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离散总复习

《离散数学》期末复习题

一．选择题：

1.下列句子为真命题的是（）A

（a）能整除7的正整数只有1和7本身。

（b）胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。

（c）买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。

（d）地球是宇宙中惟一存在生命的星球。

2．下列语句中是真命题的是（　　　）D

A．我正在说谎

B．严禁吸烟

C．如果1+2=3，那么雪是黑的

D．如果1+2=5，那么雪是黑的

3．设P：

我们划船，Q：

我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（　　　）B

A．P∧Q

B．P∨Q

C．（PQ）

D．（P∨Q）

4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（　　　）B

A．矛盾式

B．蕴含式

C．重言式

D．等价式

5．在公式（

）F（x，y）→（

y）G（x，y）中变元x是（　　　）B

A．自由变元

B．约束变元

C．既是自由变元，又是约束变元

D．既不是自由变元，又不是约束变元

6、下列语句不是命题的是（）A

A.xP（x,y）

B.xP（x）

C.（

）F（x，y）→（

y）G（x，y）

D.x（x2-1>0）

7.集合X={a,b,c,d}上的关系R={（a,a）,（b,c）,（c,b）,（d,d）}是（）D

A）自反的、B）传递的、C）等价的D）对称的

8、设R是X={1,2,3,4}上的关系，x,y∈X，如果x≤y，则（x,y）∈R。

下列关于关系R的说法错误的是：

（）A

A）关系R是等价关系，B）关系R是自反的

C）关系R是传递的D）以上都不是。

9、集合X={a,b,c}上的关系R={（a,a）,（b,b）,（c,c）}是（）D

A）自反的、非对称的；B）自反的、非传递的

C）对称的、非传递的；D）自反的、对称的和传递的

10、令X={1,2,…,10}。

定义xRy的意义是3整除x-y。

则关系R是（）D

A）自反的、非对称的；B）自反的、非传递的C）对称的、非传递的

D）自反的、对称的和传递的

11、下列S不是集合X＝{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个划分的是（）D

A）S＝{{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}}

B）S＝{{1,4},{2,6},{3,5},{7,8}}

C）S＝{{1,4,5},{2,3,6},{7,8}}

D）S＝{{1,4},{2,6},{3},{7,8}}

12、从X={1,2,3}到Y={a,b,c,d}的函数f={（1,b）,（3,a）,（2,c）}是（）A

A）一对一的B）映上的C）双射D）都不是

13、设R是X＝{1,2,3,4}上的关系，x,y∈X，如果x≤y，则（x,y）∈R。

关系R是（）B

A）对称的B）自反的和传递的C）等价关系D）对称的但不是等价关系

14.偏序关系具有性质（　　　）D

A.自反、对称、传递

B.自反、反对称

C.反自反、对称、传递

D.自反、反对称、传递

15.对公式

的说法正确的是（　　　）

A

A.x是约束出现，y是约束出现，z是自由出现

B.x是约束出现，y既是约束出现又是自由出现，z是自由出现

C.x是约束出现，y既是约束出现又是自由出现，z是约束出现

D.x是约束出现，y是约束出现，z是约束出现

16.在简单无向图G=

中，如果V中的每个结点都与其余的所有结点邻接，则该图称为（　　　）B

A.正则图B.完全图

C.连通图D.强连通图

17.给定n个结点的一个图，它还是一个树的下列说法中，（　　　）是不对的。

D

A.无回路的连通图

B.无回路但若增加一条新边就会变成回路

C.连通且e=v-1，其中e是边数，v是结点数

D.所有结点的度数≥2

18.设p为真q为假，r为真，下列为假的式子为（）B

A）（pq）r为（）真

B）（pq）r为（）假

C）p（qr）为（）真

D）p（qr）为（）真

19.从X={1,2,3}到Y={a,b,c}的函数f={（1,a）,（2,c）,（3,b）}是

A）一对一的，并且是对Y映上的。

（）真

B）一对一的，但不是对Y映上的。

C）不是一对一的。

D）不是对Y映上的。

20..下列递归关系是常系数齐次线性递归关系？

A

（A）

（B）

（C）

（D）

如A={a,b,c},P（A）的成员Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},|P（A）|=_8_____|A|=__3____________

