高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版.docx
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高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版
第2课时 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图像判断极值
例1
(1)(2016·青岛模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是( )
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
答案
(1)C
(2)D
解析
(1)由f′(x)图像可知,x=0是函数f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点,故选C.
(2)由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;
当-2 当1 当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 例2 (2016·泉州模拟)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 解 (1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-. 又曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴, 得f′ (1)=0,即1-=0,解得a=e. (2)f′(x)=1-, ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值; ②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna, 当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0; 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,lna)上是减少的, 在(lna,+∞)上是增加的,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值. 命题点3 已知极值求参数 例3 (1)(2016·广州模拟)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________. (2)(2016·福州质检)若函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是( ) A.(2,)B.[2,) C.(2,)D.[2,) 答案 (1)-7 (2)C 解析 (1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则 解得或 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7. (2)若函数f(x)在区间(,3)上无极值, 则当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0恒成立或当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0恒成立. 当x∈(,3)时,y=x+的值域是[2,); 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0, 即a≤x+恒成立,a≤2; 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0, 即a≥x+恒成立,a≥. 因此要使函数f(x)在(,3)上有极值点, 实数a的取值范围是(2,). 思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤 ①确定函数的定义域; ②求导数f′(x); ③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. (1)函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( ) A.x=1B.x=-1 C.x=1或-1或0D.x=0 (2)函数y=2x-的极大值是________. 答案 (1)C (2)-3 解析 (1)∵f(x)=x4-2x2+3, ∴由f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时,f′(x)<0; 当-1 当0 当x>1时,f′(x)>0, ∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点. (2)y′=2+,令y′=0,得x=-1. 当x<-1或x>0时,y′>0;当-1 ∴当x=-1时,y取极大值-3. 题型二 用导数求函数的最值 例4 已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值. 解 (1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞), 所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞). 因此f′ (2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线斜率为. 又f (2)=ln2-, 所以曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0. (2)因为f(x)=+lnx-1, 所以f′(x)=-+=,x∈(0,e]. 令f′(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上是增加的,此时函数f(x)无最小值; 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna; ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上是减少的, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. 思维升华 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________________. 答案 (-∞,) 解析 由题意知,f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得3x2-x-2=0, 解得x=1或x=-, 又f (1)=,f(-)=, f(-1)=,f (2)=7, 故f(x)min=,∴a<. 题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 解 (1)f′(x)= =. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以当-3 即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的增区间是(-3,0),减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由 (1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有 解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)=. 因为f(x)的递增区间是(-3,0), 递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值. 若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,0)B.(-5,0) C.[-3,0)D.(-3,0) 答案 C 解析 由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数, 在(-2,0)上是减函数,作出其图像如图所示, 令x3+x2-=-,得 x=0或x=-3,则结合图像可知, 解得a∈[-3,0). 3.利用导数求函数的最值 典例 (12分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答 解 (1)f′(x)=-a(x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的递增区间为(0,+∞).[2分] ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当0 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的递增区间为, 递减区间为.[4分] 综上可知,当a≤0时,函数f(x)的递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的递增区间为,递减区间为.[5分] (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f (2)=ln2-2a.[6分] ②当≥2,即0 (1)=-a.[7分] ③当1<<2,即 (2)-f (1)=ln2-a,
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