最新部编人教版数学《中考二次函数专题检测试题》含答案解析.docx
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最新部编人教版数学《中考二次函数专题检测试题》含答案解析
中考专题突破训练:
二次函数
1.已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,A(﹣2,0)
(1)直接写出:
a=
(2)如图1,点P在第一象限内抛物线上的一点,过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D,交AC的延长线于点Q,当△QAP与△QCD相似时,求P点的坐标;
(3)如图2,抛物线的对称轴交x轴于点M,N为第二象限内抛物线上的一点,直线NA,NB分别交y轴于D,E两点,分别交抛物线的对称轴于F,G两点.
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值;
②若
=
,求N点的坐标.
【详解】解:
(1)将A(﹣2,0)代入抛物线中,得
0=4a+4a﹣2,解得a=
.
故答案为
.
(2)抛物线的解析式为y=
x2﹣
﹣2,
令y=0,解得x1=﹣2,x2=4,
∴B(4,0),
令x=0,y=﹣2,
∴C(0,﹣2),
设直线AC的解析式为y=kx+b,代入点A、C,
解得
∴y=﹣x﹣2,
设直线BC的解析式为y=k1x+b1,代入点点B、C,
解得
∴y=
x﹣2,
设点P的横坐标为m,则纵坐标为
m2﹣
m﹣2,
则点D(m,
m﹣2),Q(m,﹣m﹣2),
PQ=
m2﹣
m﹣2﹣(﹣m﹣2)=
,
DQ=
m﹣2﹣(﹣m﹣2)=
m,
AQ=
=
(m+2),
CQ=
=
m,
①当AP∥CD时,△APQ∽△CDQ,
设直线AP的解析式为y=
x+b3,
代入点A,0=
×(﹣2)+b3,解得b3=1,
∴y=
x+1,
令
x+1=
x2﹣
﹣2,
解得x1=﹣2,x2=6,
当x=6时,y=4,
∴P(6,4).
②当∠APQ=∠QCD时,△APQ∽△DCQ,
∴
,
∴
=
解得m1=﹣2(舍),m2=
,
当x=
时,y=
,
∴P(
,
).
综上所述,点P的坐标为(6,4)或(
,
).
(3)①过点N作NK垂直x轴于点K,
设点K的坐标为(n,
n2﹣
n﹣2),
则NK=
n2﹣
n﹣2,AK=﹣2﹣n,BK=4﹣n,
tan∠FAM=
=
,
tan∠GAM=
=
,
∴tan∠FAM﹣tan∠GAM=
.
②∵
,△NED∽△NGF,
∴
,
过点N向抛物线的对称轴作垂线,分别交y轴和对称轴于点J、H,
∴△NJE∽△NHG,
∴
,
NJ=﹣n,NH=1﹣n,
∴4(1﹣n)=﹣5n,
解得n=﹣4,
当x=﹣4时,y=4,
∴点N的坐标为(﹣4,4).
2.已知,如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点,EH⊥x
轴于点H,交直线BC于点F,以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.
(1)b= 2 ;c= 3 ;
(2)当△EFR周长最大时.
①求此时点E点坐标及△EFR周长;
②点P为⊙M上一动点,连接BP,点Q为BP的中点,连接HQ,直接写出HQ的最大值为
;
(3)连接CE、BE,当△ERC∽△BRE时,求出点E点坐标.
