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5状态反馈控制器的设计
Chapter5状态反馈控制器设计
控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号(时间的函数)加到系统输入端,使系统具有某种期望的性能。
然而,由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况,这就要求对这些偏差进行及时修正,这就是“反馈控制”。
在经典控
制理论中,我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器,因此只能用系统输出作为反馈信号,而在现代控制理论中,则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器,可以实现各种目的,使闭环系统满足设计要求。
参见R38例5.3.3,通过状态反馈的极点配置,使闭环系统的超调量匚p乞5%,峰值时间(超调时间)tp乞0.5s,阻尼振荡频率壮乞10。
5.1线性反馈控制系统的结构与性质
设系统S=(A,B,C)为x二AxBuy二Cx(5-1)
图5-1经典控制-输岀反馈闭环系统
经典控制中采用输出(和输出导数)反馈(图5-1):
其控制规律为:
u二-FyvF为标量,v为参考输入(5-2)
x二AxBu二AxB(-FyV(A-BFC)xBv
可见,在经典控制中,通过适当选择F,可以利用输出反馈改善系统的动态性能现代控制中采用状态反馈(图5-2):
其控制规律为:
u--Kxv,K〜mn(5-3)
(K的行=u的行,K的列=x的行)称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统Sk=(Ak,B,C)的状态空间表达式为
x=(A-BK)xBv=AkXBvy=Cx(5-4)
式中:
|AK三A-BK
图5-2现代控制-状态反馈闭环系统
若K-FC,“状态反馈”退化成“输出反馈”,表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例,因此,在经典控制理论中的输出反馈”(比例控制P)和输
出导数反馈”(微分控制D)能实现的任务,状态反馈必能实现,反之则未必。
定理5-1(p24定理5.1.1)若n阶系统S=(A,B,C)是状态完全能控的,则经过状态反馈后的闭环系统Sk=(Ak,B,C)仍然是状态完全能控的。
即状态反馈不改变系统的能控性。
但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。
证明对系统(5-1)的任意能控状态x,根据能控性定义,在O:
:
:
tiUa时间内,存在一个控制作用u(t),使得在该控制作用下X(O)=X(t)>X(ta)=O。
对(5-1)
加了状态反馈控制律U一KxV后,需要证明x仍然是闭环系统(5-3)的能控
状态。
事实上,在时间段O:
:
:
t^ta上,取V=uKx(5-5)
则由于x=(A_BK)x(t)B[u(t)Kx(t)]二Ax(t)Bu(t)
所以,x也是闭环系统(5-3)的能控状态。
由于x的任意性,定理得证。
X1
'12Yx
f\
—
+
u,y=(12)
<31Ax2丿
J丿
例5-1原系统为 ,状态反馈矩阵为 K=(-3-1),讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性。 ,z02' 'C '12x rank =2=n,rank =rank <11」 iCA丿 <74」 =2=n 解: rank(BAB)= 原系统能控且能观;经状态反馈后, (状态反馈有可能改变输出端)。 定理5-2(P26定理5.1.2)“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性(证明略) 定理5-3(R26定理5.1.3)对能控的单输入、单输出系统,“状态反馈”只改变 传递函数的分母多项式的系数,而不能移动系统的零点。 