高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案.docx
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高三数学一轮复习第4讲函数的基本性质教案
函数的基本性质
课题
函数的基本性质(共4课)
修改与创新
课标要求
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;
2.结合具体函数,了解奇偶性的含义。
命题走向
从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必须与函数性质相关联,因此在复习中,针对不同的函数类别及综合情况,归纳出一定的复习线索。
预测2017年高考的出题思路是:
通过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是:
(1)考察函数性质的选择题1个或1个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的大题;
(2)以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质,以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
教学准备
多媒体
教学过程
要点精讲:
1.奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.单调性
(1)定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
注意:
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数y=f,其中u=g(x),A是y=f定义域的某个区间,B是映射g: x→u=g(x)的象集: ①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f在A上是增函数; ②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f在A上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2∈D,且x1 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数增函数是增函数; 减函数减函数是减函数; 增函数减函数是增函数; 减函数增函数是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 注意: 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 4.周期性 (1)定义: 如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数; (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。 典例解析: 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y=D.y=x|x| 解析: 选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D. 2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A.k>B.k< C.k>-D.k<- 解析: 选D 函数y=(2k+1)x+b是减函数, 则2k+1<0,即k<-. 3.(教材习题改编)函数f(x)=的最大值是( ) A.B. C.D. 解析: 选D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<≤. 4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈)的单调增区间为________;f(x)max=________. 解析: 函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为,f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案: 8 5.已知函数f(x)为R上的减函数,若m (1),则实数x的取值范围是______. 解析: 由题意知f(m)>f(n); >1,即|x|<1,且x≠0. 故-1 答案: > (-1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子 区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整 个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函 数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、 对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函 数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性, 再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 函数单调性的判断 典题导入 (理)判断函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调性. 设x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2). 当≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1-<0, 有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 此时,函数f(x)=x+(a>0)是减函数; 当x1>x2≥时,x1-x2>0,1->0, 有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 此时,函数f(x)=x+(a>0)是增函数. 综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0,]上为减函数;在[,+∞)上为增函数. (文)证明函数f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函数. 设x1,x2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x1 则f(x1)=2x1-,f(x2)=2x2-, f(x1)-f(x2)=- =2(x1-x2)+ =(x1-x2) 由于x1 因此f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) 故f(x)在(-∞,0)上是增函数. 由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 以题试法 1.判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性. 解: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 则g(x1)-g(x2)=- =, 由于1 所以x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1) 故g(x)在(1,+∞)上是增函数. 求函数的单调区间 典题导入 (2012·长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取函数f(x)=2-|x|.当k=时,函数fk(x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,-1)D.(1,+∞) 由f(x)>,得-1 所以f(x)= 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1). C 若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不变,则fk(x)的单调增区间为________. 解析: 函数f(x)=log2|x|,k=时,函数fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0,]. 答案: (0,] 由题悟法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法: 先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法: 利用导数的正负确定函数的单调区间. 以题试法 2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( ) A.B. C.D.. 单调性的应用 典题导入 (1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m) (2)(2012·安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是 (1)∵f(x)在R上为增函数,∴2-m ∴m2+m-2>0.∴m>1或m<-2. (2)由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为,故3=-,解得a=-6. (1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意: 一是函数定义域的限制;二是函
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- 数学 一轮 复习 函数 基本 性质 教案