高中数学选修11人教版 练习33 导数在研究函数中的应用 第一课时1含答案.docx
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高中数学选修11人教版练习33导数在研究函数中的应用第一课时1含答案
第三章3.33.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是( B )
A.(-∞,0) B.(0,2)
C.(-∞,2)D.(2,+∞)
[解析] f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=3x2-6x<0,解得0 2.函数f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上减 D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增 [解析] f′(x)=2-cosx>0在(-∞,+∞)上恒成立. 3.(2016·江西抚州高二检测)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( C ) A.(,+∞)B.(-∞,) C.[,+∞)D.(-∞,) [解析] y′=3x2+2x+m,由题意知3x2+2x+m≥0在R上恒成立,∴Δ=4-12m≤0,∴m≥. 4.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( C ) [思路分析] 由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方),确定f(x)的单调性,对比f(x)的图象,用排除法求解. [解析] 由f′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 只有C符合题意,故选C. 5.(2016·贵州贵阳一中月考)函数y=xlnx在(0,5)上的单调性是( C ) A.单调递增 B.单调递减 C.在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增 D.在(0,)上单调递增,在(,5)上单调递减 [解析] 函数的定义域为(0,+∞). ∵y′=lnx+1,令y′>0,得x>. 令y′<0,得0 ∴函数y=xlnx在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增. 6.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( D ) A.(-∞,-2]B.(-∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,+∞) [解析] 由条件知f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键. 二、填空题 7.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为 (-∞,-),(1,+∞) . [解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), ∴由y′>0得,x>1或x<-. 8.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),则b=__-3__,c=__-9__. [解析] f′(x)=3x2+2bx+c, 由条件知, 即, 解得b=-3,c=-9. 三、解答题 9.(2016·北京昌平区高二检测)设函数f(x)=x3+mx2+1的导函数f′(x),且f′ (1)=3. (1)求函数f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间. [解析] (1)f′(x)=x2+2mx, ∴f′(x)=1+2m=3,∴m=1. ∴f(x)=x3+x2+1,∴f (1)=. ∴切线方程为y-=3(x-1), 即3x-3y+4=0. (2)f′(x)=x2+2x=x(x+2), 令f′(x)>0,得x>0或x<-2, 令f′(x)<0,得-2 ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(0,+∞),递减区间为(-2,0). B级 素养提升 一、选择题 1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是( D ) [解析] 由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f′(x)≤0,在(-∞,0)上f′(x)≥0,故选D. 2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( C ) A.y=2-3x2B.y=lnx C.y=D.y=sinx [解析] A中,y′=-6x,当-1 3.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f′(x)<0,则下列各项正确的是( C ) A.f(0)+f (2)>2f (1) B.f(0)+f (2)=2f (1) C.f(0)+f (2)<2f (1) D.f(0)+f (2)与2f (1)大小不定 [解析] 当x>1时,f′(x)<0,f(x)是减函数,∴f (1)>f (2). 当x<1时,f′(x)>0,f(x)是增函数, ∴f(0) (1).因此f(0)+f (2)<2f (1). 4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0,有f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时,有( B ) A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0′,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0 [解析] 由已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.∵x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0, ∴f(x),g(x)在(0,+∞)上递增. ∴x<0时,f(x)递增,g(x)递减. ∴x<0时f′(x)>0,g′(x)<0. 5.(2016·湛江一模)若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是( D ) A.(-2,0)B.(0,1) C.(1,+∞)D.(-∞,-2) [解析] 由题意知,f′(x)=1-, ∵函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点, ∴当1-=0时,b=x2, 又x∈(1,2),∴b∈(1,4), 令f′(x)>0,解得x<-或x>, 即f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞), ∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意.故选D. 二、填空题 6.(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为 (,π) . [解析] 由f′(x)=1-2cosx>0得cosx<,又x∈(0,π),所以 7.已知函数f(x)=在(-2,+∞)上单调递减,则a的取值范围是 (-∞,) . [解析] f′(x)==, 由题意得x<-2时,f′(x)≤0恒成立, ∴2a-1≤0,∴a≤. 又当a=时,f(x)==, 此时,函数f(x)在(-2,+∞)上不是减函数,∴a≠. 综上可知,a的取值范围为(-∞,). 三、解答题 8.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a、b的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. [解析] (1)f′(x)=3x2-6ax+3b. 因为f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f (1)=-11,f′ (1)=-12, 即,解得a=1,b=-3. (2)由a=1,b=-3得f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3; 又令f′(x)<0,解得-1 故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. C级 能力提高 1.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是__(-∞,0]__. [解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f′(x)=3x2-2ax-3, 又因为f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数, f′(x)=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立, ∴,解得a≤0, 故答案为(-∞,0]. 2.(2016·广东汕头高二质检)函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线. (1)求实数a、b、c的值; (2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间. [解析] (1)∵函数f(x)、g(x)的图象都过点P(2,0), ∴f (2)=16+2a=0,解得a=-8,g (2)=4b+c=0. 又f(x)、g(x)的图象在点P处有相同的切线,且f′(x)=6x2-8,g′(x)=2bx, ∴f′ (2)=g′ (2),∴4b=16,∴b=4,c=-16. ∴a=-8,b=4,c=-16. (2)由 (1)知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16, ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16, ∴F′(x)=6x2+8x-8=6(x+2)(x-). 令F′(x)=6(x+2)(x-)>0,得x<-2或x>, ∴函数F(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(,+∞). 令F′(x)=6(x+2)(x-)<0,得-2 ∴函数F(x)的单调递减区间为(-2,). 综上,F(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(,+∞),单调递减区间为(-2,).
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