高中数学第一轮复习资料华南师范附中.docx
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高中数学第一轮复习资料华南师范附中
第一章集合
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1.已知A={1,2},B={x|x∈A},则集合A与B的关系为________.
解析:
由集合B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:
A=B
2.若?
{x|x2≤a,a∈R},则实数a的取值范围是________.
解析:
由题意知,x2≤a有解,故a≥0.答案:
a≥0
3.已知集合A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合B={x|-2≤x<8},则集合A与B的关系是________.
解析:
y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴BA.
答案:
BA
4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是________.
解析:
由N={x|x2+x=0},得N={-1,0},则NM.答案:
②
5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
解析:
命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,∴AB,∴a<5.
答案:
a<5
6.(原创题)已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又C={x|x=4a+1,a∈Z},判断m+n属于哪一个集合?
解:
∵m∈A,∴设m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈Z,∴m+n∈B.
B组
1.设a,b都是非零实数,y=++可能取的值组成的集合是________.
解析:
分四种情况:
(1)a>0且b>0;
(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0且b<0,讨论得y=3或y=-1.答案:
{3,-1}
2.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?
A,则实数m=________.
解析:
∵B?
A,显然m2≠-1且m2≠3,故m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:
1
3.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是________个.
解析:
依次分别取a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:
8
4.已知集合M={x|x2=1},集合N={x|ax=1},若NM,那么a的值是________.
解析:
M={x|x=1或x=-1},NM,所以N=?
时,a=0;当a≠0时,x==1或-1,∴a=1或-1.答案:
0,1,-1
5.满足{1}A?
{1,2,3}的集合A的个数是________个.
解析:
A中一定有元素1,所以A有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:
3
6.已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=-,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z},则A、B、C之间的关系是________.
解析:
用列举法寻找规律.答案:
AB=C
7.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x B”是“a>5”的________. 解析: 结合数轴若A? B? a≥4,故“A? B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案: 必要不充分条件 8.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m|m=2n,n∈N,且m<500},则M中所有元素的和为________. 解析: ∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S=1+2+22+…+28=511.答案: 511 9.(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1? A,且k+1? A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析: 依题可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案: 6 10.已知A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且A=B,试求x,y的值. 解: 由lg(xy)知,xy>0,故x≠0,xy≠0,于是由A=B得lg(xy)=0,xy=1. ∴A={x,1,0},B={0,|x|,}. 于是必有|x|=1,=x≠1,故x=-1,从而y=-1. 11.已知集合A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若B? A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若A? B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. 解: 由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B? A,∴①若B=? ,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B? A. ②若B≠? ,则解得2≤m≤3. 由①②得,m的取值范围是(-∞,3]. (2)若A? B,则依题意应有解得故3≤m≤4, ∴m的取值范围是[3,4]. (3)若A=B,则必有解得m∈? .,即不存在m值使得A=B. 12.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若A是B的真子集,求a的取值范围; (2)若B是A的子集,求a的取值范围; (3)若A=B,求a的取值范围. 解: 由x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得1≤x≤2,故A={x|1≤x≤2}, 而集合B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若A是B的真子集,即AB,则此时B={x|1≤x≤a},故a>2. (2)若B是A的子集,即B? A,由数轴可知1≤a≤2. (3)若A=B,则必有a=2 第二节集合的基本运算 A组 1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩? UB=____. 解析: ? UB={x|x≤1},∴A∩? UB={x|0 {x|0 2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合? U(A∩B)中的元素共有________个. 解析: A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},? U(A∩B)={3,5,8}.答案: 3 3.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________. 解析: 由题意知,N={0,2,4},故M∩N={0,2}.答案: {0,2} 4.(原创题)设A,B是非空集合,定义A? B={x|x∈A∪B且x? A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则A? B=________. 解析: A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以A? B=(2,+∞). 答案: (2,+∞) 5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析: 设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案: 12 6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>1},集合B={x|m≤x≤m+3}. (1)当m=-1时,求A∩B,A∪B; (2)若B? A,求m的取值范围. 解: (1)当m=-1时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1 (2)若B? A,则m>1,即m的取值范围为(1,+∞) B组 1.若集合M={x∈R|-3 解析: 因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案: {-1,0} 2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(? UA)∩B=________. 解析: ? UA={0,1},故(? UA)∩B={0}.答案: {0} 3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(? UN)=________. 解析: 根据已知得M∩(? UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}={x|-2≤x<0}.答案: {x|-2≤x<0} 4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________. 解析: 由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案: {2,3,4} 5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(? UA)∪(? UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________. 解析: U=A∪B中有m个元素, ∵(? UA)∪(? UB)=? U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案: m-n 6.(2009年高考重庆卷)设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则? U(A∪B)=________. 解析: U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7}, 得? U(A∪B)={2,4,8}.答案: {2,4,8} 7.定义A? B={z|z=xy+,x∈A,y∈B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A? B)? C的所有元素之和为________. 解析: 由题意可求(A? B)中所含的元素有0,4,5,则(A? B)? C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案: 18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________. 解析: 由? 点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2. 9.设全集I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},? IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合M的所有子集是________. 