10.已知函数/(,r)=sini+2、3sin.rcos才一co/八了£R•则 A.—2W/Q)W2K/(”)在区间(0・Q上只有1个零点 C/”)的最小正周期为京D.I=卷为/1)图象的一条对称轴 11.已知数列2,)的前〃用! 和为$.,川=1.,一=>+24+1.数列{—^—)的前,"页和为“■•4+1 兀,〃€、..则下列选项正确的为 A.数列{&+1>是等差数列B.数列□是等比数列 C.数列{&}的通项公式为《=2”-1D.L<1 12,已知四梭台ABCD—ABC]。 的上下底面均为正方形•其中 人3=2々八也=、2・八4=8氏=「(;=/,%=2•则下述正确的是 A.该四棱台的高为、3 C.该四棱台的表面枳为26 I).该四幡台外接球的表面枳为16K 三、填空题: 本题共I小题,每小题5分,共20分。 13.若7/6(0,+8)・。 +•72。 恒成立・则实数"的取值范围为. 14.已知函数/(/)的定义域为RJQ+D为奇函数・/(0)=1•则/ (2)=. 15.已知“GN.二项式(彳+呼尸展开式中含有■小项的系数不大于210,记a的取值集合 为A.则由集合A中元素构成的无纸复数字的三位数共有个. 16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个|网构成••卡通取”的形象•如图: Q(0,-3)是圆Q的恻心,圆Q过坐标原点();点/八S均在I轴上,帆"与帆IS的半径都等T2.|»|S用L均与圆Q外切,已知直线/过点。 (D若立线/与1员IL、圆S均相切•则/械圆Q所得弦长为। (2)若在线/破版"、圆S、恻Q所得弦氏均等于d.则d=. (本题第一个空2分,第二个空3分) 四、解答题: 本题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 设等差数列《6}的前一项和为S.,等比数列,,1的前〃项和为了”.已知小儿=2・S: =6. S3=12.A=g,,EN.. (D求人: .<①的通项公式; (2)是否存在正整数h使得&V6々且若存在.求出£的值;若不存在,谙说明V 理由. 18.(12分) 在AABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2Jr=(/r+r2-a2)(l-lanA). (D求角C: ⑵若「2^10.D为*中点,在下列两个条件中任选一个,求AQ的K度. 条件①: AABC的面积S=I且B>A;条件②: cos29 注: 乐果选择两价目条件分别解冬,按第一个解答计分. 19.(12分) 在如图所示的四棱徘E—A/HY)中•四边形AHCD为平行四边形・△/(£为边长为2的等边三角形,ABAE.点、F。 分别为AB,BE的中点,OF是异面直线人3和OC的公垂线. (D证明: 平面八川二L平血BCE; (2)心的瓶心为G.求百线AG与平面A3CD所成角的正弦值. 20.(12分) 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节•当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱. (1)已知该网络购物平台近5年,•双卜一“购物》当大成交额如卜表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额(百亿元) 9 12 17 21 27 求成交额y(百亿元)求时间变量工(记2015年为j=h2016年为彳=2,……依次类推)的线性向回方程.并预测2020年该平台“双卜・”购物”当天的成交额(百亿元), (2)在2020年“双卜一”购物行前•某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A、3两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X. (i)求X的分布列及/XX); (ii)已知每个订单由kg2.k£N)件商品W构成•记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商 7sin,sin. 品w总数所为丫•假设。 =/_”=/.求E(Y)取得最大值时正整数4的值.»A八IA 附: Pl归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: -,万•y»(・n—7)(y一,) b=^=;u=y-^. —心2'(I,-三)2 21.(12分) 已知()为坐标原点.楠圆(': [十£=1(”>心>0)的左,右焦点分别为点F.,尸2,且6乂 恰为抛物线「): y=打的焦点.以FL? 