大学期末考试数学实验试题.docx
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大学期末考试数学实验试题
考试试题
课程名称:
数学实验第一学期出题教师:
数学组
适用专业:
机械,物流,土木,自动化
班级:
学号:
姓名:
选做题目序号:
1.一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔,成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.如果不计算兔子的死亡数,请用Matlab程序给出在未来24个月中每个月的兔子对数.
分析:
兔子在第一个月的对数是1,第二个月也是1,第三个月则是2对,第四月是3对,以此类推,则数列是1,1,2,3,5,8,13,……从第三个元开始,每个元素都是前两个元素之和,由此可用循环语句得出结果。
>>clear
>>x=zeros(1,24);%定义一个1行24列的零矩阵%
>>x
(1)=1;%令x
(1)=1%
>>x
(2)=1;%令x
(2)=2%
>>fori=3:
24,%i从3开始循环,一直到24%
x(i)=x(i-1)+x(i-2);%每个元素等于前两个元素之和%
end
>>disp(x)%输出矩阵%
Columns1through5
11235
Columns6through10
813213455
Columns11through15
89144233377610
Columns16through20
9871597258441816765
Columns21through24
10946177112865746368
x(24)=46368即是本题所要求的数据。
2.定积分的过程可以分为分割、求和、取极限三部分,以
为例,利用已学过的Matlab命令,通过作图演示计算积分的过程,并与使用命令int()直接积分的结果进行比较.
分析:
首先将
在x=(0,1)之间分割成20个子区间,选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值,取区间的左端点乘以区间长度,然后全部加起来。
当分点逐渐增多的时候,等距的值越来越小,可以趋近无穷,然后求和。
%分割求和%
>>clear
>>x=linspace(0,1,21);%等距划分为20个子区间%
>>y=exp(x);%选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值%
>>y1=y(1:
20);s1=sum(y1)/20%取区间的左端点乘以区间长度,然后全部加起来%
s1=
6381/3808
%绘出图像%
>>clear
>>x=linspace(0,1,21);
>>y=exp(x);
>>plot(x,y,'r');holdon
>>fori=1:
20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')%绘出蓝色实心等间距的矩形条状图%
holdon
end
>>plot(x,y,'r')%将曲线绘出曲线为红色%
%取极限%
>>clear
>>symskn
>>s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n);
>>limit(s,n,inf)
ans=
exp
(1)-1
%用广义法求极限%
>>clear
>>symsx;
>>int(exp(x),0,1)
ans=
exp
(1)-1
3.现有一个木工、一个电工和一个油漆工,三人相互同意彼此装修他们自己的房子.在装修前,他们达成了如下协议:
每人总共工作10天(包括给自己家干活在内);每人的日工资根据一般的市价,在60~80元之间;每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等.表1是他们协商后制定出的工资天数的分配方案,如何计算出他们每人应得的工资(工资数要求为正整数)?
表1
工种
天数
木工
电工
油漆工
在木工家的工作天数
2
1
6
在电工家的工作天数
4
5
1
在油漆工家的工作天数
4
4
3
分析:
由题目中每人的日工资数应使每人的总收入与总支出相等,可得出方程组
8*x-y-6*z=0;4*x-5*y+z=0;4*x+4*y-7*z=0;解方程组即可。
%解方程组%
>>clear
>>a=[8,-1,-6;4,-5,1;4,4,-7];
>>rref(a)
ans=
10-31/36
01-8/9
000
得出x=-31/36*zy=-8/9*z
由于z为60~80之间的整数,则令z为一个矩阵,然后将每个元素带入关系式中,在得出的结果中寻找整数。
>>clear
>>z=60:
80%定义z的范围%
z=
Columns1through8
6061626364656667
Columns9through16
6869707172737475
Columns17through21
7677787980
>>fori=1:
21,
z(i)=31/36*z(i);%每个元素满足X与Z的关系式%
end
>>disp(z)
Columns1through8
155/31891/36961/18217/4496/92015/36341/62077/36
Columns9through16
527/9713/121085/182201/36622263/361147/18775/12
Columns17through21
589/92387/36403/62449/36620/9
>>clear
>>z=60:
80;
>>fori=1:
21,
z(i)=8/9*z(i);
end
>>disp(z)
Columns1through8
53.333354.222255.111156.000056.888957.777858.666759.5556
Columns9through16
60.444461.333362.222263.111164.000064.888965.777866.6667
Columns17through21
67.555668.444469.333370.222271.1111
由此可以找出当z=72时x=62,y=64,得出结果。
4.电影院的监测系统显示,当一场电影刚散场时,剧场内的二氧化碳的含量是4%.排风扇每分钟换入
的新鲜空气,其中二氧化碳的含量是0.02%.电影院的容积是
.假设在整个换气过程中空气的变化时均匀的.问,经过多长时间后剧场内二氧化碳的含量才能降到1%.
