第07单元轴对称.docx
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第07单元轴对称
第07单元轴对称
【联想融通】试试看,你能写出多少与“轴对称”相关的东西?
①轴对称图形与两图形成轴对称的区别;②常见的轴对称图形如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆、直线、双曲线、抛物线……③用轴对称的性质找等边、等角、全等形;④折叠与反射问题;⑤剪纸问题;⑥与轴对称相关的最值问题;⑦有从轴对称的角度去观察、思考、作辅助线的意识,如连角平分线、造全等形、造等腰三角形等;⑧一个角与它的半角共顶点的问题时可用轴对称妙解之;……
轴对称是新课标下一个重要的知识点,更是构造全等形的手段,非常重要,所以单列研究.因在前面的第4、5、6单元均有涉及,本单元仅从五个方面去研究:
①用轴对称作图;②用轴对称解决反射问题;③用轴对称求最值;④遇半角折叠之;⑤利用背景图形的轴对称性找全等.
一、用轴对称构图
【解法归一】从轴对称的角度去思考、去探索解决问题的渠道.
例7-1-1在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图7-1-1阴影部分摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有种.
图7-1-1图7-1-2①
【交流分享】从问题图形和背景图形的轴对称性出发去思考、观察、判断,就可以不重不漏地解决此类问题.
例7-1-2
(1)如图7-1-2①所示,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线CD向下打折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是()
(2)如图7-1-2②,已知正方形ABCD的对角线长为,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为()
A.B.C.8D.6
图7-1-2②
【交流分享】遇剪纸问题,或折叠后求阴影部分周长问题,怎么折叠再怎么还原回去.
例7-1-3
(1)如图7-1-3①,在扇形OAB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的长为.
图7-1-3①图7-1-3②
【交流分享】折痕就是角平分线,连接OD得等边三角形.
(2)如图7-1-3②,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.
【交流分享】如果∠APB=∠APD那么直线AP就是∠DPB的对称轴,B的对称点一定在射线PD上,作出B点的对称点后,问题就有思路了.
例7-1-4已知纸片⊙O的半径为2,如图7-1-4①,沿弦AB折叠操作.
(1)如图7-1-4②,当折叠后的AB弧经过圆心O时,则AB弧的长等于;
图7-1-4①图7-1-4②图7-1-4③
(2)如图7-1-4③,当弦AB=2时,折叠后AB弧所在圆的圆心O’到弦AB的距离等于;
(3)在图7-1-4①中,再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作.
①如图7-1-4④,当AB∥CD时,折叠后的CD弧与AB弧所在圆外切于点P,设点O到弦AB、CD的距离之和为d,则d=;
②如图7-1-4⑤,当AB与CD不平行,折叠后的CD弧与AB弧所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点,点N为CD的中点.试探究四边形OMPN的形状,并证明你的结论.
图7-1-4④图7-1-4⑤备用图
【交流分享】折叠后的AB弧与折叠前的AB弧关于弦AB轴对称,所以AB弧折叠前后所在的两圆也关于弦AB成轴对称.画出这两个成轴对称的圆问题就迎刃而解了.折叠问题是最常见的几何问题,折叠出角平分线、折叠出垂直平分线…如果常从轴对称这个视角看问题,常有奇效.
【提醒】四道题背景不同,用轴对称的着眼点也不同,在回头体会琢磨琢磨吧.
体验与感悟7-1
1.如图7-1-5①-④都是由三个小正方形组成的图形,请你在四个图中各补画一个同样的小正方形,使补画后的图形为轴对称图形.(画出对称轴)
图7-1-5①-④
2.如图7-1-6,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()
图7-1-6
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
3.如图7-1-7,在平行四边形ABCD中,∠A=70°,将平行四边形ABCD折叠,使点D、C分别落在点F、E处(点F、E都在AB所在的直线上),折痕为MN,则∠AMF等于()
A.70°B.40°C.30°D.20°
图7-1-7图7-1-8图7-1-9
4.如图7-1-8,在平行四边形ABCD中,AD=4,∠B=105°,E是BC边的中点,∠BAE=30°,将△ABE沿AE翻折,点B落在点F处,连接FC,则四边形ABCF的周长为.
5.如图7-1-9,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为度.
6.如图7-1-10,点P是边长为4的正方形纸片ABCD的AD边上一点(不与A、D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:
∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?