【详解】解:
(1)解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3
∴b=2,c=3
(2)①∵△ERF∽△BCO
∴△ERF为等腰直角三角形
当△EFR周长最大时,EF最长
设E(m,﹣m2+2m+3),F(m,﹣m+3)
∴EF=﹣m2+3m
当m=
时
EF=
,E(
,
)
在Rt△EFR中,ER=FR=
△EFR的周长为
+
②如图,连接OP,点H(
,0)为OB的中点
∵Q为BP中点
∴HQ∥OP,HQ=
OP
∵EF=
,FH=
∴M(
,
)
∴OM=BM=
∵OP≤OM+PM
∴OP≤
+
∴HQ≤
∴HQ的最大值为
(3)若△ERC∽△BRE
则∠C
ER=∠EBR
∴∠CEB=90°
设E(m,﹣m2+2m+3),如图,过点B和E分别作平行于x轴、y轴的直线,垂足为N,直线交于点G
∵△CNE∽△EGB
∴
=
∴
=
解得m1=
,m2=
(舍去)
∴E(
,
)
3.如图1,抛物线y1=﹣
x2﹣
tx﹣t+2与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),过y轴上的点C(0,4),直线y2=kx+3交x轴,y轴于点M,N,且ON=OC.
(1)求出t与k的值;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点D,在x轴上方的对称轴上找一点E,使△BDE与△AOC相似,求出DE的长;
(3)如图2,过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H,交直线y2=kx+3于点Q,若点Q′是点Q关于直线MG的对称点,是否存在点G(不与点C重合),使点Q'落在y轴上?
,若存在,请直接写出点G的横坐标;若不存在,请说明理由.
【详解】解:
(1)将点C(0,4)代入抛物线y1=﹣
x2﹣
tx﹣t+2,
得,﹣t+2=4,
∴t=﹣2,
∴抛物线y1=﹣
x2+
x+4,
∵C(0,4),ON=OC,
∴N(﹣4,0),
将N(﹣4,0)代入直线y2=kx+3,
得,﹣4k+3=0,
∴k=
,
∴直线y2=
x+3,
∴t的值为﹣2,k的值为
;
(2)如图1,连接BE,
在y1=﹣
x2+
x+4中,
当y=0时,
x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1.0),B(3,0),
对称轴为x=﹣
=1,
∴D(1,0),
∴AO=1,CO=4,BD=2,
∵∠AOC=∠EDB=90°,
①∴当△AOC∽△BDE时,
=
,
∴
=
,
∴DE=8,
②当△AOC∽△EDB时,
=
,
∴
=
,
∴DE=
,
综上所述,DE的长为8或
;
(3)如图2﹣1,点Q′是点Q关于直线MG的对称点,且点Q′在y轴上时,
由轴对称的性质知,QM=Q'M,QG=Q'G,∠Q'MG=∠QMG,
∵QG⊥x轴,
∴QG∥y轴,
∴∠Q'MG=∠QGM,
∴∠QMG=∠QGM,
∴QM=QG,
∴QM=Q'M=QG=Q'G,
∴四边形QMQ'G为菱形,
设G(a,﹣
a2+
a+4),则Q(a,
a+3),
过点G作GH⊥y轴于点H,
∵GQ'∥QN,
∴∠GQ'H=∠NMO,
在Rt△NMO中,
NM=
=5,
∴sin∠NMO=
=
,
∴sin∠GQ'H=
=
,
①当点G在直线MN下方时,
QG=Q'G=
a2﹣
a﹣1,
∴
=
,
解得,a1=
,a2=
;
②如图2﹣2,当点G在直线MN上方时,
QG=Q'G=﹣(
a2﹣
a﹣1),
∴﹣
=
,
解得,a1=
,a2=
,
综上所述,点G的横坐标为
,
,
或
.
4.y=﹣2x+4直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣
(x﹣m)(x﹣6)(m>0)经过点A,交x轴于另一点C,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为D,连接BD,AD,CD,动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动,同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.
①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;
②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或
AD于点N,当PN=EM时,求t的值.
