两点边值问题地有限差分法.docx

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两点边值问题地有限差分法

学生实验报告

实验课程名称偏微分方程数值解

开课实验室数统学院

学院数统年级2013专业班信计2班

学生姓名学号

开课时间2015至2016学年第2学期

总成绩

教师签名

数学与统计学院制

开课学院、实验室：

数统学院实验时间：

2016年月日

实验项目

名称

两点边值问题的有限差分法

实验项目类型

验证

演示

综合

设计

其他

指导教师

曾芳

成绩

是

一．实验目的

通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。

二．实验内容

考虑如下的初值问题：

（1）

（2）

其中

，

，

，

，

是给定常数。

将区间

等分，设

，网点

。

1．在第三部分写出问题

（1）和

（2）的差分格式，并给出该格式的局部截断误差。

2．根据你写出的差分格式，编写一个有限差分法程序。

将所写程序放到第四部分。

3．给定参数

，

，

，

，问题

（1）的精确解

，其中将

及

带入方程

（1）可得

。

分别取

，用所编写的程序计算问题

（1）和

（2）。

将数值解记为

，

，网点处精确解记为

，

。

然后计算相应的误差

，

及收敛阶

，将计算结果填入第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？

4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。

三．实验原理、方法（算法）、步骤

1.差分格式：

=-1/h^2（

-（

）

+

）+

（

）/2h+

=

A,

2.局部阶段误差：

（u）=O（h^2）

3.程序

clearall

N=10;

a=0;b=1;

p=@（x）1;

r=@（x）2;

q=@（x）3;

alpha=0;beta=1;

f=@（x）（4*x^2-2）*exp（x-1）;

h=（b-a）/N;

H=zeros（N-1,N-1）;g=zeros（N-1,1）;%

fori=1

H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;

H（i,i+1）=-（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））;

g（i）=2*h*f（a+i*h）+（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））*alpha;

end

fori=2:

N-2

H（i,i-1）=-（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））;

H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;

H（i,i+1）=-（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））;

g（i）=2*h*f（a+i*h）;

end

fori=N-1

H（i,i-1）=-（2*p（a+（i-1/2）*h）/h+r（a+i*h））;

H（i,i）=2*（p（a+（i+1/2）*h）+p（a+（i-1/2）*h））/h+2*h*q（a+i*h）;

g（i）=2*h*f（a+i*h）+（2*p（a+（i+1/2）*h）/h-r（a+i*h））*beta;

end

u=H\g;

u=[alpha;u;beta];

x=a:

h:

b;

y=（x.^2）.*exp（x-1）;

plot（x,u）;

holdon

plot（x,y）;

y=y'

z=y-u

四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件

Matlab

五．实验结果及实例分析

N

收敛阶

收敛阶

10

0.00104256

……

0.00073524

……

20

0.00026168

1.9341

0.00018348

1.4530

40

0.00006541

2.0001

0.00004585

2.0000

80

0.00001636

1.9993

0.00001146

2.0000

160

0.00000409

2.0000

0.00000287

2.0000

N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。

图示为：

（绿线为解析解，蓝线为计算解）

N=10

N=20

N=40

N=80

N=160

教师签名

年月日