分析:
可以将电影院分成10部分,每部分
,其中包括4%的二氧化碳,即40立方米。
当充入新鲜空气时,新鲜空气中也含有0.02%的二氧化碳,即等于每一部分充气以后二氧化碳的浓度有原来的40(立方米)降到含量只有0.02%,而换掉的二氧化碳浓度为每分钟39.8(立方米),即可列式求结果。
%估算一下,什么时候二氧化碳的含量才能降到1%%
>>clear
>>x=zeros(1,10);
>>fori=1:
10,
x(i)=(400-39.8*i)/10000;
end
>>disp(x)
x=
Columns1through7
3.60203.20402.80602.40802.01001.61201.2140
Columns8through10
0.81600.41800.0200
>>disp(x<1)
0000000111
>>clear
>>symsx
>>y=solve('(400-39.8*x)/10000=0.01','x')
y=
7.5376884422110552763819095477387
当充气时间为7.5376884422110552763819095477387……时,即约为7.54分时,二氧化碳的浓度为0.01%。
下面画图说明符合要求的时间范围
代码为:
>>clear
>>x1=linspace(1,10);
>>y=(400-39.8*x1)/10000;
>>plot(x1,y)
>>subplot(2,2,1)
>>plot(x1,y)
>>gridon
>>x2=linspace(5,10);
>>y=(400-39.8*x2)/10000;
>>subplot(2,2,2)
>>plot(x2,y)
>>gridon
>>x3=linspace(7.4,7.7);
>>y=(400-39.8*x2)/10000;
>>subplot(2,2,3)
>>plot(x3,y)
>>gridon
>>x4=linspace(7.5,7.6);
>>y=(400-39.8*x2)/10000;
>>subplot(2,2,4)
>>plot(x4,y)
>>gridon
由此可以看出当时间大于7.534时浓度小于0.01%。
5.取函数
为实验函数,用Matlab命令分别就
将
按
展开成8阶Taylor公式,求出相应的8次近似多项式,在区间[-4,4]上画出这些近似多项式.从这个实验中能给你哪些思考?
%利用命令求出TAYLOR的展开式%
>>clear
>>symsx
>>y1=taylor(x*exp(x),-1,9)
y1=
-exp(-1)+1/2*exp(-1)*(x+1)^2+1/3*exp(-1)*(x+1)^3+1/8*exp(-1)*(x+1)^4+1/30*exp(-1)*(x+1)^5+1/144*exp(-1)*(x+1)^6+1/840*exp(-1)*(x+1)^7+1/5760*exp(-1)*(x+1)^8
>>y2=taylor(x*exp(x),0,9)
y2=
x+x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+1/24*x^5+1/120*x^6+1/720*x^7+1/5040*x^8
>>y3=taylor(x*exp(x),2,9)
y3=
9*exp(9)+10*exp(9)*(x-9)
图形为:
代码:
>>xx=[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4];
>>yy=subs(y1,x,xx);
>>plot(xx,yy)
>>yy2=subs(y2,x,xx);
>>plot(xx,yy)
>>subplot(2,2,1);
>>plot(xx,yy)
>>subplot(2,2,2);
>>plot(xx,yy2)
>>yy3=subs(y3,x,xx);
>>subplot(2,2,3);
>>plot(xx,yy3)
>>
%求近似多项式,并且画图%
>>clear
>>i=zeros(1,8)
i=
00000000
>>forx=1:
8,
i(x)=-exp(-1)+1/2*exp(-1)*(x+1)^2+1/3*exp(-1)*(x+1)^3+1/8*exp(-1)*(x+1)^4+1/30*exp(-1)*(x+1)^5+1/144*exp(-1)*(x+1)^6+1/840*exp(-1)*(x+1)^7+1/5760*exp(-1)*(x+1)^8;
end
>>disp(i)
1.0e+003*
0.00270.01450.05660.18570.53681.39663.32407.3314
>>forx=1:
8,
i(x)=x+x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+1/24*x^5+1/120*x^6+1/720*x^7+1/5040*x^8;
end
>>disp(i)
1.0e+004*
0.00030.00150.00600.02070.06430.18010.45961.0802
>>forx=1:
8,
i(x)=9*exp(9)+10*exp(9)*(x-9);
end
>>disp(i)
1.0e+005*
-5.7532-4.9429-4.1326-3.3223-2.5120-1.7016-0.8913-0.0810
>>clear
>>x=[12345678];
>>y1=[0.0027e+0030.0145e+0030.0566e+0030.1857e+0030.5368e+0031.3966e+0033.3240e+0037.3314e+003];
>>y2=[0.0003e+0040.0015e+0040.0060e+0040.0207e+0040.0643e+0040.1801e+0040.4596e+0041.0802e+004];
>>y3=[-5.7532e+004-4.9429e+004-4.1326e+004-3.3223e+004-2.5120e+004-1.7016e+004-0.8913e+004-0.0810e+004];
>>n=8;
>>p=polyfit(x,y1,n)
p=
Columns1through8
-0.00000.0044-0.03640.3264-0.84772.298300.0504
Column9
0.9045
>>p=polyfit(x,y2,n)
p=
Columns1through8