解析: ∵A∪(? IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案: ? ,{1},{2},{1,2} 10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 解: 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0? a=-1或a=-3;当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a的值为-1或-3. (2)对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B? A, ①当Δ<0,即a<-3时,B=? 满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2}满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 ? 矛盾.综上,a的取值范围是a≤-3. 11.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B. (1)当m=3时,求A∩(? RB); (2)若A∩B={x|-1 解: A={x|-1 (1)当m=3时,B={x|-1 RB={x|x≤-1或x≥3}, ∴A∩(? RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1 ∴有-42+2×4+m=0,解得m=8,此时B={x|-2 12.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若A=? ,求实数a的取值范围; (2)若A是单元素集,求a的值及集合A; (3)求集合M={a∈R|A≠? }. 解: (1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解. 若a=0,方程有一解x=,不合题意. 若a≠0,要方程ax2-3x+2=0无解,则Δ=9-8a<0,则a>. 综上可知,若A=? ,则a的取值范围应为a>. (2)当a=0时,方程ax2-3x+2=0只有一根x=,A={}符合题意. 当a≠0时,则Δ=9-8a=0,即a=时, 方程有两个相等的实数根x=,则A={}. 综上可知,当a=0时,A={};当a=时,A={}. (3)当a=0时,A={}≠? .当a≠0时,要使方程有实数根, 则Δ=9-8a≥0,即a≤. 综上可知,a的取值范围是a≤,即M={a∈R|A≠? }={a|a≤} 第二章函数 第一节对函数的进一步认识 A组 1.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为________. 解析: ? x∈[-4,0)∪(0,1] 答案: [-4,0)∪(0,1] 2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f(x)的图象是曲线段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于________. 解析: 由图象知f(3)=1,f()=f (1)=2.答案: 2 3.(2009年高考北京卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=________. 解析: 依题意得x≤1时,3x=2,∴x=log32; 当x>1时,-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案: log32 4.(2010年黄冈市高三质检)函数f: {1,}→{1,}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个. 解析: 如图.答案: 1 5.(原创题)由等式x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3定义一个映射f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则f(2,1,-1)=________. 解析: 由题意知x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3, 令x=-1得: -1=b3; 再令x=0与x=1得, 解得b1=-1,b2=0. 答案: (-1,0,-1) 6.已知函数f(x)= (1)求f(1-),f{f[f(-2)]}的值; (2)求f(3x-1);(3)若f(a)=,求a. 解: f(x)为分段函数,应分段求解. (1)∵1-=1-(+1)=-<-1,∴f(-)=-2+3, 又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+=. (2)若3x-1>1,即x>,f(3x-1)=1+=; 若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 若3x-1<-1,即x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. ∴f(3x-1)= (3)∵f(a)=,∴a>1或-1≤a≤1. 当a>1时,有1+=,∴a=2; 当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±. ∴a=2或±. B组 1.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-1)的定义域是________. 解析: 由3x-2>0,2x-1>0,得x>.答案: {x|x>} 2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=则f(f(f()+5))=_. 解析: ∵-1≤≤2,∴f()+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f (2)=-3, ∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案: 7 3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为________. 解析: ∵对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 由2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), ∴f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1 答案: f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1 4.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是________个. 解析: 由f(x+1)=f(x)+1可得f (1)=f(0)+1,f (2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点;若f(0)≠0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案: 0或无数 5.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为________个. 解析: 由题意得 , ∴f(x)=. 由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个. 答案: 3 6.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),函数g(x)=-x2+bx+c,若f(2+)-f(+1)=,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=__________,函数f[g(x)]的定义域为__________. 答案: 2 (-1,3) 7.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>f (1)的解集是________. 解析: 由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>f (1)=3时,令f(x)=3, 解得x=1,x=3.故f(x)>f (1)的解集为0≤x<1或x>3. 当x<0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>f (1)=3,解得-3 综上,f(x)>f (1)的解集为{x|-3 {x|-3 8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为________. 解析: ∵f(3)=f (2)-f (1),又f (2)=f (1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案: -2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x≥20),y与x之间函数的函数关系是________. 解析: 设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a2升/分钟,则由题意得,得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因为水放完为止,所以时间为x≤,又知x≥20,故解析式为y=-3x+95(20≤x≤).答案: y=-3x+95(20≤x≤) 10.函数f(x)=. (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值. 解: (1)①若1-a2=0,即a=±1, (ⅰ)若a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意; (ⅱ)当a=-1时,f(x)=,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数. 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立, ∴∴ ∴-≤a<1.由①②可得-≤a≤1. (2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1],显然1-a2≠0且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根. ∴∴∴a=2. 11.已知f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式. 解: 由f(x+2)=f(x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当x∈[2k-1,2k+1]时,2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C型装置的工人有x位,他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x).(单位: h,时间可不为整数) (1)写出g(x),h(x)的解析式; (2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 解: (1)g(x)=(0 (2)f(x)=(3)分别为86、130或87、129. 第二节函数的单调性 A组 1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 ①f(x)= ②f(x)=(x-1)2③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1) 解析: ∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1 ① 2.函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数g(x)=f(logax)(0 解析:
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