并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
图7-1-10
【交流分享】
(1)折叠是轴对称,故据对应边、角相等,看∠ABP与哪个角相等,再看∠ABP与哪个角互余,问题就能解决;
(2)根据
(1)的结论,利用角平分线性质作辅助线;(3)过F作AB的垂线,证全等,用x表示出BE(PE)和CF即可.
【提醒】把体验与感悟中的题与四道例题对比对比,哪个与哪个对应?
又有哪个对不上吗?
二、折叠与反射(反弹)问题
【解法归一】由于反射问题中的入射角等于反射角,恰好满足轴对称条件,利用轴对称画图、计算都非常直观.
例7-2-1如图7-2-1是一个台球桌示意图,想要球M经AC、BD两次反弹后落入A处球袋,则需要怎样击球?
画出击球后球的行走路线图.
图7-2-1图7-2-2①
【交流分享】画出M、A分别关于AC、BD的对称点E、F,连接EF.
例7-2-2阅读下列材料:
小贝遇到一个有趣的问题:
在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动,如图7-2-2①.
它从A点出发,沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即:
当P点碰到BC边,沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动,当P点碰到CD边,再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动,…,问P点第一次与D点重合前与边相碰几次,P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少?
小贝是这样思考的:
如图7-2-2②,将矩形ABCD沿直线CD折叠,得到矩形A1B1CD,由轴对称的知识,发现P2P3=P2E,P1A=P1E.
图7-2-2②
请你参考小贝的思路解决下列问题:
(1)P点第一次与D点重合前与边相碰次;P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm;
(2)进一步探究:
改变矩形ABCD中AD、AB的长,且满足,动点P从A点出发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上.若P点第一次与B点重合前与边相碰7次,则的值为.
【交流分享】两问方法一样,向右连续画出几个矩形,再根据对称性画出对称线段即可.
体验与感悟7-2
1.如图7-2-3是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是()
A.①B.②C.⑤D.⑥
图7-2-3图7-2-4图7-2-5
2.如图7-2-4,从A(0,2)点发出的一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过路径的长为.
3.如图7-2-5,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则光线从A到B经过的路线长是.
4.如图7-2-6,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为p.
(1)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则P=;
(2)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则P的取值范围是.
小亮的想法是:
将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C,再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C,如图2所示,则由轴对称的性质可知,,根据两点之间线段最短,可得.
小明认为:
继续再翻折3次更任意求出p的最小值.请参考他们的想法,写出你的答案.
图1图2
图7-2-6
【提醒】反射问题是怎样巧用轴对称的?
三、利用轴对称求最小值
【解法归一】作其中一点关于这条直线的对称点,连接这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求,此线段长即为最小距离.
例7-3如图7-3,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为()
A.130°B.120°C.110°D.100°
图7-3备用图
四、遇半角折叠之
【解法归一】证明题中“两角顶点重合,小角等于大角的一半”,轴对称也是此类题的解法之一.
例7-4已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
(1)如图7-4-1①,当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,求证:
;
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图7-4-1②的位置时,是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
图7-4-1①图7-4-1②
【交流分享】1.将△ACM沿直线CE对折得△DCM,连DN,通过证△NCD≌△NCB,证得DN=BN、∠MDN-90°问题得解;
2.因符合勾股定理,故需转化为在Rt△中解决.除交流分享1外,将△ACM逆时针旋转90°亦可得解.
体验与感悟7-4
1.如图7-4-2①,∠A=∠E=30°,∠ACB=∠F=90°,Rt△ABC≌Rt△EDF.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE、DF分别交线段AC于点M、K.
图7-4-2①图7-4-2②
(1)观察:
1)如图7-4-2②③,当∠CDF=0°或60°时,AM+CKMK(填“”、“”或“=”);2)如图7-4-2④,当∠CDF=30°时,AM+CKMK(只填“”或“”)
图7-4-2③图7-4-2④
(2)猜想:
如图7-4-2①,当时,AM+CKMK,证明你所得到的结论;
(3)如果,请直接写出∠CDF的度数和的值.
【提醒】旋转半角的题目,用轴对称的方法解时分几步走?
五、利用轴对称找(或造)全等
【解法归一】在做几何题时,有意识地从轴对称角度去观察图形、去补图、去探究,常有突破.
例7-5已知△ABC是等边三角形,将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
(1)如图7-5-1①,当,
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