为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若宜线Z与D相交于A,3两点,记点A,B到直线/=-1的距离分别为44JAB I=4+4.电线I与C相交于E.F两点,记△OA3,2\OEF的面积分别为S1•,. 3证明: 的周长为定值; (ii)求费的最大值. 6 22.(12分) 已知函数/&)=办公/一健+2的图象在点(1.1)处的切线方程为),=1. (D当一€(0,2)时,证明 (2)设函数X(,r)=.r/(.r),当r6(0.1洞.证明: 0<X(.r)<l: A (3)若数列(%)满足: 4+|-/(4),OVsV1・〃0N・.证明: 2hiq<0. 青岛市2020年高三统一质后检测 数学参考答案 一、单项选择题: 本题共8小题,每小题5分,共40分. BACACDDA 二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 9.BD10.ACD11.BCD12.AD 三、填空题: 本题共4个小题,每小题5分,共20分. 12 13.14.-1;15.18;16. (1)3; (2)—; 四、解答题: 本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分1。 分) 解: (1)设数列{0}的为d,在数列{4}中,53-另二/=6 又因为S? =q+%=%-2J+%-"=12-"=6,所以4=2 从而q=4-24=2,所以q=2+(〃-l)x2=2〃 由44=2得: 4=7;=1 因为a=5-(=g-i=g,设数列{4}的公比为夕 所以<7=挚=: ,所以“=卜([广'=(3"" 4333 (2)|l|(I)知: S<=以"可)=4(4+1) 2 所以£=A(A+l)v6A,留理得犬-5A<。 ,解得。 <〃<5 所以7iI,即击V: ,解得Q3 所以A=4 IN.(本小赠满分12分) 解: (I)在&48c中,由余弦定理知: h2+c2-a2=2bccosA» 所以2Z/=26ccos4(l-lan/),所以力=c(cos/l-sin力) 又由正弦定理知: -=吧? ,Wsin£? =sinC(cosJ-sin/I)csmC 所以sin(力+C)=sinC(cosA-s\nA) (a=4 加=2a或 即: sin/IcosC+cosAsinC=sinCcosA-sinCsinA所以sinAcosC=-sinCsinA 因为sin/wO,所以cosC'=-sinC,所以lanC=-l 又因为0 =与 (2)若选择条件①5"版.=4 因为Su”=4=]-ahs\nC=gabsin手,所以ab=8及224 由余弦定理知: C2=(2后/=40=/+〃-2H>cos等 所以/+/+«//>=40 ["十斤+\jlab=40 由ML,解得: |la/>=8V2 在A4CQ中JD2=C/f2+CD2-2C4CD-cosC=l6+2-2x4x71cos^=264 所以40=病 若选择条件②: COS5=—5 因为cosB=,所以sin8= 55 乂因为sinA=sin(^+C)=sin8cosc+sinCeosB= .一j.一一ca~-csinA'二 由正弦定理知: ~~所以。 =.一=212sinCsinAsinC 在A48O中,由余弦定理知: AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB 解得: AD=416 I9.(本小题满分12分) 解: (I)证明: 因为。 为8£的中点,所以在等边MCE中,OCA.BE 又因为OF是片面直线48和OC的公联线,所以OC1OF 义因为OFCBE=O,OF、8Eu平面4所以OC1平面46£ 因为OCu平面8C£,所以平面.48EJ.平面8C£ (2)因为歹、O为中点,所以。 尸〃又内为OF是井面克纹彳8和。 C的公乖线, 所以8_L48,AE1AB,所以A48£为等腰直角三角形 连接40,AB=AE=4i,0/1=1 因为OA1BE.OAu平面,平面ABE1平面BCE且平面ABE(]平面BCE=BE所以。 4_L平面BCE 因此,以o为收点,分别以oc、所在的直线为x、y.z轴建系如图所示: 则/<(o,o,i),8(-i,o,o),c(o,Ao),£(1,0。 因为四边形/8CD为平行四边形,设。 (%,凡二°) 因为而=万,所以(1,G,0)=(%,%,Zq-1) 设闽,48。 的•个法向后为G=(xj,z) 而=。 。 1),胫=(l>/5,o) |nBA-0(x+z=0h^C=0i[x+x/3y=0 令y=-i,则x=Bz=-百,所以G=(G,-i,-A) 因为C(O,Go),£(1,0.0),D(l,g), 所以ACO£的承心为G的坐标为(2.拽」),= 、.