向量复习及相关例题.docx

向量复习及相关例题.docx

《向量复习及相关例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量复习及相关例题.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

向量复习及相关例题

向量总复习及相关例题

第一节向量

【知识点】：

一、向量概念：

1、向量：

既有方向，又有大小的量叫做向量；注意向量与数量的区别。

2、零向量：

长度为零的向量叫零向量；记作；注意零向量的方向是任意的。

3、单位向量：

长度等于1的向量叫单位向量。

，为两个互相垂直的单位向量。

4、相等向量：

长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量，相等，记作。

二、共线向量：

共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等则一定共线。

【相关例题】：

1、下列各量中哪些是向量？

哪些不是向量？

说明理由

（1）、密度

（2）、湿度（3）、浮力（4）、价格

2、下列命题中不正确的是（）

A、没有方向B、只与相等C、的模为0D、与任何向量共线

3、下列命题：

（1）、向量就是有向线段；

（2）、单位向量都相等；（3）四边形ABCD中，是ABCD为平行四边形的充要条件；（4）、若，，则；

其中正确的命题序号是

4、如图：

D、E、F分别是正的边AB、BC、CA的中点，则

1）、与相等的向量有

2）、与共线的向量有

3）、与模相等但不平行的向量有

第二节向量的加法与减法

【知识点】：

一、向量的加法：

若，，则；其几何意义如下表示：

，反向时

，同向时

注意：

1、;

2、;

二、向量的减法：

若，，则；其几何意义如下表示：

注意：

1、；

2、；3、;

三、向量加减法的运算律：

1、交换率：

；2、结合律：

D

C

四、向量加减法的平行四边形法则：

若，，则，,；其几何意义如下表示：

B

A

【相关例题】：

1、化简下列各式：

1、2、

3、4、

5、6、

D

C

2、如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸

的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行的速度和方向；

B

A

B

A

C

D

3、如图，点B是平行四边形ACDE外一点，且，，

，用，表示向量和。

E

4、一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的和.

5、飞机从甲地按北偏西的方向飞行到达乙地，再从乙地按南偏东的方向飞行到达丙地，那么丙地在甲地地什么方向？

丙地距甲地多远？

6、已知，，是非零向量，那么与一定相等吗？

为什么？

第三节实数与向量的积

【知识点】：

一、实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量，记做；它的长度和方向规定如下：

1、长度（模）：

；

2、当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。

二、实数与向量积的运算律：

1、结合律：

；

2、分配律：

；；（以上）；

三、向量共线定理：

利用这些知识可以解决

点共线或者线共点的问题

定理：

∥；

推广：

∥存在实数，使；

四、平面向量的基本定理：

定理：

如果是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得成立；这时我们称不共线向量为这一平面内所有向量的一组基底。

注意：

在一个平面内基底不唯一，但当基底确定后每一向量都被这个基底唯一表示；

【相关例题】：

1、化简下列各式：

1）、2）、

2、设两个非零向量和不共线

1）、如果，，，求证：

A、C、D三点共线；

2）、如果，，，且A、C、D三点共线，求值；

F

C

B

3、如图，平行四边形ABCD中，，,

M

H、M是AD，CD的中点，F为BC上一点，且，

H

A

D

用、表示，，（N为AM与HF交点）；

4、已知，，求，和；

A

5、如图，，

N

M

求证：

C

B

A

6、中，，,且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N，设，，用向量，分别表示向量,,,,,,.

E

N

D

C

B

M

第四节平面向量的坐标运算

【知识点】：

一、向量的两种表示：

若（基底表示），那么（坐标表示）

注：

，为两个互相垂直的单位向量。

二、向量的坐标运算：

1、;

2、；

3、；

4、;

三、平行向量的坐标表示：

∥且；

【相关例题】：

1、已知，求：

（1）、，

（2）、，（3）、；

2、

（1）、已知，，求；

（2）、已知，，求N点坐标；

（3）、已知，，求M点坐标；

N

M

A

3、如图，已知，，，，

F

M、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与

D

C

B

AD交于F，求；

4、

（1）、已知，，，，且∥，求的值；

（2）、向量，，若向量与共线，求的最小值；

（3）、已知的方向与的方向相同，且＝15，求；

5、已知平行四边形ABCD的顶点，，求顶点D的坐标。

6、已知点,,及，求当，，-2，2时，其对应点P的坐标，并在坐标平面内画出这些点。

7、证明下列各组点共线

（1）、,,,

（2）、,,

（3）、

8．已知,,,，与是否共线？

第五节线段的定比分点

【知识点】：

一、线段的定比分点

1、设P分的比为，则，其中叫做P分的比，P为的定比分点；

2、当时，P在的线段上；此时P为的内分点；

当时，P在的延长线上；此时P为的左外分点；

当时，P在的延长线上；此时P为的右外分点；

二、定比分点的坐标公式

设,因为，所以：

注意：

根据这个公式可以在三个量中，知道两个求第三个；

三、中点坐标公式和三角形重心坐标公式：

1、中点坐标公式：

若，且P为的中点：

则；

2、三角形重心坐标公式：

若的三个顶点坐标为：

，为的重心：

则；

注意：

重心分的中线为2：

1的性质；

【相关例题】：

1、已知，若p在线段上，且，则点的坐标为[]

A.（0,3）B.（3,0）C.（-3,0）D.（0,-3）

2、点p分有向线段的比是3：

1，则点分有向线段的比为：

[]

A.B.C.D.