状态空间模型 证明: 系统传递函数为G(s)二C(sl—A)」B,由于系统的能控性, 必能通过非奇异变换得到(等价于)能控标准型(A,B,C) 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数,所以 采用状态反馈u=-1~~后,同理可得闭环系统的传递函数 其中〜=[koki...心』。 由 (1)、 (2)可知,状态反馈只改变系统的极点多项式(只改变传递函数的分母多项式的系数),而不会改变分子多项式的系数。 此时,只要不发生零极点相消的现象,状态反馈就不能改变零点。 证毕。 5.2稳定化状态反馈控制器的设计 本节的目的就是要寻找“反馈控制器”或者说求出“控制律”,使系统稳定以及使系统的性能满足设计要求。 稳定是一个系统正常运行的首要条件。 若一个系统不稳定,则必须运用外部控制设法让其稳定。 如何确定增益矩阵K,使下面闭环系统是渐近稳定的? x=(A-BK)x+Bv=AKx+Bvy=Cx(5-6) 根据Lyapunov稳定性定理,系统(5-6)渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov函数V(x)=xTPx,其中P是待定的对称正定矩阵。 可以通过使标量函数V(x)二xTPx的时间导数是负定的来确定P和K。 5.2.1Riccati矩阵方程处理方法 这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题,也可用于鲁棒控制器的设计。 (鲁棒是Robust的音译,也就是健壮和强壮的意思。 鲁棒性(robustness)就 是系统的健壮性。 它是在异常和危险情况下系统生存的关键。 比如说,计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下,能否不死机、不崩溃,就是该软件的鲁棒性。 所谓鲁棒性”,是指控制系统 在一定(结构,大小)的参数摄动下,维持某些性能的特性。 根据对性能的不同定义,可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。 以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器) 对标量函数V(X)=xTPx求时间导数,并利用状态方程AxBu得: dV(x)tT*TTTTt xTPxxTPx=XT(ATPPA)xuTBTPxxTPBu(5-7) dt 应用PT二p可知,后面两项“标量”相等 uTBTPx=xTPBu(5-8) 于是dV(x2=xT(ATPPA)x2xTPBu(5-9) dt 若选取控制律u具有以下结构形式|u=-kBTPx|k>0(5-10) dV(x)=xt(AtPPA)x-2kxTPBBTPx=xt(AtPPA-2kPBBTP)x(5-11) dt 进一步,选取矩阵PT=P使其满足Riccati(里卡提)矩阵方程 ATP+PA-2kPBTB^=-打(5-12) 则=_xTx: : : 0,满足渐进稳定的充要条件。 dt 从(5-12)解出正定对称矩阵PT二P,代入(5-10)就可得到控制规律。 这种基于Riccati矩阵方程(5-12)的稳定化控制器设计方法称为Riccati方程处理方法。 若对给定的k00,Riccati方程有一个正定对称解矩阵P,则对任意的k一k°, dV(x) dt =xt(AtPPA-2kPBBTP)xExt(AtPPA-2k0PBBTP)x-_xTx: : 0 因此,对任意k_k。 ,u=-kBTPx都是系统的稳定化控制律。 这表明稳定化 所以,P是正定的,因此,对任意的k-1 都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器(取k=2画图)o 5.2.2线性矩阵不等式处理方法 根据线性时不变系统稳定性定理,闭环系统|£=(A-BK)x+Bv|渐近稳定的充要条件是存在一个正定对称矩阵P,使得 (A—BK)TP+P(A—BK)<0|(5-13) 求解上述P和K耦合的非线性矩阵方程十分困难,为此,先将上式写开成 PAATP—KTBTP—PBK: : 0 两边左XP」、右XP,对称矩阵APJPjAt_(PjKt)Bt_B(KP-K0 记X=P」0,Y=KP,(5-14) AXXAt—YtBt—BY: : : 0(5-15) 不等式(5-15)是一个关于矩阵变量X、Y的线性矩阵不等式。 