高考数学同步专题突破及解析 7.docx
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高考数学同步专题突破及解析7
§2.3 等比数列
2.3.1 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标
1.通过实例,理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
知识点一 等比数列的概念
等比数列的概念和特点.
1.文字定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
2.递推公式形式的定义:
=q(n≥2).
3.等比数列各项均不能为0.
知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同,对比如下表:
对比项
等差中项
等比中项
定义
若x,A,y成等差数列,则A叫做x与y的等差中项
若x,G,y成等比数列,则G叫做x与y的等比中项
定义式
A-x=y-A
=
公式
A=
G=±
个数
x与y的等差中项唯一
x与y的等比中项有两个,且互为相反数
备注
任意两个数x与y都有等差中项
只有当xy>0时,x与y才有等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1(n∈N+).
1.若an+1=qan,n∈N+,且q≠0,则{an}是等比数列.( × )
2.任何两个数都有等比中项.( × )
3.等比数列1,,,,…中,第10项为.( √ )
4.常数列既是等差数列,又是等比数列.( × )
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列
例1 判断下列数列是否为等比数列.
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
解
(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∵==3(n≥2,n∈N+),
∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列.
(3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;
当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
反思感悟 判定等比数列,要抓住3个要点:
①从第二项起.②要判定每一项,不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )
①1,-2,4,-8;②-,2,-2,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4.
A.①②B.①②③
C.①②④D.①②③④
答案 C
解析 ①②显然是等比数列;由于x可能为0,③不是;
a不能为0,④符合等比数列定义,故④是.
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:
数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.
∴=2(n∈N+).
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解 由
(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法:
=q(n≥2,q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列.
(2)等比中项法:
a=an-1·an+1(n≥2,an,an-1,an+1均不为0)⇔{an}是等比数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解
(1)a2=3a1-2×2+3=-4,
a3=3a2-2×3+3=-15.
===3(n=1,2,3,…).
又a1-1=-2,∴数列{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列.
(2)由
(1)知an-n=-2·3n-1,∴an=n-2·3n-1.
题型二 等比数列基本量的计算
例3 在等比数列{an}中.
(1)已知a2=4,a5=-,求an;
(2)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n.
解
(1)设等比数列的公比为q,
则解得
∴an=a1qn-1=(-8)n-1=n-4.
(2)设等比数列{an}的公比为q.
∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,∴q==.
∵a4+a7=18,∴a4(1+q3)=18.
∴a4=16,an=a4·qn-4=16·n-4.
由16·n-4=,得n-4=5,∴n=9.
反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想,通过已知可以得到关于a1和q的两个方程,从而解出a1和q,再求其他项或通项.
跟踪训练3 在等比数列{an}中:
(1)已知a1=3,q=-2,求a6;
(2)已知a3=20,a6=160,求an.
解
(1)由等比数列的通项公式得a6=3×(-2)6-1=-96.
(2)设等比数列的公比为q,
那么解得
所以an=a1qn-1=5×2n-1,n∈N+.
方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
解 方法一 设这四个数依次为a-d,a,a+d,,
由条件得解得或
所以当a=4,d=4时,所求的四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为-a,,a,aq(q≠0),
由条件得解得或
当a=8,q=2时,所求的四个数为0,4,8,16;
当a=3,q=时,所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
典例2 设四个实数依次成等比数列,其积为210,中间两项的和是4,则这四个数为多少?
解 设这四个数依次为,a,aq,aq2(q≠0),
根据题意得解得q=-2或-,
当q=-2时,a=-4,
所求四个数依次为2,-4,8,-16.
当q=-时,a=8,
所求四个数依次为-16,8,-4,2,
综上,这四个数依次为2,-4,8,-16或-16,8,-4,2.
[素养评析]
(1)解决这类题目通常用方程的思想,列方程首先应引入未知数,三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
①若三个数成等比数列,可设三个数为,a,aq或a,aq,aq2(q≠0).
②若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2或,,aq,aq3(q≠0).
(2)像本例,明确运算对象,选择运算方法,求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.