X={1,2,3}Y={a,b},则X×Y=__={{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b}}__

二．综合题：

1．令X={x|x2＋x－2＝0},Y＝整数集合,论域为实数集合。

证明XY。

解：

为了证明XY，必须证明对每个实数x

x∈Xx∈Y

设x为论域中的元素，即假定x是实数，如果x∈X，则解方程

x2＋x－2＝0

得x＝1或x＝－2。

若x＝1，则x是整数，于是x∈Y。

若x＝－2，则x也是整数，于是x∈Y。

所以，对于论域中的每个x，

x∈Xx∈Y

从而得出结论XY。

2.用符号形式写出下列命题

a）假如上午不下雨,我去看电影;否则就在家里读书或看报.

b）我今天进城,除非下雨.

c）仅当你走,我将留下.

[解]a）设P:

上午天下雨.Q:

我去看电影

R:

我在家读书S:

我在家看报

原命题可译为:

（┐P→Q）（P→（RS））∧∨

b）设:

P:

我今天进城Q:

天下雨

原命题可译为:

┐Q→P

c）设:

P:

你走Q:

我留下，

原命题可译为:

Q→P

3．用真值表判断下列各组公式是否等价：

（a）P→（Q→R）与（P∧Q）→R

（b）（P→Q）→R与（P∧Q）→R

[解]由下表可知P→（Q→R）＜＝＞（P∧Q）→R而（P→Q）→R＜≠＞（P∧Q）→R

PQR

P→（Q→R）

（P∧Q）→R

（P→Q）→R

TTT

TTF

TFT

TFF

FTT

FTF

FFT

FFF

T

F

T

T

T

T

T

T

T

F

T

T

T

T

T

T

T

F

T

T

T

F

T

F

4．用真值表证明：

（a）合取运算的结合律

（b）德摩根定律

[解]（a）如表21-1，（P∧Q）∧R＜＝＞P∧（Q∧R）

（b）如表21-2，┐（P∧Q）＜＝＞┐P∨┐Q

┐（P∨Q）＜＝＞┐P∧┐Q

表21-1：

PQR

P∧Q

（P∧Q）∧R

Q∧R

P∧（Q∧R）

TTT

TTF

TFT

TFF

FTT

FTF

FFT

FFF

T

T

F

F

F

F

F

F

T

F

F

F

F

F

F

F

T

F

F

F

T

F

F

F

T

F

F

F

F

F

F

F

表21-2

PQ

┐P

┐Q

┐P∨┐Q

┐（P∧Q）

┐P∧┐Q

┐（P∨Q）

TT

TF

FT

FF

F

F

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

F

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

T

5．证明pq的否定式与p∧┐q是逻辑等价的。

证明：

为了证明以上两个是等价的，需证明

┐pqp∧┐q.

