选修23第二章随机变量及其分布测试题.docx
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选修23第二章随机变量及其分布测试题
随机变量及其分布测试题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列四个命题:
①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量;
②在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量;
③一条河流每年的最大流量是随机变量;
④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2.已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=( )
A.2 B.8 C.18 D.20
3.设服从二项分布X~B(n,p)的随机变量X的均值与方差分别是15和
,则n、p的值分别是( )
A.50,
B.60,
C.50,
D.60,
.
4.某次语文考试中考生的分数X~N(90,100),则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( )
A.68.26%B.95.44%C.99.74%D.31.74%
5.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )
A.甲学科总体的方差最小
B.丙学科总体的均值最小
C.乙学科总体的方差及均值都居中
D.甲、乙、丙的总体的均值不相同
6.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为a,b,则产生故障的电脑台数的均值为( )
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4、0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )
A.0.9B.0.2C.0.7D.0.5
8.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是
的事件为( )
A.恰有1只是坏的B.4只全是好的
C.恰有2只是好的D.至多有2只是坏的
9.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=
,P(X=x2)=
,且x1<x2.又已知E(X)=
,D(X)=
,则x1+x2的值为( )
A.
B.
C.
D.3
10.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )
自然状况
A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
-20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
-10
A.A1B.A2C.A3D.A4
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)
11.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X的均值E(X)=________.
12.一离散型随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且E(X)=1.5,则a-b=________.
13.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)
14.在高三某个班中,有
的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数X~B
,则P(X=k)=C
k·
5-k取最大值时k的值为________
15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
①P(B)=
;
②P(B|A1)=
;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题(本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X的均值和方差.
17.(本题满分12分)9粒种子种在甲,乙,丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没有发芽,则这个坑需要补种.
(1)求甲坑不需要补种的概率;
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率;
(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001).
18.(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75,
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为X,求随机变量X的均值.
19.(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列.
20.(本题满分13分)坛子里放着5个相同大小,相同形状的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:
(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率;
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率;
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
21.(本题满分14分)(2010·山东理,20)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:
①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;
②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为
,
,
,
,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲同学能进入下一轮的概率;
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
参考答案
一、选择题:
1、D2、C3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、C
二、填空题:
11、
12、013、
14、115、②④
三、解答题:
16.[解析] 取球次数X是一个随机变量,X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差,可先求X的分布列.
P(X=1)=
=0.2,
P(X=2)=
×
=0.2,
P(X=3)=
×
×
=0.2,
P(X=4)=
×
×
×
=0.2,
P(X=5)=
×
×
×
×
=0.2.
于是,我们得到随机变量X的分布列
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由随机变量的均值和方差的定义可求得:
E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2
=0.2×(1+2+3+4+5)=3,
D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=0.2×(22+12+02+12+22)=2.
17.[解析]
(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=
,
所以甲坑不需要补种的概率为1-
=
=0.875.
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
C
×
×
2≈0.041.
(3)因为3个坑都不需要补种的概率为
3,所以有坑需要补种的概率为1-
3≈0.330.
18.[解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.
Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
P(E)=P(A1·
·
)+P(
·A2·
)+P(
·
·A3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.
Ⅱ.解法一:
因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,所以X~B(3,0.3),故E(X)=np=3×0.3=0.9.
解法二:
分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C,则
P(A)=P(B)=P(C)=0.3,
所以P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,
P(X=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,
P(X=2)=3×0.32×0.7=0.189,
P(X=3)=0.33=0.027.
于是,E(X)=1×0.441+2×0.89+3×0.027=0.9.
19.[解析]
(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,那么P(EA)=
=
.
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)=
=
.
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(
)=1-P(E)=
.
(3)随机变量X可能取的值为1,2,事件“X=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则P(X=2)=
=
.所以P(X=1)=1-P(X=2)=
,X的分布列为:
X
1
2
P
20.[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A,第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B,则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)=A
=20.
又μ(A)=A
×A
=12.于是P(A)=
=
=
.
(2)因为μ(AB)=A
=6,所以P(AB)=
=
=
.
(3)解法一:
由
(1)
(2)可得,在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)=
=
=
.
解法二:
因为μ(AB)=6,μ(A)=12,所以P(B|A)
=
=
=
.
21.[解析]
(1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件,所以甲同学能进入下一轮的概率为1-
×
+
×
×
+
×
×
=
.
(2)ξ可能取2,3,4,则
P(ξ=2)=
×
=
;P(ξ=3)=
×
×
+
×
×
=
;
P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-
-
=
,
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P(ξ)
数学期望E(ξ)=2×
+3×
+4×
=
.
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- 选修 23 第二 随机变量 及其 分布 测试