自考概率论与数理统计经管类真题及答案详解.docx
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自考概率论与数理统计经管类真题及答案详解
2012年10月真题讲解
一、前言
学员朋友们,你们好!
现在,对《全国2012年10月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题》进行必要的分析,并详细解答,供学员朋友们学习和应试参考。
三点建议:
一是在听取本次串讲前,请对课本内容进行一次较全面的复习,以便取得最佳的听课效果;二是在听取本次串讲前,务必将本套试题独立地做一遍,以便了解试题考察的知识点,与以及个人对课程全部内容的掌握情况,有重点的听取本次串讲;三是,在听取串讲的过程中,对重点、难点的题目,应该反复多听几遍,探求解题规律,提高解题能力。
一点说明:
本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。
二、考点分析
1.总体印象
对本套试题的总体印象是:
内容比较常规,有的题目比较新鲜,个别题目难度稍大。
内容比较常规:
①概率分数偏高,共74分;统计分数只占26分,与今年7月的考题基本相同,以往考题的分数分布情况稍有不同;②除《回归分析》仅占2分外,对课本中其他各章内容都有涉及;③几乎每道题都可以在课本上找到出处。
如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级,本套试题容易的题目约占24分,中等题目约占60分,稍偏难题目约占16分,包括计算量比较大额题目。
2.考点分布
按照以往的分类方法:
事件与概率约18分,一维随机变量(包括数字特征)约22分,二维随机变量(包括数字特征)约30分,大数定律4分,统计量及其分布6分,参数估计6分,假设检验12分,回归分析2分。
考点分布的柱状图如下
三、试题详解
选择题部分
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.已知事件A,B,A∪B的概率分别为0.5,0.4,0.6,则P(A)=
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.5
[918150101]
【答案】B
【解析】因为,所以,而,
所以,即;
又由集合的加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.4-0.6=0.3,
所以=0.5-0.3=0.2,故选择B.
[快解]用Venn图可以很快得到答案:
【提示】1.本题涉及集合的运算性质:
(i)交换律:
A∪B=B∪A,AB=BA;
(ii)结合律:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC);
(iii)分配律:
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
(iv)摩根律(对偶律),.
2.本题涉及互不相容事件的概念和性质:
若事件A与B不能同时发生,称事件A与B互不相容或互斥,可表示为A∩B=,且P(A∪B)=P(A)+P(B).
3.本题略难,如果考试时遇到本试题的情况,可先跳过此题,有剩余时间再考虑。
2.设F(x)为随机变量X的分布函数,则有
A.F(-∞)=0,F(+∞)=0B.F(-∞)=1,F(+∞)=0
C.F(-∞)=0,F(+∞)=1D.F(-∞)=1,F(+∞)=1
[918150102]
【答案】C
【解析】根据分布函数的性质,选择C。
【提示】分布函数的性质:
①0≤F(x)≤1;
②对任意x1,x2(x1 ③F(x)是单调非减函数; ④,; ⑤F(x)右连续; ⑥设x为f(x)的连续点,则F‘(x)存在,且F’(x)=f(x). 3.设二维随机变量(X,Y)服从区域D: x2+y2≤1上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度为 A.f(x,y)=1 B. C.f(x,y)= D. [918150103] 【答案】D 【解析】由课本p68,定义3-6: 设D为平面上的有界区域,其面积为S且S>0.如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为 , 则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布. 本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆,包括边界,属于有界区域,其面积S=π, 故选择D. 【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布: 均匀分布和正态分布,注意它们的定义。 若(X,Y)服从二维正态分布,表示为(X,Y)~. 4.设随机变量X服从参数为2的指数分布,则E(2X-1)= A.0B.1 C.3D.4 [918150104] 【答案】A 【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布,即λ=2,所以;又根据数学期望的性质有E(2X-1)=2E(X)-1=1-1=0, 故选择A. 【提示】1.常用的六种分布 (1)常用离散型随机变量的分布: X 0 1 概率 q p A.两点分布 ①分布列 ②数学期望: E(X)=P ③方差: D(X)=pq。 B.二项分布: X~B(n,p) ①分布列: ,k=0,1,2,…,n; ②数学期望: E(X)=np ③方差: D(X)=npq C.泊松分布: X~P(λ) ①分布列: ,k=0,1,2,… ②数学期望: E(X)=λ ③方差: D(X)=λ (2)常用连续型随机变量的分布 A.均匀分布: X~U[a,b] ①密度函数: ②分布函数: , ③数学期望: E(X)=, ④方差: D(X)=. B.