可通过写出P=┐pq和Q=p∧┐q的真值表，来验证，对于任意给定p和q的真值，或者P和Q都为真，或者P和Q都为假：

pq

┐pqp∧┐q

TT

FF

TF

TT

FT

FF

FF

FF

因此，P和Q是逻辑等价的。

6．证明：

条件命题pq和它的逆否命题是等价的

证明条件命题pq的逆否命题为：

┐q┐p。

真值表

pq

pq┐q┐p

TT

TT

TF

FF

FT

TT

FF

TT

表明pq和┐q┐p是逻辑等价的。

7．用符号来表示句子：

每个摇滚迷都喜欢U2

并用符号和文字分别表示这个句子的否定。

解：

定义命题函数P（x）表示“x喜欢U2”，给定的句子可用符号表示为

xP（x）

论域为所有的摇滚迷。

根据定理1.3.14（a），命题┐xP（x）与

x┐P（x）

逻辑等价。

这个命题可用文字叙述为：

存在一个摇滚迷不喜欢U2。

8．用符号表示句子：

有些鸟不会飞。

并用符号和文字分别表示这个句子的否定。

解：

令命题函数P（x）表示“x会飞”，给定的句子可用符号表示为

x┐P（x）

（这个句子也可以表示为xQ（x），其中命题Q（x）表示“x不会飞”。

可以用很多种方式表示同一句话。

）论域是所有的鸟。

根据定理1.3.14（b），命题┐x┐P（x）与

xP（x）

逻辑等价。

这个命题可用文字叙述为：

所有的鸟都会飞。

9．用反证法证明句子：

对于所有的整数m，若m2为奇数，则m为奇数。

证明：

首先将m看作任意的整数。

命题

若m2为奇数，则m为奇数。

的逆否命题为

若m为不是奇数，则m2不是奇数。

等价于

若m为偶数，则m2为偶数。

因此假定m为偶数，则m＝2k，其中k为某个整数。

于是m2＝（2k）2＝2·（2k2）。

由于m2可以写成2×某个整数的形式（整数为2k2），所以m2为偶数。

证毕。

10．令a和b为实数且a

证明存在实数x满足a

证明只需找到一个实数x满足a

实数

x＝

显然满足a

11.（1.5证明）确定论证过程

pq

p

——

q

是有效的。

[第一种解法]给所有有关的命题建立真值表：

pq

pqpq

TT

TTT

TF

FTF

FT

TFT

FF

TFF

注意到，只要前提pq和p为真，结论q就为真。

所以论证过程是有效的。

[第二种解法]可以不用写出真值表，而直接验证只要前提为真，结论就为真。

假设pq和p为真，q必为真，不然pq应该为假。

所以，论证过程是有效的。

12.（1.6归纳法）使用归纳法证明

n!

2n-1n=1,2,…（1.7.9）

基本步.

[条件（1.7.7）]必须说明如果n=1，式（1.7.9）为真。

这很容易做到，因为1!

=11=21-1。

归纳步

[条件（1.7.8）]假设对于n不等式成立。

即假设

n!

2n-1（1.7.10）

为真。

必须证明对于n＋1不等式为真，即必须证明

（n+1）!

2n（1.7.11）

为真。

注意到

（n+1）!

=（n+1）（n）!

便可以建立式（1.7.10）和式（1.7.11）之间的联系。

有

（n+1）!

=（n+1）（n）!

