高考数学大一轮复习第七章不等式71不等关系与不等式教师用书.docx
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高考数学大一轮复习第七章不等式71不等关系与不等式教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式教师用书
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法(a,b∈R);
(2)作商法(a∈R,b>0).
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b ⇔ 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac 同向可加性 ⇒a+c>b+d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1) a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N,n≥2) 【知识拓展】 不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b,ab>0⇒<. ②a<0 ③a>b>0,0 ④0 (2)有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 ①<;>(b-m>0). ②>;<(b-m>0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a (2)若>1,则a>b.( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × ) (5)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ ) (6)若ab>0,则a>b⇔<.( √ ) 1.设a A.>B.> C.|a|>-bD.> 答案 B 解析 由题设得a 即>不成立. 2.(教材改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ->0⇒> ⇒a>b⇒a2>b2, 但由a2-b2>0->0. 3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是( ) A.a-b>0B.a3+b3>0 C.a2-b2<0D.a+b<0 答案 D 解析 由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|, 当b≥0时,a+b<0成立, 当b<0时,a+b<0成立,∴a+b<0成立.故选D. 4.(教材改编)若0 答案 a<2ab< 解析 ∵0 ∴a<1且2a<1, ∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a =-22+<. 即a<2ab<, 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=, 即a2+b2>, a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1), 又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0, ∴a2+b2 综上,a<2ab< 题型一 比较两个数(式)的大小 例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.M C.M=ND.不确定 (2)若a=,b=,c=,则( ) A.a C.c 答案 (1)B (2)B 解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0. ∴M>N. (2)方法一 易知a,b,c都是正数,= =log8164<1, 所以a>b; ==log6251024>1, 所以b>c.即c 方法二 对于函数y=f(x)=,y′=, 易知当x>e时,函数f(x)单调递减. 因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5), 即c 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤: ①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤: ①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)函数的单调性法: 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系. (1)设a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是( ) A.A≤BB.A≥B C.A (2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为________. 答案 (1)B (2)a 解析 (1)∵A≥0,B≥0, A2-B2=a+2+b-(a+b)=2≥0, ∴A≥B. (2)==()16 =()16()16=()16, ∵∈(0,1),∴()16<1, ∵1816>0,1618>0, ∴1816<1618,即a 题型二 不等式的性质 例2 (1)已知a,b,c满足c A.ab>acB.c(b-a)<0 C.cb2 (2)若<<0,则下列不等式: ①a+b A.①②B.②③C.①④D.③④ 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由c0. 由b>c得ab>ac一定成立. (2)因为<<0,所以b0, 所以a+b 因为b<0,所以ab 思维升华 解决此类问题常有两种方法: 一是直接利用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 若a>0>b>-a,c ①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 方法一 ∵a>0>b,c ∴ad<0,bc>0, ∴ad ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c ∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正确. ∵c ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), ∴a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选C. 方法二 取特殊值. 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a>b>0,给出下列四个不等式: ①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( ) A.①②③B.①②④ C.①③④D.②③④ 答案 A 解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立; 由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立; ∵a>b>0,∴>, ∴()2-(-)2 =2-2b=2(-)>0, ∴>-,③成立; 若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36, a3+b3<2a2b,④不成立. 故选A. 方法二 令a=3,b=2, 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故选A. 命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知-1 答案 (-4,2) (1,18) 解析 ∵-1 ∴-4 由-1 ∴1<3x+2y<18. 引申探究 1.若将已知条件改为-1 解 ∵-1 ∴-3<-y<1,∴-4 又∵x 故x-y的取值范围为(-4,0). 2.若将本例条件改为-1 解 设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则∴ 即3x+2y=(x+y)+(x-y), 又∵-1 ∴-<(x+y)<10,1<(x-y)<, ∴-<(x+y)+(x-y)<, 即-<3x+2y<, ∴3x+2y的取值范围为(-,). 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. ②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径. (1)若a A.>B.a2 C. (2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ①>;②ac 其中所有正确结论的序号是( ) A.①B.①② C.②③D.①②③ 答案 (1)C (2)D 解析 (1)(特殊值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确; C项,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1) ⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|, ∵a (2)由不等式性质及a>b>1知<, 又c<0,∴>,①正确; 构造函数y=xc, ∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数, 又a>b>1,∴ac ∵a>b>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确. 6.利用不等式变形求范围 典例 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f(-2)的取值范围是________. 错解展示 解析 由已知得 ①+②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12, 又由①可得-2≤-a+b≤-1,③ ②+③得0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0, 又f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12, ∴f(-2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错 解析 方法一 由 得 ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f (1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f (1)≤10,故5≤f(-2)≤10. 方法二 由 确定的平面区域如图阴影部分所
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