如果能从(5-15)确定X、丫(X正定对称矩阵),则丫二KP,是系统(5-1)x=Ax十Bu的一个稳定化状态反馈增益矩阵,X二=P>0是|X=(A-BK)x+Bv|相应闭环系统的一个Lyapunov矩阵。 例5-3(P130例5.2.2,略) 5.3极点配置 在实际控制系统设计中,不仅要保证系统是稳定的,而且还要使系统具有某些我们所希望的动态性能。 特别地,希望选择合适的矩阵K,使得加入负反馈后的闭环系统|X=(A-BK)x+Bv|的极点(特征值)|det[sl—(A-BK)]=0|位于复平面上预先给定的位置,这样就能保证系统具有我们指定的动态响应特性,这样的方 法称为“极点配置”。 对给定系统,要解决其极点配置问题,需要回答两个问题: (1)对什么样的系统,极点配置问题可解,即使得闭环系统具有给定极点的状 态反馈控制器存在性; (2)如何设计使闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器。 定理5-4系统S=(A,B,C)存在状态反馈增益矩阵K,u--Kx,使相应的闭环系统Sk(A-BK,B,C)的极点可以任意配置的充要条件是系统S是状态完全能控。 证明: 必要性。 假设被控对象不是完全能控的,即有一部分能控,有一部分不能控,则一定存在某个非奇异矩阵T使X二TX,使变换后得到等价系统Sk。 x=(A-BK)xBv,y二Cx =Tx=T(A一BK)TJTxTBv,y二CT_1x 111 =x=(TAT--TBKT~)xTBv=(A-BK)xBv;八CT-x; 比较得到变换后的等价系统: (A11,BJ是能控子系统的能控对,A22是不能控子系统部分。 所以det[sl-(A-BK)]二det[sl-(T^AT-T「BKT)] 二detT[si-(A-BK)]T二detTdet[sl-(A-BK)]detT =det 进一步 =det sl-%11A12〕+ 电1〕_-1 (KcKc) 10A22丿 宀丿一 =det sl—(A11—B〔Kc) -(A12-B〔Kc) 、、0 sl-A22 丿 =det[sl—(An—EKc)]dets(-瓦2)(5-18) 不能控子系统 能控子系统 det[sl—(A-BK)] 结论(5-18)表明: ①状态反馈的能控分量Kc只能通过输入矩阵的能控部分巳来改变被控对象的能控子系统An的极点,而不能改变不能控子系统A22的极点。 因此S=(A,B,C)系统 (完全)能控是能够任意配置(改变)极点的必要条件。 ②状态反馈的不能控分量KC对“极点配置”没有贡献。 充分性。 如果S=(A,B,C)完全能控,就能保证通过改变状态反馈增益K,使 det[sl-(A-BK)]=0的极点任意配置。 推论5-1当系统S=(A,B,C)不是完全能控时,通过状态反馈U=-Kxv使其闭环 系统稳定的充要条件是系统S的不能控极点det(sl-瓦2)=0都具有负实部(称为能稳定或能镇定的Stabilizable)。 能控 稳定 最好的,也可以通过极点配置K改造成更稳定 不稳定 可以通过极点配置K改造AtAk=A—BK 不能控 稳定 能镇定的,虽不能通过极点配置改造,但也无妨 不稳定 最糟糕! 不稳疋,还不能通过极点配置改造 531能控标准形的极点配置 r0 100 设被控对象为能控标准形(A,b), 9 9+ : 0 A= 0 ,b= 001 0 1一a0 —a1...—an」」 J丿 n -nJ,,, 原系统的特征多项式为deU■(—A) =A +an」 人+…+a1人4 a0 希望状态反馈后,闭环系统为特征值集合上二{,1n}的特征多项式 n det(AI-代)=det[扎I—(A—bk)]希望口(九一入)=Xn+bn」九n」+...+6九+b0 0 a Ac=(A—bk)=0 l_a。 _ko 比较两边系数可得: k=(k°匕...kn』)=(b0-a0-a1...bn』—a*」)(5-19) 馈控制器,使闭环系统极点为(-2-3) 解: 利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件,使两多项式'同 次幕的系数相等,可以直接解出增益矩阵K,称为直接法。 本题采用直接设计方法,设u--(k。 kjx,代入系统方程得 42、 det(sl-代)二■(3飞)■-2k。 ,希望状态反馈后的闭环系统特征多 比较可得: 3亠ki=5,-2亠ko=6=ki=2,ko=8 所求的状态反馈为u=-kx=-(82)X1 lX2丿 例5-4图闭环控制系统的状态变量图 对于一般状态方程,如果他是能控的,即总是存在线性变换x二Tx,将状态 F0 1 0 0' 3 0 0 + 0 I- A= 0 0 0 1 ,B= 0 厂a。 _a1 ・・■ 一务4丿 J丿 T二T;(A,B)】c」(A,B) 因此,对于一般状态方程,只要他是能控的,就可以进行任意极点配置。 而直接配置方法适用于一般状态方程。 5.3.2极点配置设计状态反馈控制器的算法 单输入系统的极点配置主要采用变换法和直接法: 通过能控标准型(非能控标准型可以通过非奇异变换T变成能控标准型)的设计方法称为变换法;利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件,使两多项式■同次幕的系数相等,可以直接解出增益矩阵K,称为直接法。 10 例5-5(Pi36例5.3.2)被控对象的传递函数为G(s)—,设计一个状 s(s+1)(s+2) 态反馈控制器,使闭环系统的极点为-2,-1—j。 解: 为了使设计的状态反馈控制器便于实施,描述被控对象的状态空间模型应当尽可能地选择那些易于直接测量的信号作为状态变量。 将传递函数做一下串联分解,将串联子系统1,■^,■^—的输出选为状态变量x1,x2,x3,显然,这 ss+1s+2 样的状态变量容易直接测量 u I I x? r 1 刃一 10 y 5+2 j+l s ■0 1 0、 X= 0 -1 1 x+ 0 u, <0 0 -2; 由此得到状态空间模型为 y=(1000)x 显然,这是一个“非能控标准型”的状态空间模型。 可以通过“变换法”将其变换成“能控标准型”。 (1)变换法首先确定非奇异变换X二Tx,将串联分解实现变换为能控标准型巾01A 原系统的能控性矩阵为: 『c=(BABA2B)=01-3 J-24」 巾01匸「221、 矿=01-3=[310 订-24丿(100」 由图我们得到det(sl「A)二s(s■1)(s2)=s33s22s0 0 1 0x 3 因此,能控标准型为A= 0 0 1 ,B= 0 e -2 _3J J丿 z0 0 1 X 〜〜〜〜〜2〜 *=(BABAB)=01-3 J-37, 根据P76定理3.1.4,状态变换矩阵为丁=~誌『=(百ABA2B)(BABA2B)° 0 0 1、 ■22r q 0 0、 0 o' T= 0 1 -3 3 1 0 — 0 1 0 ,宀 0 1 0 J -3 7丿 I1 0 0> -1 <0 1 1丿 广100Y0\ TB=010|0 <0-1J" 由于所希望的f希望=(s-2)(s-1-j)(s•1•j)=s'•4s26s4 要设计的状态反馈控制器增益为(K为能控标准型的配置) 0 0f K二 =KT=(4-06-24-3)T=(44 1) 0 1 0 =(431) <0 -1 1丿 即 u=-Kx=-KTx=-Kx=(-4-3 -1)x (2)直接法设uk 2k3)x 其闭环系统状态矩阵为 ■0 1 0、 a 广0 1 0' A-BK= 0 -1 1 0 (k1k2k3)— 0 -1 1 <0 0 一2」 ■一k1 _k2 一2-k3j det[sl-(A-BK)]二s3(3k3)s2(2k2k3)sk1 f希望二(s2)(s1-j)(s1j)二s34s26s4 比较可知3•k3=42k2k3=6K=4 即k3=1k2=3k^i=4u=-Kx=(-4-3-1)x 工程实践中,系统的动态特性往往以时域指标给出,比如要求超调量小于等 于多少,超调时间不超过多少,阻尼振荡频率不大于多少等。 