专题不等式选讲高考数学理二轮专项复习.docx
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专题不等式选讲高考数学理二轮专项复习
专题不等式选讲
不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等,命题的热点是绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.本部分命题形式单一、稳定,是三道选考题目中最易得分的,所以可重点突破.
【知识要点】
1.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔-a<f(x)<a;
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:
利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
2.绝对值三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式.
3.基本不等式
定理1:
设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:
如果a,b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.
定理3:
如果a,b,c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
定理4:
(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
4.柯西不等式
(1)设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(a)(b)≥(aibi)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:
设α,β为平面上的两个向量,则|a|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.
【复习要求】
(1)理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
①②
(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
(3)会用不等式①和②证明一些简单问题。
能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值
(4)了解证明不等式的基本方法:
比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法
【例题分析】
例1
(1)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
①解不等式f(x)>2;
②求函数y=f(x)的最小值.
[解] ①解法一:
令2x+1=0,x-4=0分别得x=-,x=4.
原不等式可化为:
或或
所以原不等式的解集为:
.
解法二:
f(x)=|2x+1|-|x-4|=画出f(x)的图象
y=2与f(x)图象的交点为(-7,2),(,2).由图象知f(x)>2的解集为.②由①的解法二中的图象知:
f(x)min=-.
解绝对值不等式的步骤和方法:
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点.
②划区间、去绝对值号.
③分别解去掉绝对值的不等式.
④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
(2)用图象法求解不等式
用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.
例2:
设函数f(x)=|3x-1|+ax+3.
①若a=1,解不等式f(x)≤4;
②若函数f(x)有最小值,求a的取值范围.
[解] ①当a=1时,f(x)=|3x-1|+x+3.
当x≥时,f(x)≤4可化为3x-1+x+3≤4,
解得≤x≤;
当x<时,f(x)≤4可化为-3x+1+x+3≤4,
解得0≤x<.
综上可得,原不等式的解集为.
②f(x)=|3x-1|+ax+3=,
函数f(x)有最小值的充要条件为,即-3≤a≤3.
例3
(1)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________.
[解析] 当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=,f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;
当a>-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.[答案] 4或-6
例4 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
①当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
②若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
[解] ①当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-1 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为. ②由题设可得, f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2. 由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞). 1.解决含参数的绝对值不等式问题,常用以下两种方法 (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决; (2)借助于绝对值的几何意义,先求出f(x)的最值或值域,然后再根据题目要求,求解参数的取值范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化: f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x) 例5 (1)已知函数f(x)=|x-1|. ①解不等式f(2x)+f(x+4)≥8; ②若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证: >f. [解] ①f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3| =,当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-; 当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2. 所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为. ②证明: >f等价于f(ab)>|a|f,即|ab-1|>|a-b|. 因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. 例6设a>0,b>0,且a+b=+.证明: ①a+b≥2; ②a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. [证明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. ①由基本不等式及ab=1, 有a+b≥2=2,即a+b≥2, 当且仅当a=b=1时等号成立.
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