【详解】解:
(1)当x=0时,y=4,
∴点B坐标(0,4)
当y=0时,x=2
∴点A(2,0)
∵抛物线y=﹣
(x﹣m)(x﹣6)(m>0)经过点A,
∴0=﹣
(2﹣m)(2﹣6)
∴m1=2,m2=0(不合题意舍去)
∴抛物线解析式为:
y=﹣x2+8x﹣12
(2)①∵抛物线解析式为:
y=﹣x2+8x﹣12=﹣(x﹣4)2+4,
∴顶点D(4,4)
∵点B坐标(0,4)
∴BD∥OC,BD=4,
∵y=﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A,点C
∴点C(6,0),点A(2,0)
∴AC=4
∵点D(4,4),点C(6,0),点A(2,0)
∴AD=CD=2
,
∴∠DAC=∠DCA
∵BD∥AC
∴∠DPE=∠PQA,
且∠DPE=∠DAC
∴∠PQA=∠DAC
∴PQ∥DC,且BD∥AC
∴四边形PDQC是平行四边形
∴PD=QC
∴4﹣2t=3t
∴t=
②如图,若点N在AB上时,即0≤t≤1
∵BD∥OC
∴∠DBA=∠OAB,
∵点B坐标(0,4),A(2,0),点D(4,4)
∴AB=AD=2
,OA=2,OB=4
∴∠ABD=∠ADB,
∴tan∠OAB=
=
=tan∠DBA=
∴PN=2BP=4t,
∴ME=PN=4t,
∵tan∠ADB=tan∠ABD=
=2
∴MD=2t
∴DE=
=2
t
∴AE=AD﹣DE=2
﹣2
t
∵BD∥OC
∴
∴
∴5t2﹣10t+4=0
∴t1=1+
(不合题意舍去),t2=1﹣
如图,若点N在AD上,即1<t
∵PN=EM,
∴点E、N重合,此时PQ⊥BD,
∴BP=OQ,
∴2t=6﹣3t,
解得:
t=
,
综上所述:
当PN=EM时,t的值为1﹣
或
.
5.如图,在顶点为P的抛物线y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的对称轴1的直线上取点A(h,k+
),过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点(B在C的左侧),点和点A关于点P对称,过A作直线m⊥l.又分别过点B,C作直线BE⊥m和CD⊥m,垂足为E,D.在这里,我们把点A叫此抛物线的焦点,BC叫此抛物线的直径,矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形.
(1)直接写出抛物线y=
x2的焦点坐标以及直径的长.
(2)求抛物线y=
x2﹣
x+
的焦点坐标以及直径的长.
(3)已知抛物线y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的直径为
,求a的值.
(4)①已知抛物线y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的焦点矩形的面积为2,求a的值.
②直接写出抛物线y=
x2﹣
x+
的焦点短形与抛物线y=x2﹣2mx+m2+1公共点个数分别是1个以及2个时m的值.
【详解】解:
(1)∵抛物线y=
x2,
∴此抛物线焦点的横坐标是0,纵坐标是:
0+
=1,
∴抛物线y=
x2的焦点坐标为(0,1),
将y=1代入y=
x2,得x1=﹣2,x2=2,
∴此抛物线的直径是:
2﹣(﹣2)=4;
(2)∵y=
x2﹣
x+
=
(x﹣3)2+2,
∴此抛物线的焦点的横坐标是:
3,纵坐标是:
2+
=3,
∴焦点坐标为(3,3),
将y=3代入y=
(x﹣3)2+2,得
3=
(x﹣3)2+2,解得,x1=5,x2=1,
∴此抛物线的直径时5﹣1=4;
(3)∵焦点A(h,k+
),
∴k+
=a(x﹣h)2+k,解得,x1=h+
,x2=h﹣
,
∴直径为:
h+
﹣(h﹣
)=
=
,
解得,a=±
,
即a的值是
;
(4)①由(3)得,BC=
,
又CD=A'A=
.
所以,S=BC•CD=
•
=
=2.
解得,a=±
;
②当m=1﹣
或m=5+
时,1个公共点,当1﹣
<m≤1或5≤m<5+
时,2个公共点,
理由:
由
(2)知抛,物线y=
x2﹣
x+
的焦点矩形顶点坐标分别
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