量子力学考研量子力学导论考研真题解析.docx

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量子力学考研量子力学导论考研真题解析

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

一、考研真题解析

0粒子在势场

（

，

）中运动，试用不确定关系估计基态能量。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。

【解析】

根据不确定原理有

即

因为

所以只需要求解出

的最小值就可以估计基态的能量。

令

由

得出

所以基态能量为

【知识储备】

若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。

对易算符的性质：

在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。

若[F，G]≠0，则有不确定关系

或

经常使用的关系式

21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即

，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解

的一般形式，并取

，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。

【解析】

根据含时薛定谔方程

令

带入可得

即

上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得

和

所以

对于

令

所以

因此

当

时，

相对于一维自由平面波函数，

使得波函数是自由平面波随时间做

改变的形式。

【知识储备】

薛定谔方程：

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（→r，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（→r）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。

其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

【拓展发散】

当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即

，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。

22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：

（1）A2＋B2＝1，且

；

（2）进一步再证明U可以表示成

，H为厄米算符。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。

【解析】

（1）因为U为幺正算符，所以

和

，由

可得

由

可得

因此

（2）因为

，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即

，

。

因为

所以

即

所以

其中，

。

【知识储备】

①幺正算符

S＋＝S－1

②厄米算符

23粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰

的作用，求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

对于在一维无限深方势阱中运动的粒子，可以通过定态薛定谔方程求解本征值和本征波函数，而在受到微扰后，可以直接利用定态非简并微扰理论求解修正的能量和波函数。

【解析】在一维无限深方势阱中运动的粒子受到的势能函数为

所以利用定态薛定谔方程可得对应的本征波函数和本征值分别为

当粒子受到微扰

时，利用定态非简并微扰理可得一级修正为

相应的适用条件

所以

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②定态非简并微扰理论

微扰作用下的哈密顿量

H＝H0＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

适用条件

【拓展发散】

在同样的物理模型和情形下，改变微扰的具体形式，可以用同样方式求解修正的能量和波函数，如果微扰是含时微扰，则可以用含时微扰理论求解跃迁几率。

24粒子以能量E入射一维方势垒，

，设能量

，求透射系数T。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

对于已知势场具体表达式的情况，明显利用薛定谔方程求解本征波函数和本征值，在势垒存在时，根据透射系数和反射系数的定义式求解相应的结果。

【解析】对于入射一维方势垒的粒子，由定态薛定谔方程可得

当x＜0时，

令

得

当

时，

令

得

当x＞a时，

令

得

由波函数在x＝0处的连续性可得

1＋B＝C1＋C2

由波函数在x＝0处的导数连续性可得

由波函数在x＝a处的连续性可得

由波函数在x＝a处的导数连续性可得

整理可得

透射系数为

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②方形势垒

在量子力学中，与经典物理显著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越过势垒，但也有可能被反射回来；而能量E小于U0的粒子有可能被势垒反射回来，但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x＞a的区域中去。

当E＞U0，透射系数D表示贯穿到x＞a区域的粒子在单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目，与入射粒子（在x＜0区域）单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目之比。

反射系数R表示反射波概率流密度与入射波概率流密度之比。

有R＋D＝1，D和R都小于1。

这说明入射粒子一部分贯穿势垒到x＞a区域，另一部分被势垒反射回去。

【拓展发散】对于粒子入射方势垒的物理模型，分别假设E＞V和E＜V的情形，对比两种情况得出的结果的异同点，并且和经典物理相比较，分析量子力学和经典物理在粒子入射方势垒的物理模型中所表现的差异，再对一些参量作极限考虑，由量子力学可以过渡到经典物理，以此可以判断量子力学和经典物理不是完全分割的，它们有密不可分的关系。

25各向同性的三维谐振子哈密顿算符为

，加上微扰

后，求第一激发态的一级能量修正。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

在量子力学中，谐振子模型是可解模型之一，也是在不同物理科研领域应用最广的模型，对于各向同性的三维谐振子，可以利用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征值，加上微扰

，分析微扰的表达式，可知x，y，z三个方向是等效的，因此在求解能量修正时，可以利用积分函数的对称性来简化相关计算。

【解析】

对于各向同性的三维谐振子，利用定态薛定谔方程可得

求解可得本征波函数为

本征值为

其中

并且，

因此，各向同性的三维谐振子的第一激发态为

或者

或者

所以第一激发态是三重简并的，相应的波函数为

当加上微扰

可以利用定态简并微扰理论

久期方程为

对应的矩阵形式为

利用积分函数的对称性可得

求解可得第一激发态的一级修正为

【知识储备】

①一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

本征函数

其中

②简并定态微扰

能级的一级修正由久期方程

给出，即

有fk个实根，记为

，α＝1，2，…，fk。

分别把每一个根

代入方程

即可求得相应的解，记为aαv。

于是可得出新的零级波函数

相应的能量为

上面所求解的一级修正能量如果都不相同，则简并完全消除；如果有部分相同，则还需要求解更高阶的修正。

【拓展发散】

改变微扰哈密顿量形式为

，或者把微扰哈密顿量变成不对称的形式，增加计算难度。

26计算一维谐振子基态中的不确定度乘积

＝？

[中国科学技术大学2012研]

【解题思路】

对于坐标和动量算符力学量的涨落，可以通过升降算符的方式，比较简单的求解它们的平均值。

【解析】

对于一维谐振子，设能量的本征态为

，相应的能量本征值为

。

算符

，

与升降算符之间的关系为

其中

对于体系基态，相关的平均值为：

所以

最终得到

【知识储备】

升算符（也称产生算符）

降算符（也称湮灭算符）

它们满足下列关系

粒子湮灭算符满足

粒子产生算符满足

27自旋为1/2，磁矩为μ，电荷为零的粒子置于磁场中，t＝0时磁场为

，粒子处在

的本征值为-1的本征态

，设在t＞0时，再加上弱磁场

，求t＞0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

在原置于磁场中的零电荷的粒子上，加载一个恒定的弱磁场，可以利用含时微扰理论，求解粒子自旋状态的反转概率。

【解析】

在t＝0时，粒子在磁场中的哈密顿量为

粒子的处在本征态

上，则相应的能量为

在t＞0时，粒子受到弱磁场

的微扰，其相应的微扰哈密顿量为

粒子的初态为

，粒子状态反转，其末态为

。

根据含时微扰理论可得相应的跃迁概率为

其中

其中体系在微扰作用下由初态fk跃迁到终态fm态的概率幅为

相应的矩阵元为

并且

因此

所以自旋反转的概率为

【知识储备】

①自旋为1/2粒子在磁场中的作用势为

，其中

为磁矩。

②含时微扰理论

含时微扰体系哈密顿量

∧H（t）＝∧H0＋∧H′（t）

体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为

将ψ按∧H0的本征函数fn展开得

则在t时刻发现体系处于fm态的概率是|am（t）|2。

若体系在t＝0时处于∧H0的本征态fk，则

体系在微扰作用下由初态fk跃迁到终态fm态的概率幅为

相应的跃迁概率为

【拓展发散】

粒子带上电荷，改变微扰的形式，在原有磁场的基础上加一个周期性脉冲的磁场，形成类似拉比震荡的模式。

28粒子在势场V中运动并处于束缚定态

中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。

[中国科学院2006研]

【解题思路】

直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。

【解析】

在势场V中，粒子所受作用力为

因此作用力F的平均值为

得证。

【知识储备】

①束缚态：

在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。

②

即

③在某一表象下，算符∧F在ψ态中的平均值为