（n+1）2n-1根据式（1.7.11）

22n-1因为n+12

=2n

因此，式（1.7.11）为真。

由此，完成了归纳步。

因为基本步和归纳步都已经通过验证，所以，依数学归纳法原理可以保证对于每一个正整数n式（1.7.9）都为真。

■

13.（2.1集合）如果X＝{1,2,3}，Y＝{a,b}，写出：

X×Y，Y×X，X×X，Y×Y

解：

X×Y＝{（1,a）,（1,b）,（2,a）,（2,b）,（3,a）,（3,b）}

Y×X＝{（a,1）,（b,1）,（a,2）,（b,2）,（a,3）,（b,3）}

X×X＝{（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）}

Y×Y＝{（a,a）,（a,b）,（b,a）,（b,b）}

14.（2.3序列和串）定义序列s为

sn＝2n＋4·3n，n≥0

（1）

（a）求s0。

（b）求s1。

（c）求si的公式。

（d）求sn－1的公式。

（e）求sn－2的公式。

（f）证明序列{sn}满足

sn＝5sn－1－6sn－2，对所有n≥2

（2）

解：

（a）在

（1）式中，将n替换为0，可得

s0＝20＋4·30＝5

（b）在

（1）式中，将n替换为1，可得

s1＝21＋4·31＝14

（c）在

（1）式中，将n替换为i，可得

si＝2i＋4·3i

（d）在

（1）式中，将n替换为n－1，可得

sn-1＝2n-1＋4·3n-1

（e）在

（1）式中，将n替换为n－2，可得

sn-2＝2n-2＋4·3n-2

（f）为证明等式

（2）式，将（d）和（e）得出的公式代入

（2）的右边，然后运用代数方法证明等式右边等于sn。

可得

5sn－1－6sn－2＝5（2n-1＋4·3n-1）－6（2n-2＋4·3n-2）

＝（5·2－6）2n-2＋（5·4·3－6·4）3n-2

＝4·2n-2＋36·3n-2

＝22·2n-2＋（4·32）·3n-2

＝2n＋4·3n＝sn

15.（3.1关系）设R是X＝{1,2,3,4}上的关系，x,y∈X，如果x≤y，则（x,y）∈R。

有

R＝{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,3），（3,4），（4,4）}。

用有向图表示关系R。

解：

16.（3.1关系）从集合X＝{2,3,4}到Y＝{3,4,5,6,7}的关系R定义为

（x,y）∈R如果x整除y，

写出关系R，及R-1

解：

R＝{（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）}。

R-1＝{（4,2）,（6,2）,（3,3）,（6,3）,（4,4）}。

这种关系可用文字描述为“…被…整除”。

17.（3.3关系矩阵）设从X＝{1,2,3,4}到Y＝{a,b,c,d}的关系

R＝{（1,b）,（1,d）,（2,c）,（3,c）,（3,b）,（4,a）}

写出：

对应于顺序1,2,3,4和a,b,c,d的矩阵是

解：

18.（3.3关系矩阵）集合{a,b,c,d}上的关系

R＝{（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）,（b,c）,（c,b）}

写出：

对应于顺序a,b,c,d的矩阵

解：

19.（3.3关系矩阵）设：

{a,b,c,d}上的关系

R＝{（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）,（a,c）,（c,b）}

写出对应于顺序a,b,c,d的矩阵A，及矩阵的平方A2，并据此判断关系R是否是传递的。

解：

矩阵A为：

其平方为：

A2中第1行第2列的项非零，但是A中相应的项是零。

所以R不是传递的。

20.（5.3欧几里德定理）利用欧几里德算法求：

gcd（504,396）

解：

令a=504,b=396

amodb=504mod396=108

amodb=396mod108=72

amodb=108mod72=36

amodb=72mod36=0

a（36），即396和504的最大公因子

21.（5.3欧几里德定理）利用欧几里德算法求gcd（273,110）

解：

令a=273,b=110开始。

Euclid算法首先计算

r=273mod110=53

然后赋值a=110,b=53。

接着计算

r=110mod53=4

然后赋值a=53,b=4。

接着计算

r=53mod4=1

然后赋值a=4,b=1。

接着计算

r=4mod1=0

由于r=0，算法停止，求出了273和110的最大公因子是1。

22（6.2排列与组合）7个男生，5个女生排队，如果不能有2个女生的排在一起，有多少种方法？

解：

7个男的排列，有7!

种；

为使不能有2个女生排在一起，女生必须在男生之间、或两旁的男生外面，共8个位置上穿插排列，则女生有P（8,5）种不同排法；

故：

共有7!

*P（8,5）

23.（6.4离散概率）若彩民从1~52个数中选取的6个数与随机生成的中奖数字相同（不计顺序），则可以赢得大奖。

求一张彩票赢得大奖的概率。

解：

从52个数字中选取6个共有C（52,6）种选法，而得大奖的组合只有一种，故赢得大奖的概率为1/C（52,6）=0.000000049

24.（6.4离散概率）一手桥牌包含从52张扑克牌中选取的13张。

3个花色各有4张牌，另一个花色有1张牌称为4-4-4-1牌型，求4-4-4-1牌型的概率。

解：

一手桥牌共有C（52,13）种可能。

选出一套花色有4种选法，在选定的花色中选取一张牌又有13种选法。

这张牌选定后，在其他的3种花色中各选4张牌，共有C（13,4）3种选法.