1.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )
A.4B.8C.6D.32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得,128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于( )
A.64B.81C.128D.243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列,∴=q=2.
又a1+a2=3,∴a1=1,故a7=1·26=64.
3.设a1=2,数列{1+2an}是公比为3的等比数列,则a6等于( )
A.607.5B.608C.607D.159
答案 C
解析 ∵1+2an=(1+2a1)×3n-1,
∴1+2a6=5×35,∴a6==607.
4.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于( )
A.-24B.0C.12D.24
答案 A
解析 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第4项为-24.
5.45和80的等比中项为________.
答案 -60或60
解析 设45和80的等比中项为G,
则G2=45×80,∴G=±60.
6.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.
解 设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么
②÷①,得q=,
将q=代入①,得a1=.
因此,a2=a1q=×=8.
综上,这个数列的第1项与第2项分别是与8.
1.等比数列的判断或证明
(1)利用定义:
=q(与n无关的常数).
(2)利用等比中项:
a=anan+2(n∈N+,且数列各项均不为零).
2.两个同号的实数a,b才有等比中项,而且它们的等比中项有两个(±),而不是一个(),这是容易忽视的地方.
3.等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1,q,n,an四个量,已知其中三个量可求得第四个量.
一、选择题
1.2+和2-的等比中项是( )
A.1B.-1C.±1D.2
答案 C
解析 设2+和2-的等比中项为G,则G2=(2+)(2-)=1,∴G=±1.
2.(2018·四川广安中学高一月考)有下列四个说法:
①等比数列中的某一项可以为0;
②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);
③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;
④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.
其中正确说法的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 只有③正确.
3.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则a5等于( )
A.1B.2C.4D.8
答案 A
解析 ∵a2a12=a1q·a1q11=a·q12=a·212=16,
∴a=2-8,又an>0,∴a1=2-4,
∴a5=a1q4=2-4·24=1.
4.在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为( )
A.16B.27C.36D.81
答案 B
解析 ∵a1+a2=1,a3+a4=9,∴q2=9.
∴q=3(q=-3舍去),∴a4+a5=(a3+a4)q=27.
5.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )
A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9
答案 B
解析 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,
∴b=-3,且a,c必同号.∴ac=b2=9.
6.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于( )
A.9B.10C.11D.12
答案 C
解析 在等比数列{an}中,∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=aq10=q10.∵am=a1qm-1=qm-1,∴m-1=10,∴m=11.
7.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于( )
A.3B.2C.1D.-2
答案 B
解析 ∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2.
又∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc=2.
二、填空题
8.在等比数列{an}中,若a3=3,a10=384,则公比q=________.
答案 2
解析 a3=a1q2=3,a10=a1q9=384,两式相除得,q7=128,所以q=2.
9.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为________________.
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
10.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
答案 1
解析 设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,
∴q===1.
11.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为________.
答案
解析 设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得,28,28q石,
∴+28+28q=98,∴q=2或.
又0<q<1,∴q=.
三、解答题
12.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,求证:
{an}是等比数列,并求出通项公式.
解 ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.
∴an+1=2an,
又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0,
又由an+1=2an知an≠0,
∴=2,∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列.
∴an=-1×2n-1=-2n-1.
13.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解
(1)由题意可得a2=,a3=.
(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以=.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=,n∈N+.
14.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×2=.
15.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=.
(1)求证:
{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)试问-是这个等比数列中的项吗?
如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.
解
(1)∵2an=3an+1,∴=.
又∵数列{an}的各项均为负数,∴a1<0,
∴数列{an}是以为公比的等比数列.
∴an=a1·qn-1=a1·n-1,
∴a2=a1·2-1=a1,
a5=a1·5-1=a1,
又∵a2·a5=a1·a1=,
∴a=.又∵a1<0,∴a1=-.
∴an=×n-1=-n-2(n∈N+).
(2)令an=-n-2=-,
则n-2=4,n=6∈N+,
∴-是这个等比数列中的项,且是第6项.
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