高三数学理科模拟试题及参考答案.docx
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高三数学理科模拟试题及参考答案
高三数学理科模拟试题及参考答案
第一部分选择题(共40分)
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合≤≤,≤≤,则()
2.计算:
()
A.B.-C.2D.-2
3.已知是奇函数,当时,,则()
A.2B.1C.D.
4.已知向量,则的充要条件是( )
A.B.C.D.
5.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是()
6.已知函数,则下列结论正确的是()
A.此函数的图象关于直线对称B.此函数的值为1
C.此函数在区间上是增函数D.此函数的最小正周期为
7.某程序框图如图所示,该程序运行后,
输出的值为31,则等于()
A.0B.1
C.2D.3
8.已知、满足约束条件,
若,则的取值范围为()
A.[0,1]B.[1,10]C.[1,3]D.[2,3]
第二部分非选择题(共100分)
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分,每小题5分,满分30分)。
(一)必做题:
第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答。
9.已知等比数列的公比为正数,且,则=.
10.计算.
11.已知双曲线的一个焦点是(),则其渐近线方程为.
12.若n的展开式中所有二项式系数之和为64,则展开式的常数项为.
13.已知
依此类推,第个等式为 .
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的只算前一题得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点到直线3-4+4=0的距离的值为
15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB
延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,
若∠CPA=30°,PC=_____________
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
如图,角为钝角,且,点、分别是在角的
两边上不同于点的动点.
(1)若=5,=,求的长;
(2)设的值.
17.(本小题满分12分)
某连锁超市有、两家分店,对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计:
分店的销售量为200件和300件的天数各有15天;分店的统计结果如下表:
销售量(单位:
件)200300400
天数10155
(1)根据上面统计结果,求出分店销售量为200件、300件、400件的频率;
(2)已知每件该商品的销售利润为1元,表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和,若以频率作为概率,且、两分店的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图,为矩形,为梯形,平面平面,
,.
(1)若为中点,求证:
∥平面;
(2)求平面与所成锐二面角的大小.
19.(本小题满分14分)
已知数列中,,且当时,,.
记的阶乘!
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:
数列为等差数列;
(3)若,求的前n项和.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆:
()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;
标签:
(3)设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标.
21.(本小题满分14分)
已知函数,函数是函数的导函数.
(1)若,求的单调减区间;
(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;
(3)在第
(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值.
茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分,共40分)
题号12345678
答案ADBACCDB
二、填空题(每小题5分,共30分)
9.;10.;11.;12.;
13.;
14.3;15.33.
三、解答题(共80分)
16.解:
(1)是钝角,,。
。
1分
在中,由余弦定理得:
所以。
。
4分
解得或(舍去负值),所以。
。
6分
(2)由。
。
7分
在三角形APQ中,
又。
。
8分
。
。
9分
。
11分
。
。
12分
17.解:
(1)B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为,和。
3分
(2)A分店销售量为200件、300件的频率均为,。
4分
的可能值为400,500,600,700,且。
5分
P(=400)=,P(=500)=,
P(=600)=,P(=700)=,。
9分
的分布列为
400500600700
P
。
10分
=400+500+600+700=(元)。
。
12分
18.
(1)证明:
连结,交与,连结,
中,分别为两腰的中点∴。
。
2分
因为面,又面,所以平面。
。
4分
(2)解法一:
设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则
。
6分
设平面的单位法向量为,则可设。
。
。
7分
设面的法向量,应有
即:
解得:
,所以。
。
。
。
12分
∴。
。
。
。
13分
所以平面与所成锐二面角为60°。
。
。
14分
解法二:
延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DH⊥PG,垂足为H,连结HC。
。
6分
∵矩形PDCE中PD⊥DC,而AD⊥DC,PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥PG,又CD∩DH=D
∴PG⊥平面CDH,从而PG⊥HC。
。
8分
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角。
。
。
。
10分
在△中,,可以计算。
12分
在△中,。
。
。
13分
所以平面与所成锐二面角为60°。
。
。
14分
19.解:
(1),,
!
。
。
。
。
2分
又,!
。
。
。
。
。
3分
(2)由两边同时除以得即。
4分
∴数列是以为首项,公差为的等差数列。
。
5分
,故。
。
。
6分
(3)因为。
。
8分
记=
。
10分
记的前n项和为
则①
∴②
由②-①得:
。
。
。
。
。
。
。
13分
∴=。
14分
20.解:
(1)解:
由,得,再由,解得。
1分
由题意可知,即。
。
。
2分
解方程组得。
。
。
3分
标签:
所以椭圆C1的方程是。
。
。
。
3分
(2)因为,所以动点到定直线的距离等于它到定点(1,0)的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线,。
6分
所以点的轨迹的方程为。
。
。
。
7分
(3)因为以为直径的圆与相交于点,所以∠ORS=90°,即
。
。
。
。
。
。
。
8分
设S(,),R(,),=(-,-),=(,)
所以
因为,,化简得。
。
。
10分
所以,
当且仅当即=16,y2=±4时等号成立.。
。
12分
圆的直径|OS|=
因为≥64,所以当=64即=±8时,,。
13分
所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8)。
。
14分
21.解:
(1)当时,,。
。
1分
由解得。
。
2分
当时函数的单调减区间为;。
。
3分
(2)易知
依题意知
。
。
。
。
。
5分
因为,所以,即实数的取值范围是;。
。
6分
(3)解法一:
易知,.
显然,由
(2)知抛物线的对称轴。
。
7分
①当即时,且
令解得。
。
8分
此时取较大的根,即。
。
9分
,。
。
10分
②当即时,且
令解得。
。
11分
此时取较小的根,即。
。
12分
,当且仅当时取等号。
13分
由于,所以当时,取得最小值。
。
14分
解法二:
对任意时,“恒成立”等价于“且”
由
(2)可知实数的取值范围是
故的图象是开口向上,对称轴的抛物线。
7分
①当时,在区间上单调递增,
∴,
要使最小,只需要
。
8分
若即时,无解
若即时,。
。
9分
解得(舍去)或
故(当且仅当时取等号)。
10分
②当时,在区间上单调递减,在递增,
则,。
。
11分
要使最小,则即
。
。
。
。
。
12分
解得(舍去)
或(当且仅当时取等号)。
13分
综上所述,当时,的最小值为.。
。
。
14分
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