25.（6.8鸽巢原理）如果选择151门不同的课程并用1-300之间的数编号，则必有两门课程的编号是连续的，如121、122。

证明：

令课程编号为c1,c2,...,c151

考虑上述编号和c1+1,...,c151+1

共302个数

值1-300之间的数编号共300个

必有ci=cj+1

26.（7.2求解递归关系）鹿群数目增长：

设在n=0时刻，农场有200头鹿，n=1时刻有220头鹿。

从n-1时刻到n时刻鹿增长的头数为n-2时刻到n-1时刻鹿增长头数的两倍。

给出定义n时刻鹿数目的递归关系和初始条件，然后求解递归条件。

解：

令dn为时间n时数目，初始条件为

d0=200，d1=220

n-1时刻到n时刻鹿增长的数目为dn-dn-1,n-2时刻到n-1时刻鹿增长的数目为dn-1-dn-2，得到递归关系为：

dn-dn-1=2（dn-1-dn-2）

即：

dn=3dn-1-2dn-2

为求解递归关系，先解二次方程t2-3t+2=0，

得到两个根：

r1=1，r2=2

故序列d具有形式：

dn=b×1n+d2n=b+d2n

由初始条件，有：

200=d0=b+d

220=d1=b+2d

解方程组得到：

b=180,d=20

则：

dn=180+20×2n

27.分别写出下图所示的二叉树的前序、中序、后序遍历的序列。

解：

前序遍历序列：

ABCDEFGHJI

中序遍历序列：

CBDEAFHGIJ

后序遍历序列：

CEDBHIJGFA

28画出完全二部图K2,4

解：

根据完全二部图的定义，完全二部图K2,4如下所示：

29在联赛中，Snow队击败国Pheasants队一次，Sky队击败过Tuna队一次，Snow队击败过Sky队两次，Pheasants队击败过Tuna对一次，Pheasants队击败过Snow队一次。

现用顶点表示参加的队伍，试用图表示一下各种问题，并说明所使用的图的类型（如无向图、有向图、简单图等）

（1）在相互比赛国的队伍之间存在边；

（2）在参加过比赛的队伍之间存在边；

（3）如果A队击败过B队至少一次，那么存在一条从A到B的边；

（4）每次A队击败B队，就存在一条从A到B的边。

解：

各图如下所示：

（2）无向完全图

（1）无向图

（4）有向图

（3）有向图

30．　写成命题

的真值表

答:

真值表如下：

p

q

r

T

T

T

F

T

T

T

T

F

F

T

T

T

F

T

T

T

T

T

F

F

T

T

T

F

T

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T

T

F

T

F

F

F

T

T

T

31．确定下面的论证过程是否有效

解:

p

q

r

T

T

T

T

T

T

T

T

F

T

T

T

T

F

T

T

T

T

T

F

F

F

T

F

F

T

T

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

F

T

T

T

T

F

F

F

F

T

T

由真值表第三行、第七行可知当qVr、pV﹁q和p→qVr都为真时q却为假

所以该论证过程无效。

32．用归纳法证明

证明：

（1）基本步：

当n=1时

左边＝22＝4

右边＝

=左边

归纳步：

假设对于n原式成立，即

那么对于n+1,有：

所以对于n+1原式成立。

得证！

（2）当n=1是，原式显然成立；

假设对于n，原式成立，即：

那么对于n+1,有：

原式成立。

得证！

用反证法证明句子

v对于所有的整数m，若m2为奇数，则m为奇数。

证明：

首先将m看作任意的整数。

原命的逆否命题为：

“若m为不是奇数，则m2不是奇数。

”

等价于：

若m为偶数，则m2为偶数。

因此假定m为偶数，则m＝2k，其中k为某个整数。

于是m2＝（2k）2＝2·（2k2）。

由于m2可以写成2×某个整数的形式（整数为2k2），所以m2为偶数。

证毕。

设集合{1,2,3,4,5}上关系R的定义为：

（x,y）∈R，如果x＝y－1。

（1）列出R的元素;求R的定义域;求R的值域；

（2）列出R-1的元素;求R-1的定义域；求R-1的值域；

（3）关系R是自反的吗？

是对称的吗？

是反对称的吗？

是传递的吗？

是一个偏序吗？

解：

（1）R的元素R={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,5>}

R的定义域;{1,2,3,4}

R的值域；{2,3,4,5}