福建省南平市届高三质量检查数学理试题及答案.docx
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福建省南平市届高三质量检查数学理试题及答案
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh,
其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知R,i为虚数单位,且i,则i的值为
A.2B.-2iC.-4D.2i
2.已知直线与圆相交两点,则
A.B.C.D.
3.等比数列的各项均为正数,且,则++…+=
A.10B.8C.6D.4
4.当为锐角时,“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知向量,
.若,
则实数的值为
A.B.
C.3D.
6.如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值
输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y
值相等,则这样的x值的个数是
A.4B.2
C.1D.3
7.右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是
A. B.
C.D.
8.已知为坐标原点,点的坐标是,点在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则的取值范围是
A.B.
C.D.
9.已知P是抛物线上的一个动点,则P到直线:
和:
的距离之和的最小值是
A.1B.2C.3D.4
10.已知,函数有两个极值点,
,则方程的实根个数
A.4B.3C.2D.0
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
11.为估计图中阴影部分的面积,现采用随机模拟的方法,从边长为1的正方形中产生200个点,经统计,其中落入阴影部分的点共有134个,则估计阴影部分的面积是________.
12.已知是第三象限角,则=________.
13.展开式中的系数是________.
14.已知,则的最小值为________.
15.若实数成等差数列,点在动直线上的射影为点,
已知点,则线段长度的最大值与最小值的和为________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)在中,角所对边的长分别是,若,,
,求的面积.
17.(本题满分13分)
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球均为黑球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(Ⅲ)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望.
18.(本题满分13分)
如图,在四面体P-ABC中,PA⊥面ACB,BC⊥AC,
M是PA的中点,E是BM的中点,AC=2,PA=4,
F是线段PC上的点,且EF∥面ACB.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)若异面直线EF与CA所成角为45°,
求EF与面PAB所成角的正弦值.
19.(本题满分13分)
已知椭圆Γ的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,点在
椭圆Γ上.
(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ)过Γ的右焦点作两条垂直的弦,设的中点分别为,
证明:
直线必过定点,并求此定点.
20.(本题满分14分)
已知函数(是自然对数的底数,=2.71828…)的图像在处的切线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,
求函数的单调区间;
(Ⅲ)若正项数列满足,证明:
数列是递减数列.
21.本题有
(1)、
(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2个小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵,若向量在矩阵M的变换下得到向量.
(Ⅰ)求矩阵M;
(Ⅱ)设矩阵,求直线在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
曲线:
,曲线:
,(为参数).
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到曲线上的点的最小距离.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式≥1;
(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围.
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考答案及评分标准
说明:
1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分.
1.B;2.B;3.A;4.C;5.D;6.D;7.A;8.C;9.C;10.B.
二、填空题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分20分.
11.;12.7;13.135;14.;15.10.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.本题满分13分.
解:
(Ⅰ)∵,)
…………………1分
∴.…………………3分
由,
解得.……………………5分
∴函数的单调递增区间是.……………………6分
(Ⅱ)∵在中,,
∴解得.……………………8分
又,∴.……………………9分
依据正弦定理,有.……………………10分
∴.……………………11分
∴.……………………13分
17.本题满分13分.
解:
(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立,
.……………………2分
取出的4个球均为黑球的概率为……………………3分
(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥,且,……………………5分
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
.……………………6分
(Ⅲ)设可能的取值为0,1,2,3.
由(Ⅰ)、(Ⅱ)得,,.
……………10分
的分布列为
0
1
2
3
P
…………………11分
∴的数学期望…………………13分
18.本题满分13分.
解:
(Ⅰ),,
……………………1分
又,
……………………2分
而
……………………3分
(Ⅱ)解法一:
如图以C为原点,CA、CB所在直线为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则、、、……………4分
设,,可得,,则……………………5分
因为是的一个法向量,
……………………6分
即……………………7分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,
………………8分
解得……………………9分
由此,,又、
设面PAB的一个法向量为
由可得……………………11分
即,可取……………………12分
EF与面PAB所成角的正弦值:
…………13分
(Ⅱ)解法二:
如图以A为原点,过A且与CB平行的直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,则、、
……………………4分
设,,可得:
则………………5分
因为是的一个法向量,
……………………6分
即……………………7分
(Ⅲ)解法二:
由(Ⅱ)知,
……………………8分
解得……………………9分
由此,
又、、,
设面PAB的一个法向量为
由可得,……………………11分
即,可取……………………12分
EF与面PAB所成角的正弦值……………13分
(Ⅱ)解法三:
取MA中点G,连结EG,FG,
∵E是MB中点,∴EG是△MAB的中位线.
∴……………………4分
而
∴EG∥面ABC……………………5分
又EF∥面ABC,
∴面EFG∥面ABC,而
∴FG∥面ABC……………………6分
∵
∴FG∥AC,……………………7分
19.本题满分13分.
解:
(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为.
则……………………3分
解得
即椭圆Γ的方程为.……………………5分
(Ⅱ)由题意得.
(1)当弦的斜率均存在时,
设的斜率为,则的斜率为.……………………6分
令,线段中点.
将直线方程代入椭圆方程,
并化简得……………………7分
则,,于是,.因为,所以,将点坐标中的换为,
即得点…………………9分
①当时,直线的方程为
令得,则直线过定点……………………10分
②当时,易得直线的方程,也过点……………………11分
(2)当弦的斜率不存在时,易知,直线为轴,也过点
综上,直线必过定点……………………13分
20.本题满分14分.
解:
(Ⅰ)由题意得,则,……………………2分
解得.……………………3分
(Ⅱ)由题意得,.
……………………5分
(1)当时,令,并注意到函数的定义域
得或,则的增区间是;
同理可求的减区间是………………6分
(2)当时,,则是定义域内的增函数……………………7分
(3)当时,令,并注意到函数的定义域得或,
则的增区间是;同理可求的减区间是…………………8分
(Ⅲ)证明:
因为正项数列满足
所以,即……………………10分
要证数列是递减数列
……………………12分
设,.,
是上的增函数,则,即,故,
则数列是递减数列……………………14分
21.本题满分14分.
(1)解:
(Ⅰ)由……………………1分
得解得……………………2分
……………………3分
(Ⅱ)……………………4分
设点是直线上1一点,在矩阵NM的对应变换作用下得到的
点,则可得……………………5分
,代入得……………………6分
曲线C的方
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