指数分布: X~E(λ) ①密度函数: ②分布函数: , ③数学期望: E(X)=, ④方差: D(X)=. C.正态分布 (A)正态分布: X~N(μ,σ2) ①密度函数: ,-∞ ②分布函数: ③数学期望: E(X)=μ,④方差: D(X)=σ2, ⑤标准化代换: 若X~N(μ,σ2),,则Y~N(0,1). (B)标准正态分布: X~N(0,1) ①密度函数: ,-∞ ②分布函数: ,-∞ ③数学期望: E(X)=0, ④方差: D(X)=1. 2.数学期望的性质 ①E(c)=c,c为常数; ②E(aX)=aE(X),a为常数; ③E(X+b)=E(X)+b,b为常数; ④E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数。 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律 则D(3X)= A. B.2 C.4 D.6 [918150105] 【答案】B 【解析】由已知的分布律,X的边缘分布律为 X 1 2 P 2/3 1/3 则,; 根据方差的性质有D(3X)=9D(X)=2,故选择B. 【提示】 (1)离散型随机变量的方差: 定义式: ; 计算式: D(X)=E(X)2-[E(X)]2 (2)方差的性质 ①D(c=0),c为常数; ②D(aX)=a2D(X),a为常数; ③D(X)+b)=D(X),b为常数; ④D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数。 6.设X1,X2,…,Xn…为相互独立同分布的随机变量序列,且E(X1)=0,D(X1)=1,则 A.0 B.0.25 C.0.5 D.1 [918150106] 【答案】C 【解析】不等式等价于不等式, 由独立同分布序列的中心极限定理, 代入μ=0,σ=1,则 故选择C. 【提示】独立同分布序列的中心极限定理: (课本P120,定理5-4): 设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…).记随机变量 的分布函数为Fn(x),则对于任意实数x,有 =, 其中φ(x)为标准正态分布的分布函数。 应用: 不论X1,X2,…,Xn,…服从什么分布,当n充分大时, (1)近似服从正态分布; (2)近似服从正态分布,其中,D(Xi)=σ2(i=1,2,…)。 (2)对于大数定律与中心极限定理,除了清楚条件和结论外,更重要的是理解它们所回答的问题,以及在实际中的应用。 (课本P118,看书讲解) 7.设x1,x2,…,xn为来自总体N(μ,σ2)的样本,μ,σ2是未知参数,则下列样本函数为统计量的是 A. B. C. D. [918150107] 【答案】D 【解析】根据统计量定义,选择D。 【提示】课本p132,定义6-1: 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样本函数 T=T(x1,x2,…,xn) 中包含任何未知参数,则称T为统计量. 8.对总体参数进行区间估计,则下列结论正确的是 A.置信度越大,置信区间越长B.置信度越大,置信区间越短 C.置信度越小,置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关 [918150108] 【答案】D 【解析】选项A,B,C不正确,只能选择D。 【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关,还与样本容量有关,其中的规律是: 在样本容量固定的情况下,置信度增大,置信区间长度增大,区间估计的精度降低;置信度减小,置信区间长度减小,区间估计的精度提高。 9.在假设检验中,H0为原假设,H1为备择假设,则第一类错误是 A.H1成立,拒绝H0 B.H0成立,拒绝H0 C.H1成立,拒绝H1 D.H0成立,拒绝H1 【答案】B 【解析】假设检验中可能犯的错误为: 第一类错误,也称“拒真错误”;第二类错误,也称“取伪错误”。 无论“拒真”还是“取伪”,均是针对原假设而言的。 故选择B。 【提示】 (1)假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”,其显著性水平α为犯第一类错误的概率;而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法; (2)当样本容量固定时,减小犯第一类错误的概率α,就会增大犯第二类错误的概率β;如果同时减小犯两类错误的概率,只有增加样本容量。 10.设一元线性回归模型: 且各εi相互独立.依据样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)得到一元线性回归方程,由此得xi对应的回归值为,yi的平均值,则回归平方和S回为 A. B. C. D. [918150109] 【答案】C 【解析】根据回归平方和的定义,选择C。 【提示】1.根据回归方程的的求法,任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程; 2.在回归方程的显著性检验的F检验法(课本p188)中,要检验所求回归方程是否有意义,必须分析yi随xi变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。 为此,选择了一个不变值――yi的平均值为基准,总偏差为 = 此式称为平方和分解式。 可知,S回反映了观察值yi受到随机因素影响而产生的波动,S回反映了观察值yi偏离回归直线的程度。 所以,若回归方程有意义,则S回尽可能大,S剩尽可能小。 非选择题部分 二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 11
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