、、33 设直线/G与平面458所成角为0,则 •Z1.■"77: II小/G sine/=|cos I斤H4Gl 20•(本小届满分12分)解; (1)山已知可用; 1+2+3+4+5 9+12+17+21+27— =17.2 =1x9+2x12+3x17+4x21+5x27=303 •? =I2+22+32+42+52=55 当x=6时,y=4.5x6+3.7=30.7(百亿无) 所以估计2020年该平台“双卜一”购物“当天的成交^为30.7(百亿元) (2)(i)由题知,X的可能取值为: 0J2 P(X=0)=(l-pXl-^) P(X=l)=(l-,)q+("q)〃 P(X=2)=pg 所以X的分布列为: X 0 1 2 P "p-q+pq P+q_2Pq pq £(X)=0x(l-p)U-g)+(p+9-2pg)+2pq=p+9 (ii)因为丫=KX r•/T♦/T 7sin—sin- 所以+鲁—1)=2sin三「 4kX4kkk 令/=! €(0.! ],设/")=2§而也一也,则£(y)=/")k2 因为/*(/)=2^cos/rt-^=2;r(cos/n-;),且;nw(0,gj 所以,当/£(0,;)时,Z(/)>0,所以/")在区间(O,;)上单调通用; 当正(! ,! )时,r(r)<0,所以/")在区间(J,;)上玳得递M; 所以,当,=;即4=3时,/a)«/(;)=6一((百亿元) 所以£«)取最大值时A的值为3 21.(本小题满分12分) 解: (I)因为鸟为抛物线。 : /=4%的焦点,故八(1,0) 所以c=l 乂因为以为代桧的脚与椭园C仅"两个公共点知: h=c 所以"=4i,b=l 2 所以楠园。 的标准方程为: y+/=l (2)(i)由题知,因为刀=-1为抛物线。 的准线 由抛物线的定义知: |/8|=4+出=卜尼|+2工| 又因为|.4川引/用+忸巴|,等号当仅当48储三点共线时成立 所以直线/过定点6 根据椭IMI定义得: 怛「|+|班I+1尸61=|£用+怛£I+1wI+1对I=4〃=4& (ii)若立线/的斜率不存在,则直线/的方程为x=l 因为»用=4,|£尸|=应,所以率=的|=4 d),勺4 若直线/的斜率存在,则可设直线/: y=A(x-l)(*wO),设4%%),8(0,必)।c=4T 山<一用,k2x2-(2k2±4)x^k2=Q [… (1) 设£(/,%),尸(乙,乂), [占2-1 由《万得,(1+2r)/-软2%+2--2=0 (—1) a4犬2犬-2 则…二屈’”由 所以归同=VFTPM-乙I=>h+ky(X\+x万-4中A=2f;;f) 则$翳而三;=争(亡用(。 当 k2 综上知: V的最大值等ff,4 22.(本小题满分12分) 解: ⑴由题知: /(x)=a(lnx+1)-2x,/*(l)=o-2=0 所以a=2,/(x)=2xlnx-x2+2 所以77x)=2(lnx+l-x),令人(x)=lnx+1-x,则方'(外=一一l=—xx 当xw(0,1)时,h\x)>0,力(x)在区间(0.1)上单调递增; 当XW(1,2)时,w〃(K)在区间(1,2)上单用递减; 所以加幻4〃 (1)=0,即/*(编40 所以/(')在区间(0,2)上年调递M, 所以/a)>/ (2)=4ln2-2=lnl6-lne2>o 又因为〃(x)=lnx+l-x«0,所以Inx4x-I, 所以/(x)=2xlnx-x2+22x(x-1)-x: +2=x: -2x+2=(x-l)2+1<2 综匕知: 当xw(0.2)时,0(幻<2 (2)由题意,g(x)=/(x)+xf(x)=4xInx-3x2+2x+2 所以耳'(x)=2(2xInx-父+2)+(-/+2x-2)=2/(x)+(-/+2x-2) rh (1)知: ,(x)在区间(0.1)上单帆递减,所以/3>/(l)=l, 乂因为当xw(0.1)时,-x2+2x-2€(-2,-1) 所以g'(x)>0,g。 )在区间91)上小调递增,所以g(x) 由⑴可知: /(x)>0,乂xw(0.1),・・g(x)=j/(x)>0 综上可知: 0 (3)由⑴ (2)知: 若xw(0,l),1=/ (1)(幻<2,若xw(l,2),0 (2)(x) (1)=1因为qw(0.1),・,・%=/(q)w(1,2),a,=/(«,)€(0.1),4=/(ajw(1,2),所以。 21€(0,1),1w(1,2),AwN*当〃=24时, qx%x/x…xa“=(%外…=g(q)g…g 当〃二"一1时, qxa”%x・・・x%=(%%X4%)…(a”g"“-W”」=g(q)g(%)一gtM? at. 所以qx%x%x…I,从而glnq=ln(qx%x…x4)<0
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