-0.00030.0179-0.20531.4535-4.73648.26010-9.0918
Column9
7.3023
>>p=polyfit(x,y3,n)
p3=
1.0e+004*
Columns1through8
0.0000-0.00000.0000-0.00010.0003-0.000400.8108
Column9
-6.5638
>>xi=linspace(0,8,100);
>>z1=polyval(p1,xi);
>>z2=polyval(p2,xi);
>>z3=polyval(p3,xi);
>>plot(x,y1,'o',x,y1,xi,z1,':
')
>>plot(x,y2,'o',x,y2,xi,z2,':
')
>>plot(x,y3,'o',x,y3,xi,z3,':
')
>>plot(x,y2,'o',x,y2,xi,z2,':
')
6.正态分布的密度函数和分布函数分别为:
我们知道:
正态分布的密度函数是对称函数,且对称轴为
当
取定时,
越小,图形越尖锐;当
越大时,图形越平缓.请利用求正态分布密度函数的命令normpdf和分布函数命令normcdf,通过图形验证正态分布的密度函数和分布函数与参数
的关系,并用Matlab命令求正态分布的期望和方差.
7.
(1)一般说来多项式拟合的次数越高,对原函数的近似就越精确.以并将它们和原函数画在一张图上进行比较
为例,求其五次拟合多项式和八次多项式,.
%求出x=0123456789的各个值%
>>clear
>>x=0;
>>y1=exp(-x)*sin(x)
y1=
0
>>x=1;
>>y2=exp(-x)*sin(x)
y2=
0.3096
>>x=2;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
0.1231
>>x=3;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
0.0070
>>x=4;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
-0.0139
>>x=5;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
-0.0065
>>x=6;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
-6.9260e-004
>>x=7;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
5.9909e-004
>>x=8;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
3.3189e-004
>>x=9;
>>y=exp(-x)*sin(x)
y=
5.0859e-005
%求x的5次近似多项式%
>>x=[012345];
>>y=[00.30960.12310.0070-0.139-0.0065];
>>n=5;
>>p=polyfit(x,y,n)
p=
0.0090-0.11740.5748-1.28501.1283-0.0000%此为多项式的各项系数的行向量%
%将曲线拟合解与数据点比较,可将两者都绘成图%
>>xi=linspace(0,5,100);%用于绘图的x轴的数据点%
>>z=polyval(p,xi);
>>plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':
')%绘出原始数据X和Y,用“o”标出数据点,在数据点之间,再用直线重画原始数据,并用虚线,画出多项式数据xi和z%
%求8次近似多项式%
>>x=[0123456789];
>>y=[00.30960.12310.0070-0.139-0.0065-6.9260e-0045.9909e-0043.3189e-0045.0859e-005];
>>n=8;
>>p=polyfit(x,y,n)
p=
-0.00000.0008-0.01200.0920-0.40851.0869-1.69741.24460.0003
>>xi=linspace(0,9,100);
>>z=polyval(p,xi);
>>plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':
')
%将两个图放到一起进行比较%
>>subplot(1,2,1)
>>x=[012345];
>>y=[00.30960.12310.0070-0.139-0.0065];
>>n=5;
>>p=polyfit(x,y,n);
>>xi=linspace(0,5,100);
>>z=polyval(p,xi);
>>plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':
')
>>subplot(1,2,2)
>>x=[0123456789];
>>y=[00.30960.12310.0070-0.139-0.0065-6.9260e-0045.9909e-0043.3189e-0045.0859e-005];
>>n=8;
>>p=polyfit(x,y,n);
>>xi=linspace(0,9,100);
>>z=polyval(p,xi);
>>plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':
')
>>
(2)给定实验数据如表2所示
表2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
15.3
20.5
27.4
36.6
49.1
65.6
87.8
117.6
试用polyfit()命令将以上数据拟合成指数函数
(a,b均为常数).
>>clear
>>x=[12345678];
>>y=[15.320.527.436.649.165.687.8117.6];
>>n=8;
>>p=polyfit(x,y,n)
p=
-0.00010.0045-0.05460.3397-1.11061.766101.873712.4813
>>xi=linspace(0,9,100);
>>z=polyval(p,xi);
>>plot(x,y,'o',x,y,xi,z,':
')
>>
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