3、分的比为，分的比为，则分的比为

4、若一次函数的图象与过的直线交于点P，求P分所成的比。

5、已知，，求线段和轴交点M的坐标；

6、已知，，若点P在直线OA上，且，又P是OB的中点，求点B坐标；

7、已知的边BC、CA、AB的中点分别为，，，求A、B、C的坐标；

8、已知点，，点M分有向线段的比为，求点M的坐标

（1）、

（2）、（3）、

8、已知两点，，求点分有向线段的比为及的值。

10、一条线段的两个端点的坐标如下，求这条线段的两个三等分的点的坐标：

（1）、、

（2）、、

11、已知，，求适合下列条件的点P的坐标；

（1）、,点P在线段上；

（2）、,点P在线段的延长线上；

（3）、,点P在线段的延长线上；

第六节向量的数量积及运算律

【知识点】：

一、平面向量的数量积：

1、向量与的夹角为，夹角的取值范围是；

注：

两个向量的夹角要共起点。

2、向量与的数量积为（也称为点乘）：

；

注意：

1、两个向量的数量积为一个实数；2、零向量与任一向量的数量积为0；

3、向量数量积的几何意义；注：

表示在上的投影；表示在上的投影；

二、平面向量数量积的性质：

1、；

2、；（用于判断两向量垂直）；

3、∥；

注：

1）、与同向；与反向；

2）、若则与的夹角为钝角；若则与的夹角为锐角；

4、；5、；

三、平面向量数量积的运算律：

1、交换律：

；

2、数乘结合律：

；

3、分配律：

；（注：

平面向量没有结合律）；

【相关例题】：

1.已知、、是三个向量,下列命题中:

①若·=·且≠，则=；②若·=0，则=或=;③若⊥,则·=0；④向量在的方向上的投影是一模等于|||cosθ|（θ是与的夹角），方向与相同或相反的一个向量.其中正确命题是[]

A.1B.2C.3D.4

2.已知＝１，＝，且（）与垂直，则与的夹角是[]

A.60oB.30oC.135oD.45o

3.在中,>0,则的形状是

4.已知向量与的夹角为300,且||=,||=1,求向量=+与=-夹角的余弦.

5、已知，，与的夹角是，计算：

（1）、

（2）、

6．已知，，且且也互相垂直，求的值；

7、已知向量与的夹角是，且，，求向量与的夹角；

8、已知,，，，求;

第七节向量的数量积的坐标表示

【知识点】：

一、平面向量数量积的坐标表示：

若；

二、向量的长度和两点间距离公式：

1、向量的长度（模）：

，则，；

2、若；

注：

重要结论：

1）、；2）、；

【相关例题】：

1、设向量，，则下列命题中错误的是[]

A.B.C.D.

2、已知||=4，||=5，|+|=，求①·②与的夹角θ.

3、已知，；求：

（1）、，，；

（2）、，（3）、与的夹角大小；

4、已知，，当为何值时

（1）、与垂直；

（2）、与平行？

平行时它们是同向还是反向？

第八节平移

【知识点】：

一、平移和平移公式：

1、平移的概念；

2、点的平移公式：

设是旧点，它按平移后的新点是，则它们的坐标有如下关系：

；

注：

应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题；

二、图形的平移：

1、知道新旧两个图象的表达式，可以通过新旧图象上的两个对应点的平移求解平移向量；

2、知道新旧两个图象的表达式，可以运用待定系数法求解平移向量；

【相关例题】：

1、设点A（a,b）,B（c,d），若径平移得A’（2a,2b），那么B点之新坐标为[]

A.（2c,2d）B.（a+c,b+d）C.（a+2c,b+2d）D.（2a+c,2b+d）

2、若P按平移后得到点，则点P的坐标为[]

A.（0，0）B.（1，1）C.（3，-3）D.（-3，3）

3、已知函数按向量平移后得到函数，那么求函数按向量

平移后得到的函数的解析式。

第九节正弦定理、余弦定理

【知识点】：

一、正弦定理：

形式一：

；

形式二：

；；；（角到边的转换）

形式三：

，，；（边到角的转换）

形式四：

；（求三角形的面积）

解决以下两类问题：

1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）

2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

若给出那么解的个数为：

无解（）；一解（）；两解（）；

二、余弦定理：

形式一：

，，

形式二：

，，，（角到边的转换）

解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

三、角平分线定理：

；其中BD为角B的角平分线。

【相关例题】：

1、在△ABC中，已知a=5，c=10，A=300，则B等于[]

A.1050B.600C.150D.1050或150

2、在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的[]

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3、在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，并且sinA=2sinBcosC,那么△ABC是[]

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

4、在△ABC中，B=1350,C=150,a=5，则此三角形的最大边长为；

5、在△ABC中，A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c=；

6、在△ABC中，已知cos2B+c