例5-6(P138例5.3.3)如图被控系统,设计状态反馈控制器,使得闭环系统是渐 值时间(超调时间)tp乞0.5S,阻尼振荡频率<10。 解: 由系统结构图,可以得到被控系统的一个状态空间模型 ■0 1 0、 x= 0 -12 1 x+ 0 u,y=(100)x 1° 0 6」 容易检验该系统是能控的,因此,可以通过状态反馈来实现闭环系统的任意 极点配置。 本题无开环零点,闭环系统的动态性能完全由闭环极点所决定。 由于所考虑的系统为3阶系统,故有3个闭环极点。 期望的3个极点可以这样安排: 一个极点远离虚轴,对闭环系统性能影响极小,于是可将系统近似成只有一对主导极点为打,2=_®n±j国n/-匚2的2阶系统。 -2阶系统的阻尼比;•・n-2阶系统无阻尼自振频率。 经配置后(上式取等号)闭环系统的主导极点为: 、,2=_n-jn..1_2=-7.07_j7.07 此时,人,2=^n=10,取另一“远离虚轴”极点为入3=-iq打,=-100故希望的闭环特征多项式 2232 fkC)二c100)(,「n)八114.1'151010000 有两种方法配置: (1)把它转换成能控标准型进行配置(书上) (2)直接配置设K=(匕k2k3) ■'s _1 0' det[sl—(A—BK)]= 0 s+12 _1 32 =s+(6+k3)s+(12k3+k2—72)s+k1 k2 s_6+k3丿 '6+k3=114.1 12k3+k2—72=1510 二反馈增益为K =(10000284.8108.1) K=10000 所求的状态反馈为u二-kxv=(-10000-284.8-108.1)xv 例5-7(Pi40例534)倒立摆系统的线性化状态空间模型(对应71: 0)为 其中x=(yyr旳丁是系统的状态向量,二是摆杆的角位移,y是小车的位 移,u是作用在小车上的力。 设计一个状态反馈控制器u=—Kx,使系统的闭环极点是-1-2—1_j 解: 开环系统的特征多项式为 det(sl-A)二s2(s-11)(s.11),对应极点(00.11-、11) 因此,开环系统是不稳定的,这和直观感受到的现象是一致的。 以初始状态 x(0)=(0.10-0.11)T的开环系统状态变量为二y(左上,小车位移),2y (右上,小车速度),X3二二(左下,摆杆角位移),X4-二(右下,摆杆角速度) 轨迹图进一步验证了这一事实,它们都远离原点,都是不稳定的 但倒立摆系统是能控的,因此可以进行极点配置,以保证闭环系统是渐近稳定的 用直接法求得u=-Kx二-(k1k2k3k4)x=-(0.4121.46)x (0 1 0 0] 闭环系统为x'=(A—BK)x= 0.4 1 20.4 6 x 0 0 0 1「 l—0.4 -1 —10.4 —6 再在闭环系统中考察初始状态 x(0)=(0.10-0.11)T的响应,编制和执行以下 m-文件(参见R42),可得 533Ackermann公式 Ackermann公式给出了极点配置K的解析表达式,特别适合于编程计算。 假设系统是状态完全能控的,给定的期望闭环极点为d鼻,,'n,线性状态反馈控制器为u=-Kx,得到闭环系统状态方程为 x=(A-BK)xAK二A—BK(5-20) 则极点配置要求K满足det(,l-人)乂--工厂「- 「ndnJ'di'd。 二f希望c)(5-21) 根据凯莱-哈米尔顿定理,Ak应满足其自身的特征方程,即 f(AJ二AKdn^An4dAdol=0(5-22) 为简化推导,以n=3为例,可以方便地推广到任意阶的单输入系统 考虑恒等式I"A^.nA-BK AK二A2_ABK-BKAkA;二A3_A2BK_ABKAk_BKAK 将上述等式分别d。 、d「dM并相加得 doIdiAdzAAK =d0ld“(A_BK)d2(A_ABK_BKAJ_A2BK_ABKAk_BKAK =d0ld1Ad2A2A-d1BK_d2ABK_d2BKAK_A2BK_ABK\_BKAK
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- 状态 反馈 控制器 设计